自动控制系统的代数稳定判据.ppt

2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 第三章 自动控制系统的时域分析 12学时 信息学院 二 一二年十月 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 3 5自动控制系统的代数稳定判据 1 稳定的基本概念 定义 如果线性定常系统受到扰动的作用 偏离了原来的平衡状态 而当扰动消失后 系统又能够逐渐恢复到原来的平衡状态 或达到新的平衡状态 则称该系统是稳定的 否则 称该系统是不稳定的 注意 稳定性是系统的一种固有特性 这种特性只取决于系统的结构和参数 与外作用无关 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 稳定与不稳定系统的示例 图a摆运动示意图 稳定系统 A f 图b不稳定系统 图c小范围稳定系统 d f c A 物理意义上的稳定概念 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 设线性定常系统在初始条件为零时 输入一个理想单位脉冲 这相当于系统在零平衡状态下 受到一个扰动信号的作用 如果当t趋于 时 系统的输出响应xc t 收敛到原来的零平衡状态 即该系统就是稳定的 数学意义上的稳定概念 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 五种运动状态 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 系统特征方程的根 即系统闭环传递函数的极点 全部负实数或具有负实部的共轭复数 也就是所有的闭环特征根分布在S平面虚轴的左侧 不包括虚轴 即 2 稳定的充分必要条件 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 3 劳斯稳定判据 Routh sstabilitycriterion 由以上讨论可知 判稳先求根 但是 对高阶系统 在求根时将会遇到较大的困难 人们希望寻求一种不需要求根而能判别系统稳定性的间接方法 例如 直接用系数就可以判断系统的稳定性 而劳斯判据就是其中的一种 代数判据 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 1 列劳斯表 劳斯表 特征方程式 原始数据 计算数据 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 系统特征方程的全部根都在S左半平面 系统稳定 的充分必要条件是劳斯表的第1列系数全部是正数 方程在右半平面根的个数等于劳斯表中第1列各元改变符号的次数 2 劳斯判据 三种情况 a 劳斯表第一列所有系数均不为零 劳斯判据给出了系统特征根分布的情况 而并不能给出具体的特征根的值 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 例3 4系统的特征方程为 解 列劳斯表 劳斯表第一列的系数变号两次 系统不稳定 有2右半面的根 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 例3 5系统的特征方程如下 试用劳斯判据判断系统的稳定性 处理方法 可以用一个小的正数代替它 而继续计算其余各元 再用劳斯判据 解 列劳斯表 第一列元素变号两次 系统不稳定 有两个根具有正实部 b 劳斯表某行的第一项等于零 而本行中其余项不全为零 系统闭环极点 1 88320 2071 0 9783i0 2071 0 9783i 0 5310 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 例3 6系统的特征方程如下 判断系统的稳定性 解 列劳斯表 第1列各元中的上面和下面的系数符号不变 故有一对虚轴上的根 将特征方程式分解 有解得根为 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 处理方法 利用全0行的上一行各元构造一个辅助方程 式中均为偶次 以辅助方程的导函数的系数代替劳斯表中的这个全0行 然后继续计算下去 这些大小相等而关于原点对称的根可以通过求解这个辅助方程得出 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 用导函数的系数代替行为零元继续算下去 得劳斯表 结论 劳斯表第1列元素没变号 可确定在S右半平面没有特征根 但由于有为零行 表示在虚轴上有根 系统临界稳定状态 对辅助方程求导得 导函数为 系统极点 0 0000 2 0000i 0 0000 2 0000i 1 0000 1 0000i 1 0000 1 0000i0 0000 1 4142i0 0000 1 4142i 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 对称于原点的根还可以由辅助方程式求出 辅助方程式为 由之求得特征方程式虚根为 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 4 胡尔维茨判据 系统的特征方程式的标准形式 构造胡尔维茨行列式D 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 系统的特征方程式 上式根全部具有负实部的必要条件为其根全部具有负实部的充分条件为1976年中国学者聂义勇进一步证明 可将此充分条件放宽为此判据被称为谢绪恺判据 谢绪恺判据完全避免了除法 且节省了计算量 谢绪恺判据 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 参数对稳定性的影响 应用代数稳定判椐可以用来判定系统是否稳定 还可以方便地用于分析系统参数变化对系统稳定性的影响 从而给出使系统稳定的参数范围 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 例3 8系统的闭环传递函数为 式中 Kk为系统的开环放大系数 试求使得系统闭环稳定时Kk的取值范围 解 系统特征方程为 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 利用代数稳定判据 以代入系统特征方程式 写出z的多项式 然后用代数判据判定z的多项式的根是否都在新的虚轴的左侧 方法 S Z 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 新的特征方程为列出劳斯表 由于第一列元素符号相同 表明在右半平面没有根 但由于z1行的系数为零 故有一对虚轴上的根 这说明 新系统临界稳定 即原系统刚好有的稳定裕量 检查上述系统是否有裕量 将代入原特征方程式 得 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 3 6稳态误差 什么是稳态误差 稳态误差是描述系统稳态性能的性能指标 对于稳定的系统 暂态响应随时间的推移而衰减 若时间趋于无穷时 系统的输出量不等于输入量或输入量确定的函数 则系统存在稳态误差 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量 给定稳态误差 由给定输入引起的稳态误差 扰动稳态误差 由扰动输入引起的稳态误差 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 1 系统的控制目标 输出跟踪输入 对扰动具有抗干扰能力 2 讨论系统稳态误差的前提 系统是稳定的 随动系统要求系统输出量以一定的精度跟随输入量的变化 因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性能 系统的跟踪能力 恒值系统需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响 因而用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能 系统的抗干扰能力 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 根据终值定理 扰动作用下的稳态误差为 可见扰动误差与有关 结论 扰动误差即为扰动产生的输出 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 当给定量时 以扰动量为输入量的系统结构图如下图所示 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 则速度误差的拉氏变换为 将上述调速系统中的比例调节器换成积分调节器 构成下图所示系统 式中 无差系统 结论 在开环传递函数中 串联积分环节 可以消除阶跃扰动的稳定误差 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 2 给定稳态误差和误差系数 从输入端定义 这个误差是可量测的 容易计算 但是这个误差并不一定反映输出量的实际值与期望值之间的偏差 1 误差的两种定义 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 这种误差定义物理意义清楚 但在实际系统中有时无法测量 主要指理想输出 且不易计算 因此只具有数学意义 对于单位反馈系统 两种误差定义是相同的 从输出端定义 非单位反馈系统两种定义误差之间的关系 请同学回去推导该结论 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 结论 系统稳态误差由开环传函和输入决定 误差计算公式 2 给定误差的计算 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 3 典型输入情况下系统的给定稳态误差分析 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 0型系统 N 0 则位置稳态误差系数 0型系统的位置稳态误差为 型以上系统 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 单位斜坡函数输入 速度误差系数 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 各型系统在斜坡输入时的稳态误差为 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 单位抛物线函数输入 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 误差系数与稳态误差之间的关系 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 step feedback tf 1 conv 10 11 1 step feedback tf 1 11 1 step feedback tf 21 conv 100 11 1 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 结论 为使系统具有较小的稳态误差 必须根据不同的输入选择不同类型的系统 且选取较大的值 但考虑稳定性问题 一般选择II型或II型以下系统 且也要满足稳定性要求 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 3 动态误差系数 误差传递函数为 将分子和分母中幂次相同各项合并得 前面的计算方法只能根据终值定理求得稳态误差值 本节方法 即可求出稳态值又可了解系统进入稳态后误差随时间变化的规律 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 方法一 由终值定理求稳态误差值 取极限求稳态误差值 方法二 由误差的时间函数求稳态误差值 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 例3 11有一单位反馈系统 其开环传递函数为 试计算输入量为和时系统的稳态误差及误差时间函数 解 该系统为0型 误差传递函数为 展开成s的升幂级数 长除法 得 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 例3 12一单位反馈系统的开环传递函数为 试求输入量为时 系统的稳态误差时间函数和稳态误差 解系统给定误差的传递函数为 用叠加原理 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 已知给定输入量为 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 小结 系统的稳态误差只有对稳定的系统才有意义 系统的稳态误差与系统的结构和参数以及输入信号的特征 大小及作用点有关 开环放大倍数以及输入信号的幅值只能影响稳态误差的大小 而不能决定稳态误差的存在与否 系统扰动引起的稳态误差 可用扰动引起的输出来求 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 3 减小稳态误差的方法 随着积分环节个数增加稳态误差降低 K值增大稳态误差降低 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 增大系统的开环放大系数但值不能任意增大 否则系统不稳定 提高开环传递函数中的串联积分环节的阶次N但N值一般不超过2 采用补偿的方法引入与扰动或给定量有关的补偿信号 来减小误差 这种控制称为复合控制或前馈控制 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 给定误差的拉氏变换为 选择补偿校正装置为 系统补偿后的误差 闭环传递函数为 这种将误差完全补偿的作用称为完全补偿 按给定作用的不变性条件 输出量完全再现输入量 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 复合控制系统结构图二 引入扰动的补偿 系统的扰动误差就是给定量为零时系统的输出量 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 如果选取 则得到 这种作用是对外部扰动的完全补偿 实际上实现完全补偿是很困难的 采取部分补偿也可以取得显著的效果 按扰动的不变性条件 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 例3 13一随动系统 补偿前 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 当时 速度稳态误差系数为 系统的稳态误差为 系统的给定误差为 有差系统 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 为了补偿系统的速度误差 引进了给定量的微分信号 如下图所示 补偿校正装置的传递函数为 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 加入补偿后系统的闭环传递函数为 复合控制的给定误差传递函数为 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 误差的拉氏变换为输入量为单位斜坡函数 系统的给定稳态误差为 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 加入补偿校正装置 也称为前馈控制 使系统的速度稳态误差为零 此时其等效开环传递函数为注 加入前馈控制后 系统的稳定性与未加前馈相同 因为这两个系统的特征方程式是相同的 即提高了稳态精度 系统稳定性又不变 型系统 型系统 2020年2月26日 第三章自动控制系统的时域分析 小结 1 用时域响应来分析系统的性能的 通常是