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雨露初三潜能班部分参考答案九年级（上）数学创造性学习潜能开发班第一讲：一元二次方程（一）【核心内容】略【思维体验】 一、一元二次方程的概念【例1】（1）（D）（2）由题意：， 当a=4时，a-4=0（舍去），当a=-4时，方程符合题意， 【例2】当 或或或或时，原方程为关于x的一元二次方程，因此，得或或或或二、一元二次方程的解【例3】已知m,n是二次方程x2+1999x+7=0的两个根；求（m2+1998m+6）(n2+2000n+8)的值【解答】m是x2+2009x+7=0的根，同理：原式=(-m-1)(n+1)= - (mn+m+n+1)由根与系数的关系得：mn=7,m+n= -2009, 所求代数式= -(7-2009+1)=200 1【例4】已知方程x2-mx+m+5=0有两实根，；方程x2-(8m+1)x+15m+7=0有两实根，求2的值（北京市竞赛题）【解答】方程x2-mx+m+5=0和方程x2-(8m+1)x+15m+7=0都有根 - (-m+8m+1)-14m-2=0 (7m+1)( -2)=0 m=或=-2当m=时，两方程相同，不合题意舍去。=2代入，4-2m+m+5=0 m=9此时，两方程，由根与系数关系：=14，=142，2=14142=1988三、一元二次方程根的判别式及应用【例5】【解答】（可以直接想，也可以从反面入手）假设三个方程都没有实根 则 1-4m0 且 4-4(m-1)0 且 4+4(m-2)2 且 m, 令 , 【一试身手】【基础训练】1 a为何值时，关于x的方程x2-ax(3x-a)=x+1是关于x的一元二次方程【解答】易求：2 已知a是方程x2-2008x+1=0的一个根，求a2-2007a+的值【解答】a是方程x2-2008x+1=0的根, a2-2008a+1=0a2+1=2008a a2-2007a=a-1原式=（其中一种变形，可让学生探多种变形方式）3正比例函数y=(a+1)x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+(1-2a)x+a2=0,则此方程根的情况是（ ） (A) 有两个不相等的实数根 (B) 有两个相等的实数根 (C)没有实数根（D）不能确定（2006年中考试题）【解答】：易选（A）4设x1 ,x2 是方程x2-2x-11=0的两个根，求x14+x24的值【解答】：由根与系数关系：，【提高训练】1已知x=-1,求的值（希望杯邀请赛试题）【解答】： 2已知a ,b ,c满足a+b+c=0,abc=8, 且c0，求证：c2【解答】：abc=8 a,b,c不等于0 c0,a+b+c=0,abc=8 a,b同号并同时为负数a+b=-c ab= 则a,b为方程两根，a,b为实数， c0 3设a, b, c为互不相等的非零实数，求证：三个方程ax2+2bx+c=0, bx2+2cx+a=0, cx2+2ax+b=0, 不可能都有两个相等的实数根（山东省竞赛题）【解答】：假设同时都有两个相等的实根，且 且 三个式子相加得： a=b=c这与a,b,c互不相等矛盾，三个方程不可能都有两个相等的实数根。4如果方程（x-1）(x2-2x+m)=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数 m的取值范围是（ ）（全国初中数学竞赛试题）（A）0m1 (B) m (C) m1 (D) m1【解答】： 或 由题意三根课作为一个三角形三边长，不妨设另两边为， 有根 +=2 =m0 m满足条件 即选（C）5设实数s、t分别满足19s2+99s+1=0, t2+99t+19=0并且st1，求的值友情提示；若先求出s、t再代入求值，计算太繁。仔细观察两个方程的系数特点，恰当变形，使两个方程具有相同的结构，这是解本例的关键。【解答】： t2+99t+19=0 t=0时，左边=19右边， t0两边同时除以， 19s2+99s+1=0 s, 是方程19x2+99x+1=0de 两根且st1，即s s+= s= 【成就测试】 1C2 由上述关系得：m=-3 选（A） 3或4若关于x的方程x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。【解答】： 5在等腰ABC中（非等边三角形），已知a=3, b,c是关于x的方程x2+mx+2-m=0,的两个根，试求ABC的周长。 （上海市中考试题）【解答】：分类讨论，如果a=b=3,则3是方程的根 方程为 周长=当b=c时，则方程有等根， 整理为： ， b+c=-m0 m1,b1且ab.公共根是a= 或b=.两个等式去分母后的结果是一样的.即aba=b+2, abab+1=3, (a1)(b1)=3. a,b都是正整数，；或.解得；或.又解：设公共根为x0那么先消去二次项：（b1）（a1）得（a2+2）(b1)+(b2+2)(a1)x0+(a2+2a)(b1)(b2+2b)(a1)=0.整理得（ab）(abab2)(x01)=0.abx01；或(abab2)0.当x01时，由方程得a=1,a1=0，方程不是二次方程.x0不是公共根.当(abab2)0时，得(a1)(b1)=3解法同上.5若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx2-2x-m+1=0的根（m为整数），这样的三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在。请说明理由。（湖北省黄冈市竞赛题）解：【成就测试】1 解方程x2-3+2=0解： 2.解：3证明（用反证法）设两个方程都没有两个不相等的实数根，那么10和20.即由得b ，b+1 代入，得ac=b+1，4c4a5 ：a24a+50，即（a2）2+10，这是不能成立的.既然10和20不能成立的，那么必有一个是大于0.方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当120时，则1和2中至少有一个是正数.4.已知实数a、b满足a2+ab+b2=1,且t=ab-a2-b2，求t的取值范围（全国数学联赛）解：+ t+1=2ab第三讲：证题方法及应用（一）问题解答【思维体验】例1 略例2BDDE于D，CEDE于E，BDA=AEC=90，DAB+ABD=90，在RtBDA和RtAEC中，BDA=AEC=90，AB=AC，AD=CE，RtBDARtAEC，DBA=CAE，DAB+CAE=DAB+DBA=90，BAC=90，ABAC解答一图解答二图3例2 【解答一】在DC上截取DE=DB，连接AEADBC，DC=AB+BD，DE=DBEC=AB，ADB=ADE=90则AD=AD，ADB=ADE=90，DB=DEADBADEAB=AE，ABD=AED又AB=ECAE=ECCAE=C，AED=CAE+C=2C又BAC=120C=20【解答二】延长DB到E，使得BE=AB，连接AE，则E=EAB，ABD=2EADBC，DC=AB+BD，BE=ABED=DB+EB=DB+AB=DC，ADC=ADE=90则AD=AD，ADE=ADC=90，DE=DCADEADCAE=AC，E=CABD=2EABD=2C在ABC中，BAC=120，ABD=2C则C=20【举一反三】1【证明一】（根据BD平分ABC应用角平分线性质构造全等）如图：过点D作DEAB于点EDFBC于点F，在BC上截取BG=BD，连结DGAB=AC，BAC=100，BD平分ABC交AC于点D，BG=BD证明一图ABC=ACB=40ABD=CBD=20，BDG=BGD=80DAE=80BGD=DAEBD平分ABC交AC于点D过点D作DEAB于点E，DFBC于点FDE=DF，AED=GFD=90在AED和GFD中，BGD=DAE，AED=GFD=90，DE=DF证明二图AEDGFDAD=GD在CGD中，ACB=40，BGD=80则GDC=40=ACB，则DG=GC又AD=GDAD= GC又BD=BGBC=BG+CG=BD+AD【证明二】（通过对折变换以及截长补短构造全等）在BC上截取BF=BD，连结DF在BC上截取BE=AB，连结DEAB=AC，BAC=100BD平分ABC交AC于点D，BD=BFABC=ACB=40，ABD=CBD=20BDF=BFD=80，FDC=BFDACB=8040=40=ACBFD=FC在BAD和EAD中，AB=EB，ABD=CBD=20，BD=BDBADEADBED=BAC=100，DA=DEDEF=80又BFD=80DEF=BFDDE=DF又DA=DE，FD=FC证明三图BC=BF+FC=BD+CF=BD+DF=BD+DE=BD+AD【证明三】（“截长补短”构造全等）延长BD到F，使得BF=BC，连结CF在BC上截取BE=BA，连结DE，AB=AC，BAC=100BD平分ABC交AC于点D，BD=BFABC=ACB=40，ABD=CBD=20ADB=60在BAD和EAD中，AB=EB，ABD=CBD=20BD=BDBADBEDAD=ED，ADB=ADE=60CDE=CDF=60CBD=20，BF=BCBFC=BCF=80又ACB=40DCF=40=ACB在FCD和ECD中，CDE=CDF，CD=CD，ACB=DCFFCDECDDF=DE又AD=EDAD=DFBC=BF=BD+DF=BD+DE=BD+AD【证明四】（通过构造含有30角的直角三角形）延长BD到F，使得DF=DA连接AF，过点B作BNAF于点N，作AMBC于点M，AB=AC，BAC=100，BD平分ABC交AC于点D，ABC=ACB=40，ABD=CBD=20ADB=60证明四图DF=DADAF=DFA=30又BNAFBN=BFAB=AC，BAC=100AMBC于点M，BNAFBAM=CAM=50BMA=90=BNA， MB=MC又DAF=30，BAC=100BAN=50=BAM在BNA和BMA中，BNA=BMA，BAN=BAM，AB=ABBNABMABN=BMMB=MC，BN=BFBD+AD=BD+DF=BF=2BN=2BM=BM+MC=BC【证明五】（通过作平行线构造等腰三角形）过点D作DEBC交AB于点E，在BC上截取BF=BD，连结DFAB=AC，BAC=100，BD平分ABC交AC于点DABC=ACB=40，ABD=CBD=20，BDF=BFD=80FDC=BFDACB=8040=40=ACBDF=FCDEBC CBD=EBD=20，AED=ABC=ACB=ADE=40证明五图ED=BE，AD=AE又AB=ACEB=DC=ED在AED和DFC中，AED=FDC，ED=DC，ADE=FCD，AEDDFCDE=DC，AD=CF 又BD=BFBC=BF+FC=BD+CF=BD+AD如果作为竞赛训练题还有其它解法（下面只提供一种）【证明六】（构造等边三角形）以BC为边作正EBC，连结EAAB=AC，BAC=100，BD平分ABC交AC于点D，正EBCABC=ACB=40，DBA=DBC=20，EBA=20，ADB=60，BEC=60以B为圆心，以BD为半径画弧交AE于点F，则BD=BF，连结AFBF=BD，EBA=DBA，BA=BA证明六图FBADBAAF=AD，ADB=AFB=60AB=AC，EA=ECE、A都在BC的垂直平分线上AEBC，AE平分BC又AB=AC，BEC=60EA平分BEC，AEF=30又AFB=60EAF=AFBAEF=30=AEFAF=EF又AF=AD，BC=BE，BD=BFBC=BE=BF+EF=BD+AF=BD+AD【举一反三】2【证明一】在AB上截取AE=AC，连接DEAE=AC，AB=AC+CDEB=CDAD平分BAC证明一图BAD=CADAE=AC，BAD=CAD，AD=ADADEADCDE=DC，AED=C又CD=EBDE=EB证明二图B=EDB，C=AED=B+EDB=2BB:C=1:2【证明二】延长AC到E使得AE=AB，连接DEAE=AB，AB=AC+CDCE=CDE=CDE,ACB=CDE+E=2EAD平分BACBAD=CADAE=AB，CAD=BAD，AD=ADADEADBE=B又ACB=2EACB=2BB:ACB=1:2例3【证明一】延长FM到点G，使得MG=FM，连接BG证明一图MB=MC，AMG=CMF，MG=MFBMGCMFCF=BG，G=CFMADMECFM=DAC，CFM=EDAC=BADCFM=BAD=E=G证明二图BE=BG，而BG=CF，则BE=CFBE=AB+AE，AE=AF2BE=AB+AF+CF即：CF=BE=【证明二】利用中点构造中位线证明过点B作BGEM交CA的延长线于点GBGEM，M为BC的中点CF=FGBGEM，ADME，AD平分BACBAD=CAD，CAD=G=AFE，BAD=ABG=EABG=G，E=AFEAB=AG，AE=AFBE=AB+AE=AG+AF=FG=CF=例4【证明】连接PNP为BC的中点，N为CD的中点证明图NPBC，NP=又Q为MN的中点，即：M是AB的中点MA=MB=AE=MAME=AE=CE【举一反三】【解答】PQ的长度不变化，等于理由：连接EB，取EB的中点H，连接HF、FM、MG、GH、MH、NHH为EB的中点，F为BC的中点，M为CD的中点，G为DE的中点四边形HFMQ是平行四边形，且MH与FG互相平分，即：Q为MH的中点解答图又P为MN的中点H为EB的中点PQ=，即：PQ的长度不变化，等于例5【证明】ACB=90，CDAB，图10，以、为边的三角形是直角三角形例6【证明】如图，构造长是、宽是的矩形ABCD，其中,，则，则存在CEF，使得三边分别是，证明图=解答一图【举一反三】1【解答】以A为顶点，如解答一图，易证：CAD=ADQ，BEF=QAP，AGH=ADP，则CAD+BEF+AGH=ADQ+QAP+ADP=45解答图2【解答】如图构造BGM，设正方形的边长为，易证BG=MG=，BM=，EBH=45，则，则BGM=90，GBM=GMB=45，而AEFAEM，则EBF=EBM，EBH+EBF+EBG=45+EBM+EBG=45+GMB=45+45=90例7【证明一】连结MBACBBDEAC=BD，BC=DE，AB=BE，ABC=BED，CAB=EBD又ACB=90，BDE=90，M为AE的中点ABE=90，MB=MA=ME，BAM=MBA=MBE=BEM=45，BMAECAM=CAB+BAM=CAB+45=EBD+45=DBM在CAM和DBM中，CA=DB，CAM=DBM，MA=MBCAMDBM，CM=DM，AMC=BMD又BMAEAMB=90，CMD=CMB+BMD=CMB+AMC=AMB=90证明一图MCD是等腰直角三角形【证明二】观察整个图形四边形ACDE是一个直角梯形，M为AE中点，考虑构造中位线来解决问题取CD的中点N，连结MNACB与BDE是两个全等的直角三角形，C、B、D在一条直线上，MNACED，CN=DN，MNCD解答图2MN=CN=DN，MNCDMCD是等腰直角三角形【证明三】根据已知，M是AE的中点，ACDE延长CM交DE的延长线于点N，构造ACMNEM，得到：MN=MC，NE=AC，而AC=BD解答图3得到等腰直角CDN，M为CN的中点，则N=DCN=45，CM=MC=MN，DMCN，则问题得证延长CM交DE的延长线于点NACD=CDE=90ACDE，M为AE的中点CM=NM，AC=ENCB=DE，BD=ACDC=CB+DB=DE+AC=DE+EN=DNCDE=90，MC=MNDCN=DNC=45，DM=CM=NMDCN=CDM=45CMD=90CMD是等腰直角三角形【一试身手】【基础训练】1B； 2； 36；4证明：过点D作DEAB于点E，则AED=90，C=90，BED=90AD是BAC的角平分线，EAD=CADAED=90，C=90，AED=CAED=C，EAD=CAD，AD=AD，AEDACDDE=DC，AC=AE设，CD=根据BC=2AC得到：BC=，根据C=90，BC=2AC，得到： 根据AC=AE得到：AE=AC=，根据DE=DC得到：DE=DC=在三角形BED中，BDE=90，即：=，则AB+2BD=5AC解答图解法二：过点D作DEAB于点E，则AED=90，C=90，BED=90AD是BAC的角平分线， EAD=CAD，AED=90，C=90， AED=CAED=C，EAD=CAD，AD=AD，AEDACD， DE=DC，AC=AE，设，CD=，根据BC=2AC得到：BC=，根据C=90，BC=2AC，得到：，根据AC=AE得到：AE=AC=，根据DE=DC得到：DE=DC=C=90，BC=2AC，DEAB，C=BED=90，B=B，BE=解答图则BD=，则AB+2BD=5AC【提高训练】5解答：在AB上截取AE=AB，连接DEAE=AB，AC=AB+BDBD=CEAD平分BACBAD=CADAE=AB，BAD=CAD，AD=ADABDAEDDE=DB，AED=B又BD=CEDE=ECC=EDC，B=AED=C+EDC=2CB=80C=40，A=606解答：AB=AC，ABC=ACB=，ABC与ACB都是锐角，AD=DE，DEA=DAE=，DAE与DEA都是锐角，则ADE=，则BAC为钝角，过点C作CFAB，过点D作DFBC交CF于点F，则四边形BDFC是平行四边形，则DB=CF，BC=DF，EAD=ECF，ADF=ABC=DA=CE，AB=AC解答图DB=AE而DB=CFDB=AE=CFDA=CE，EAD=ECF，AE=CFDABECFED=EF又ED=BC，BC=DFED=DF=EFEDF是等边三角形60=EDF=ADE+ADF=+BAC=100解答图7解答：如图，作边长为1的正方形ABCD，分别在AB、AD上取AE=a，AG=b，过E、G分别作AD、AB的平行线，交CD、BC于F、H，EF、GH交于O点.由题设条件及作图可知，AOG、BOE、COF、DOG皆为直角三角形.OC=再连结对角形AC，BD，易知AC=BD=，OA+OCAC，OB+ODBD，第三讲：证题方法及应用（一）成就测试班级 姓名 得分 一、选择题（每小题15分，共30分）1答案：D如图1、图2、图3；解答图3解答图1解答图2对于图1，此时AB=AC，BDAC，BD=，可求BAC=120，ABC=ACB=30；对于图2，此时AB=AC，BDAC，BD=，可求BAC=150，ABC=ACB=15；对于图3，此时AB=AC，BDAC，BD=，可求BAC=30，ABC=ACB=75；2答案：D可以运用验证排除法综合法：设直角边为、，不妨设则则则则则则则或则或答案是D二、填空题（每个小题15分，共30分）3答案：4答案：90三、解答题5解答：AE=DE=BD，BE=BC，AB=ACDBE=DEB，A=ADE=2DBE，BEC=BCE=A+DBE=3DBE1题解答图ABC=BCE=3DBEA+ABC+BCE=1802DBE+3DBE+3DBE=1802DBE=45A=2DBE=456证明一：构造矩形ABCD，使得AB=3，BC=4，在CD上截取CE=1，在AD上截取AF=1，则DE=2，DF=3，可以得到：，可得：=是有理数2题解答1图证明二设ABC中，、，作CMAB于M，设，则，2题解答2图则，则，则，=是有理数第四讲证题方法及应用（二）解答例1P是等腰直角ABC的斜边AB上的任意一点，PEAC于E，PFBC于F，PGEF于GCBA=45，BPF=45，四边形PECF是矩形，HP=HF，HPF=HFPGPF=90HPF，CPB=HPF+BPF=HPF+45BPD=180GPFBPF=180（90HPF）45=HPF+45CPB=BPDCP=DP，CPB=BPD，PB=PBBCPBDPBD=BC，CBA=DBACBA=45CBD=CBA+DBA=90【举一反三】证明：正方形BCEF、正方形ABGH，BG=BA，GBA=BAH=90PABC于DABD=PAH90+ABD=90+PAH即：GBC=BAPBG=BA，GBC=BAP，PA=CBGBCBAP GC=BP，BGC=ABPGBA=90，BGC=ABP，ABP+GBP=90BGC+GBP=90BPGC例2【解答一】易证：DBFABCEFC，ACB是直角三角形则=-6=-6=6【解答二】易证：DBFABCEFC，ACB是直角三角形，得到：平行四边形ADFE，且AD=FE=4，AE=DF=3，DAE=150，作四边形ADFE的高AM，则AM=，则=6【举一反三】(1) ABD和FBC都是等边三角形，DBF=ABC. 又BD=BA，BF=BCABCDBF, AC=DF=AE. 同理ABCEFC AB=EF=AD四边形DAEF是平行四边形(2)BAC=；AB=ACBC；BAC=且AB=AC；BAC=；BAC=且ABAC； BAC=且AB=AC例3、【证明】AC与BD相交与点O，直线BD，且与AB、DC、BC、AD、AC的延长线分别交于点E、F、H、G、M，则，则，即：例4、【证明】延长CO交DA的延长线于点G，解答图凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于E、F，交CB的延长线于点O，【举一反三】理由：平行四边形ABCDABCD，ADBC，即：特别地：当点A、E、F重合时，变为如图8，则得出：例5、【解答一】设，可得：，DEBCADEABC，=所以不能大于【解答二】过点E作过点E作EFAB交BC于F，设，DEBC，EFABADEEFCABC，而，则，则则=则=，即：例6【解答】猜想HAF=45设正方形ABCD的边长为，DH=，BF=，根据矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE的面积的2倍，例6解答图得：，则而=，则过点A作AMAH交CB的延长线于点M又正方形ABCDMAB=90BAH=DAH，ABM=ADH=90，AB=ADMAB=DAH，AB=AD，ABM=ADH=90ABMADHAM=AH，BM=DHFM=BN+BF=DH+BF=FHAM=AH，AF=AF，FM=FHMAFHAFMAF=HAF又AMAHHAF=MAF=45例7【解答】（1）设，易知ABEFCD同理： 则（2）ABEFCD同理： 则（3）结论：理由：过点AA1BD于点A1，EE1BD于E1，CC1BD于C1则AA1EE1CC1解答图AA1B=EE1F=CC1D，ABA1=EFE1=CDC1AA1BEE1FCC1D，AA1BD于点A1，EE1BD于E1，CC1BD于C1【一试身手】【基础训练】1192；212；345；44；5AEB=30；【提高训练】图21不变化，2证明：连接PCAB=AC，D为BC的中点ADBC，BD=CD，ABC=ACBPB=PC，PBC=PCBABP=ACPCGABABP=EACP=E图3又CPF=EPCPCFPECPB=PC3解答：易证：BAFEDFECB由已知条件得到：BA=EC=ED，BAE=ECB=EDF=150，AF=CB=DF则BAFEDFECB所以BF=EB=EF，AEF是等边三角形而= 在FAB中，FA=8，AB=6，FAB=150，则（过点F作FMAB于M，则FM=）则=，则有理数，则【成就测试】一、选择题1A；2C；二、填空题3；42；三、解答题（ 5证明一：EGAD，AD是三角形ABC的中线BD=CD解答二：过点C作CMAB交AD的延长线于点M，交FE的延长线于点NEGAD，CMAB，BD=CD平行四边形AMNGAM=NG，AD=DM，EF=ENEF+EG=EN+EG=GN=AM=AD+DM=2AD解法三过点A作ANBC交EG于点NANBC，EGAD平行四边形ANEDAN=DE，EN=ADANBC，EGADGANABD，NG+EF=ADEF+EG=EF+EN+NG=（EF+NG）+EN=2AD6解答：过点B作BFDA交DA的延长线于点F，在DF的延长线上截取FG=CE，连结BG可以证明：四边形BFDC为正方形，且BCEBFGCBE=FBG，而ABE=45，BG=BE，CE=FG则ABG=ABF+FBG=ABF+CBE=45=ABEBE=BG，ABG=ABE ，BA=BAABEABG，AG=AEAE=AG=AF+FG=AF+CEAE=10设CE=x，则在ADE中，ADE=90，AD=，AE=10或当或都符合题意第5讲 反比例函数 问题解答例1分两种情况考虑： （1） a1，a2符号相同.A（a1，b1）B（a2，b2）0当a1，a2同正，A，B两点同时位于第四象限的曲线上；当a1，a2同负，A，B两点同时位于第二象限的曲线上，满足当k0时，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大，所以有b1b2. （2）a1，a2符号相反.因为a1a2， 所以有a10a2 ，点A位于第二象限图象上，点B位于第四象限的曲线上 ，由于两点分别位于两个象限，不适用性质来判断b1，b2的大小.可通过图象直接比较得出b1b2.例1解答图 例2 2例3解：（1）将分别代入中，得 反比例函数的表达式为： 正比例函数的表达式为 （2）观察图象，得在第一象限内，当时，反比例函数的值大于正比例函数的值（3） 理由： 即即例4(1)B点的坐标为(3,3) k9 (2)P1(6,) P2(,6) (3)S93m(0m3) S9(m3)例5解：（1）由题意，得点C（0，2），点A（4，0）设点P的坐标为（a，a2），其中a0由题意，得SABP（a4）（a2）9解得a2或a10（舍去）而当a2时，a23，点P的坐标为（2，3）（2）设反比例函数的解析式为y点P在反比例函数的图象上，3，k6 反比例函数的解析式为y，设点R的坐标为（b，），点T的坐标为（b，0）其中b2，那么BTb2，RT当RTBAOC时，即，解得b3或b1（舍去）点R 的坐标为（3，2）当RTBCOA时，即，解得b1或b1（舍去）点R 的坐标为（1，）综上所述，点R的坐标为（3，2）或（1，）例6（1）依题可得得k2反比例函数解析式为y（2）由得经检验都是原方程组的解（3）A点在第一象限；A点坐标为（1，1）（3）OA，OA与x轴所夹锐角为45当OA为腰时，由OAOP，得P1（，0），P2（，0）；由OAOP，得P3（2，0）当OA为底时，得P4（1，0）这样的点有4个，分另是（，0），（，0），（2，0），（1，0）例7(1)过点E、F分别作y轴、x轴的垂线，垂足分别为D、C，则AOB、FCA、yBAONMEFPCDDBE都是等腰直角三角形 设P(a,b),则FC=b，ED=a，AF=b,BE=a,AFBE=ba=2ab,x又b=,即2ab=1，AFBE=1(2)设平行于AB的直线l的解析式为y=-x+by=-x+by=平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点方程组 只有一组解 消元得：2x2-2bx+1=0x=y= 由=4b2-8=0,得：b=(舍去b=) 方程组的解为 即公共点的坐标为(，)举一反三：(1)E(a,1-a),f(1-b,b) (2) SOEF(a+b-1)(3)提示：由OAOB= AFBE=1，得.OAF=EBO=45 . EBOAOF. (4)由（3）可证得EOF=例8解：（1）在双曲线上，轴，轴，A，B的坐标分别， (1分)又点A，B在直线上， (2分) 解得或 (4分)当且时，点A，B的坐标都是，不合题意，应舍去；当且时，点A，B的坐标分别为,符合题意且.(5分)（2）假设存在点使得 轴，轴，RtRt,(7分)设点P坐标为（1x8），则M点坐标为，.又，即（） (9分)方程（）无实数根所以不存在点使得 【基础训练】1D 2(1)A(1,0), B(0,1), D(1,0) (2) y=x+1, y= 3(1)2 (2)2+【提高训练】 1解：（1）S（2）由mn10，得m10n代入（1），当时，S最大（3）过C、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F由BDCDCA，根据平行线等分线段定理得OEEFFA又OA3m，OE2m，OFm可设C、D两点坐标分别为C（2m，y1），D（m，y2）又C、D在反比例函数的图像上，C（2m，），D（m，1）2（1）SAOB，.当时， . (2)A()代入，. 3（1） （2） 第5讲 反比例函数成