圆锥曲线求参数范围.doc

2011高三 理科数学 专题复习专题八 圆锥曲线求参数范围专题一、如何建立不等关系？（求参数范围的关键是建立不等关系）：1、 利用圆锥曲线的定义。如离心率的范围。5、转化为函数的值域或最值。二、类型与解题策略1、 单参数问题。如求参数m的范围，只要列出含m这一个参数的不等式（组）求解。2、 双参数问题。如求参数m的范围，需联系另一参数k，对策有(1)将m表示成k的函数：m=f(k),利用k的范围，求f(k)值域；(2)列出m、k混合的关系式（等式），再列出m、k受限条件（不等式），从等式中解出,代入不等式进而解出m的取值范围。3、 求与“比值”有关范围问题，常用：(1) 列齐次式的思想，如求离心率的范围可以列出含a、c的齐次不等式；求的范围，有时可以用韦达定理求，变形即有。(2) 利用向量共线求比值范围。得到关于坐标的方程，变形后用韦达定理求解。三、例题：1、利用曲线的定义、标准方程和性质列不等关系例1、设椭圆的两个焦点是，且椭圆上存在一点P，使得直线PF1与PF2垂直。求实数m的取值范围。解：(单参数问题，本题抓住椭圆方程对椭圆上的点P坐标的限制)由题设有，设点P的坐标为由FF1PF2，得：化简得： （1），将（1）与联立，解得由得所以的取值范围是同型练习双曲线焦点距为2c，直线l过点（a,0）和(0,b)，且点（1，0）和（-1，0）到直线l的距离之和，求双曲线的离心率e的取值范围。解：直线l的方程为即，点（1，0）到直线l的距离 点（-1，0）到直线l的距离 ， 由得 即于是得，得： 由于，所以的取值范围.2、利用方程有实根的充要条件列不等关系例2、求F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.（）若r是第一象限内该数轴上的一点，求点P的作标；（）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围.解：（）易知，设则，又，联立，解得，（）显然不满足题设条件可设的方程为，设，联立，由 ，得又为锐角， 又综可知，的取值范围是同型练习3、利用点在曲线内的充要条件列不等关系例3、已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.（）求椭圆C的方程;（）设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围。解: （）依题意，设椭圆C的方程为焦距为，由题设条件知， 所以 故椭圆C的方程为 .（）椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标，显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。 如图，设点M，N的坐标分别为线段MN的中点为G，由得. 由解得. 因为是方程的两根，所以，于是=， .因为，所以点G不可能在轴的右边，又直线,方程分别为所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为 即 亦即 解得，此时也成立. 21世纪教育网 故直线斜率的取值范围是同型练习已知椭圆C：上存在关于直线对称的两点，试求m的取值范围。解（利用点在圆锥曲线内的充要条件）设为椭圆上关于直线对称的点，AB的中点，则 (1) (2) (3) (4) (5)(2)(1)并整理得 (6)将(3)、(4)代入(6)得 (7)由(5)、(7)得M点得坐标为。因为点M在椭圆内，所以，解得m的取值范围4.转化为求函数的值域同型练习已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是（）求双曲线C的方程；（）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围（）解：设双曲线的方程为（）由题设得，解得，所以双曲线方程为（）解：设直线的方程为（）点，的坐标满足方程组将式代入式，得，整理得此方程有两个一等实根，于是，且整理得由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，从而线段的垂直平分线方程为此直线与轴，轴的交点坐标分别为，由题设可得整理得，将上式代入式得，整理得，解得或所以的取值范围是5、利用双参数的混合关系式列等量与不等量关系例5（双参数且没有已知其中一个参数的范围） 已知动点P与双曲线的两个焦点F1、F2的距离和为定值，且的最小值为（1）求动点P的轨迹方程；（2）设M（0，-1），若斜率为的直线l与P的轨迹交于不同的两点A、B，试求k的取值范围，使。解：（1）（2） 设P为MN的中点，解方程组得得又由得：，变形后，得 由、可得：-1k0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2 a2 -a2b2+b2对mR恒成立.当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b20. a2a2b2- b2, a20,b0,所以a0, 解得a或a,综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.解法二：（）同解法一，（）解：（i）当直线l垂直于x轴时，x=1代入=1.因为恒有|OA|2+|OB|2|AB|2,2(1+yA2)1，即1,解得a或a.（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）, B（x2,y2）.设直线AB的方程为y=k(x-1)代入得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,故x1+x2=因为恒有|OA|2+|OB|2|AB|2,所以x21+y21+ x22+ y22( x2-x1)2+(y2-y1)2, 得x1x2+ y1y20恒成立.x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2=(1+k2).由题意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b20时，不合题意；当a2- a2 b2+b2=0时，a=;当a2- a2 b2+b20时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)0,解得a2或a2（舍去），a，因此a.综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.17.如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，是半圆弧上一点，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；（）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.若的面积不小于，求直线斜率的取值范围.解：（）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得MA-MB=PA-PBAB4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c2，2a2，a2=2,b2=c2-a2=2.曲线C的方程为.解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得MA-MB=PA-PBAB4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为0，b0）.则由解得a2=b2=2, 曲线C的方程为()解法1：依题意，可设直线l的方程为ykx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， k（-,-1）（-1，1）（1，）.设E（x，y），F(x2,y2)，则由式得x1+x2=,于是EF而原点O到直线l的距离d，SDEF=若OEF面积不小于2,即SOEF，则有 综合、知，直线l的斜率的取值范围为-，-1(1-,1) (1, ).解法2：依题意，可设直线l的方程为ykx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-k2）x2-4kx-6=0.直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， .k（-，-1）（-1，1）（1，）.设E(x1,y1),F(x2,y2),则由式得x1-x2= 当E、F在同一去上时（如图1所示），SOEF当E、F在不同支上时（如图2所示）.SODE=综上得SOEF于是由OD2及式，得SOEF=若OEF面积不小于2 综合、知，直线l的斜率的取值范围为-，-1（-1，1）（1，）.18、 已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦