第三节 连续型随机变量及其概率密度.ppt

2 3连续型随机变量及其概率密度 2 3 1连续型随机变量及其概率密度函数 2 3 常见的连续型随机变量 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间 对这种类型的随机变量 不能象离散型随机变量那样 以指定它取每个值概率的方式 去给出其概率分布 而是通过给出所谓 概率密度函数 的方式 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法 2 3 1连续型随机变量及其概率密度函数 定义 设X是一随机变量 若存在一个非负可积函数f x 使得 其中F x 是它的分布函数 则称X是连续型随机变量 f x 是它的概率密度函数 p d f 简称为密度函数或概率密度 分布函数F x 与密度函数f x 的几何意义 概率密度函数f x 的性质 3 在f x 的连续点处 f x 描述了X在x附近单位长度的区间内取值的概率 1 2 这两条性质是判定一个函数f x 是否为某r vX的概率密度函数的充要条件 注意 对于连续型随机变量X P X a 0 这里a可以是随机变量X的一个可能的取值 命题 连续型随机变量取任一常数的概率为零 事实上 对于连续型随机变量X 例2 3 1设随机变量具有概率密度函数试确定常数A 以及的分布函数 解 由 知A 3 即 而的分布函数为 解Step1 利用密度函数的性质求出a 例 已知密度函数求概率 Step2 密度函数在区间的积分得到此区间的概率 例 已知分布函数求密度函数 2 X的密度函数 2 密度函数为 解 解 当x 1时 当1 x 5时 例 已知密度函数求分布函数 已知连续型随机变量X的概率密度为 求X的分布函数 当x 5时 所以 2 3 2 1均匀分布 a b 上的均匀分布 记作 2 3 2常见的连续型随机变量 若X的密度函数为 则称X服从区间 其中 X的分布函数为 即X的取值在 a b 内任何长为d c的小区间的概率与小区间的位置无关 只与其长度成正比 这正是几何概型的情形 在进行大量数值计算时 如果在小数点后第k位进行四舍五入 则产生的误差可以看作服从 应用场合 例 设 在 1 5 上服从均匀分布 求方程 有实根的概率 解方程有实数根 即 而的密度函数为 所求概率为 2 3 2 2指数分布 若X的密度函数为 则称X服从参数为 的指数分布 记作 X的分布函数为 0为常数 对于任意的0 a b 应用场合 用指数分布描述的实例有 随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 动物的寿命 指数分布常作为各种 寿命 分布的近似 例2 3 2 令 B 等待时间为10 20分钟 2 3 2 3正态分布 若X的密度函数为 则称X服从参数为 2的正态分布 记作X N 2 为常数 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布 正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广 所以通常称为高斯分布 德莫佛 德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式 这一公式被认为是正态分布的首次露面 正态分布的密度函数的性质与图形 关于x 对称 升 降 单调性 对称性 拐点 中间高两边低 对密度曲线的影响 正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线 特点是 两头小 中间大 左右对称 决定了图形的中心位置 决定了图形中峰的陡峭程度 应用场合 若随机变量X受到众多相互独立的随机因素的影响 而每一个别因素的影响都是微小的 且这些影响可以叠加 则X服从正态分布 可用正态变量描述的实例非常之多 各种测量的误差 人的生理特征 工厂产品的尺寸 农作物的收获量 海洋波浪的高度 金属线的抗拉强度 热噪声电流强度 学生们的考试成绩 正态分布是概率论中最重要的分布 这可以由以下情形加以说明 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的 可以证明 如果一个随机指标受到诸多因素的影响 但其中任何一个因素都不起决定性作用 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布 正态分布有许多良好的性质 这些性质是其它许多分布所不具备的 正态分布可以作为许多分布的近似分布 正态分布的重要性 正态分布的分布函数 标准正态分布 定义 X N 0 1 分布称为标准正态分布 密度函数 分布函数 StandardNormaldistribution 偶函数 标准正态分布的概率计算 分布函数 X x 标准正态分布的概率计算 公式 查表 例X N 0 1 一般正态分布的标准化 定理 查标准正态分布表 概率计算 标准正态分布的重要性在于 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 一般正态分布的区间概率 设X N 1 4 求P 0 X 1 6 解 例 正态分布的实际应用 分析 然后根据录取率或者分数线确定能否录取 解成绩X服从 录取率为 可得 得 查表得 解 查表得 解得 故 设录取的最低分为 则应有 某人78分 可被录取 3 准则 由标准正态分布的查表计算可以求得 这说明 X的取值几乎全部集中在 3 3 区间内 超出这个范围的可能性仅占不到0 3 当X N 0 1 时 P X 1 2 1 1 0 6826 P X 2 2 2 1 0 9544 P X 3 2 3 1 0 9974 将上述结论推广到一般的正态分布 时 这在统计学上称作 3准则 三倍标准差原则 例公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0 01以下来设计的 设男子身高X N 170 62 问车门高度应如何确定 解 设车门高度为hcm 按设计要求 P Xh 0 01 或P X h 0 99 下面我们来求满足上式的最小的h 再看一个应用正态分布的例子 因为X N 170 62 查表得 2 33 0 9901 0 99 所以 2 33