第二章 Z变换.ppt

第二章Z变换 2 1引言2 2Z变换2 2 1Z变换的定义2 2 2Z变换的收敛域2 3Z反变换2 3 1围线积分法 留数法 2 3 2部分分式展开法2 3 3幂级数展开法 长除法 2 4Z变换的性质2 5拉氏变换 傅氏变换与Z变换的关系2 5 1拉氏变换与Z变换2 5 2傅氏变换与序列的Z变换 2 6序列的傅里叶变换2 7傅里叶变换的一些对称性质2 8离散系统的系统函数 系统的频率响应2 8 1因果稳定系统2 8 2系统函数和差分方程的关系2 8 3系统频率响应的意义2 8 4频率响应的几何确定法2 8 5有理系统函数的单位脉冲响应 IIR FIR 2 1引言 我们知道信号和系统的分析方法有两种 即时域分析方法和频率分析方法 在模拟领域中 信号一般用连续变量时间t的函数表示 系统则用微分方程描述 为了在频率域进行分析 用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域 在时域离散信号和系统中 信号用序列表示 其自变量仅取整数 非整数时无定义 而系统则用差分方程描述 离散时间信号与系统中频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具 其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换 它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的 但都是线性变换 很多性质是类似的 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换 以及利用Z变换分析系统和信号频域特性 本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础 2 2 1Z变换的定义一个离散序列x n 的Z变换定义为 2 2Z变换 式中 z是一个复变量 它所在的复平面称为Z平面 我们常用Z x n 表示对序列x n 进行Z变换 也即 2 1 2 2 这种变换也称为双边Z变换 与此相应的单边Z变换的定义如下 这种单边Z变换的求和限是从零到无穷 因此对于因果序列 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的 本书中如不另外说明 均用双边 变换对信号进行分析和变换 2 2 2Z变换的收敛域显然 只有当式 2 1 的幂级数收敛时 Z变换才有意义 对任意给定序列x n 使其Z变换收敛的所有z值的集合称为X z 的收敛域 按照级数理论 式 2 1 的级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和的条件 即要求 2 3 要满足此不等式 z 值必须在一定范围之内才行 这个范围就是收敛域 一般收敛域用环状域表示 即Rx z Rx 收敛域是分别以Rx 和Rx 为半径的两个圆所围成的环状域 图中的斜线部分 Rx 和Rx 称为收敛半径 当然Rx 可以小到零 Rx 可以大到无穷大 常用的Z变换是一个有理函数 用两个多项式之比表示 分子多项式P z 的根是X z 的零点 分母多项式Q z 的根是X z 的极点 在极点处Z变换不存在 因此收敛域中没有极点 收敛域总是用极点限定其边界 Z平面上收敛域的位置 或者说Rx 及Rx 的大小和序列有着密切的关系 分别讨论如下 1 有限长序列 序列x n 只在有限区间n1 n n2之内才具有非零的有限值 在此区间外 序列值皆为零 也即 其Z变换为 设x n 为有界序列 由于X z 是有限项级数之和 除0与 两点是否收敛与n1 n2取值情况有关外 整个Z平面均收敛 如果n10 则收敛域不包括z 0点 如果是因果序列 收敛域包括 点 具体有限长序列的收敛域表示如下 有时将开域 0 称为 有限Z平面 例2 1x n n 求此序列的Z变换及收敛域 解这是n1 n2 0时有限长序列的特例 由于 所以收敛域应是整个z的闭平面 0 z 如图2 6所示 图2 6 n 的收敛域 全部Z平面 例题求矩形序列x n RN n 的Z变换及其收敛域 解 这是一个有限项几何级数之和 因此 2 右边序列 右边序列是指x n 只在n n1时有值 在n n1时x n 0 其Z变换为 2 5 此式右端第一项为有限长序列的Z变换 按上面讨论可知 它的收敛域为有限Z平面 而第二项是z的负幂级数 按照级数收敛的阿贝尔 N Abel 定理可推知 存在一个收敛半径Rx 级数在以原点为中心 以Rx 为半径的圆外任何点都绝对收敛 因此 综合此二项 只有二项都收敛时级数才收敛 所以 如果Rx 是收敛域的最小半径 则右边序列Z变换的收敛域为Rx z 右边序列及其收敛域如图1 23所示 图1 23右边序列及其收敛域 n1 0 z 除外 因果序列是最重要的一种右边序列 即n1 0的右边序列 也就是说 在n 0时x n 有值 n 0时x n 0 其Z变换级数中无z的正幂项 因此级数收敛域可以包括 z 2 6 Z变换收敛域包括 z 处是因果序列的特征 例2 2x n anu n 求其Z变换及收敛域 解这是一个因果序列 其Z变换为 z a 这是一个无穷项的等比级数求和 只有在 az 1 a 处收敛如图2 7所示 故得到以上闭合形式的表达式 由于 故在z a处有一极点 用 表示 在z 0处有一个零点 用 表示 收敛域为极点所在圆 z a 的外部 收敛域上函数必须是解析的 因此收敛域内不允许有极点存在 所以 右边序列的Z变换如果有N个有限极点 z1 z2 zN 存在 那么收敛域一定在模值为最大的这一个极点所在圆以外 也即 对于因果序列 处也不能有极点 图2 7 3 左边序列 左边序列是指在n n2时x n 有值 而在n n2时x n 0 其Z变换为 等式第二项是有限长序列的Z变换 收敛域为有限Z平面 第一项是正幂级数 按阿贝尔定理 必存在收敛半径Rx 级数在以原点为中心 以Rx 为半径的圆内任何点都绝对收敛 如果Rx 为收敛域的最大半径 则综合以上两项 左边序列Z变换的收敛域为 如果n2 0 则式 2 7 右端不存在第二项 故收敛域应包括z 0 即 z Rx 2 7 例2 3x n anu n 1 求其Z变换及收敛域 解这是一个左边序列 其Z变换为 此等比级数在 a 1z 1 即 z a 处收敛 因此 序列Z变换的收敛域如图2 8所示 函数在z a处有一极点 整个收敛域在极点所在圆以内的解析区域 图2 8左边序列收敛域 对于左边序列 如果序列Z变换有N个有限极点 z1 z2 zN 存在 那么收敛域一定在模值为最小的这一个极点所在圆以内 这样X z 才能在整个圆内解析 也即Rx min z1 z2 zN 由以上两例可以看出 一个左边序列与一个右边序列的 变换表达式是完全一样的 所以 只给出Z变换的闭合表达式是不够的 是不能正确得到原序列的 必须同时给出收敛域 才能惟一地确定一个序列 这就说明了研究收敛域的重要性 4 双边序列 一个双边序列可以看作一个右边序列和一个左边序列之和 即 1 62 因而其收敛域应该是右边序列与左边序列收敛域的重叠部分 等式右边第一项为右边序列 其收敛域为 z Rx 第二项为左边序列 其收敛域为 z Rx 则无公共收敛区域 X z 无收敛域 也即在Z平面的任何地方都没有有界的 z 值 因此就不存在Z变换的解析式 这种 变换就没有什么意义 例1 9x n a n a为实数 求其Z变换及收敛域 解这是一个双边序列 其Z变换为 设 若 a 1 则存在公共收敛域 其序列及收敛域如图2 9所示 若 a 1 则无公共收敛域 因此也就不存在Z变换的封闭函数 这种序列如图 序列两端都发散 显然这种序列是不现实的序列 图1 26双边序列及收敛域 Z变换无收敛域的序列 表2 1几种序列的Z变换 2 3Z反变换已知函数X z 及其收敛域 反过来求序列的变换称为Z反变换 表示为 x n Z 1 X z Z反变换的一般公式为 若 2 10 则 2 12 图2 11围线积分路径 证 该积分路径c在半径为R的圆上 即z Rej Rx R Rx 因为 2 13 这个积分公式 2 13 也称为柯西积分定律 因此 或 直接计算围线积分是比较麻烦的 实际上 求Z反变换时 往往可以不必直接计算围线积分 一般求Z反变换的常用方法有三种 围线积分法 留数法 部分分式展开法和幂级数展开法 2 3 1围线积分法 留数法 这是求Z反变换的一种有用的分析方法 根据留数定理 若函数F z X z zn 1在围线c上连续 在c以内有K个极点zk 而在c以外有M个极点zm M K为有限值 则有 2 14 或 2 15 Res X z zn 1 zk 表示函数F z X z zn 1在极点z zk上的留数 式 2 14 表示函数F z 沿围线c反时针方向的积分等于F z 在围线c内部各极点的留数之和 式 2 15 说明 函数F z 沿围线c顺时针方向的积分等于F z 在围线c外部各极点的留数之和 由式 2 14 及式 2 15 可得 2 17 将式 2 14 及式 2 15 分别代入式 2 12 可得 2 18a 2 18b 根据具体情况 既可以采用式 2 18a 也可以采用式 2 18b 例如 如果当n大于某一值时 函数X z zn 1在围线的外部可能有多重极点 这时选c的外部极点计算留数就比较麻烦 而通常选c的内部极点求留数则较简单 如果当n小于某一值时 函数X z zn 1在围线的内部可能有多重极点 这时选用c外部的极点求留数就方便得多 注意 2 17 式成立的条件是的分母阶次比分子阶次必须高二阶以上 设X z zn 1 P z Q z P z 与Q z 分别是M与N阶多项式 2 17 式成立的条件是 N M n 1 2因此要求N M n 1 现在来讨论如何求X z zn 1在任一极点zr处的留数 设zr是X z zn 1的单一 一阶 极点 则有 2 19 如果zr是X z zn 1的多重极点 如l阶极点 则有 2 20 例题已知 求Z反变换 解 围线c以内包含极点a 如图粗线所示 当n 0时 在z 0处有一个 n阶极点 因此 图收敛域 z a 式中 a是单阶极点 应用公式 2 19 则 在z 0处有一个 n阶极点 n 0 应用公式 2 20 则 因此 即 这个指数因果序列是单阶极点的反变换 这个反变换是很典型的 在以下的部分分式中还要用到这个结果 实际上 由于收敛域在函数极点以外 并且包括 点 因此可以知道该序列一定是因果序列 用留数法计算的结果也证实了这一点 所以 在具体应用留数法时 若能从收敛域判定序列是因果的 就可以不必考虑n 0时出现的极点了 因为它们的留数和一定总是零 在应用留数法时 收敛域是很重要的 同一个函数X z 若收敛域不同 则对应的序列就完全不同 例如 仍然以上面的函数为例 改变其收敛域 可以看到结果完全不同 例题已知 求Z反变换 解 这时由于极点a处在围线c以外 见图 所以当n 0时围线c内无极点 而n 0时只在z 0处有一个 n阶极点 因此 即 上例中 在n 0时 也可用围线外极点a的留数来求 见式 2 18b 则有 即 从收敛域在函数极点所在圆以内 就能判断序列是左边序列 计算出来结果也证实了这个结论 例题已知 求其逆变换x n 解 该例题没有给定收敛域 为求出唯一的原序列x n 必须先确定收敛域 分析X z 得到其极点分布如图所示 图中有二个极点z a和z a 1 这样收敛域有三种选法 它们是 1 z a 1 对应的x n 是右序列 2 a z a 1 对应的x n 是双边序列 3 z a 对应的x n 是左序列 X z 极点分布图 下面按照收敛域的不同求其x n 1 收敛域 z a 1 种收敛域是因果的右序列 无须求n 0时的x n 当n 0时 围线积分c内有二个极点z a和z a 1 因此 最后表示成 x n an a n u n 2 收敛域 z a 这种情况原序列是左序列 无须计算n 0情况 当n 0时 围线积分c内没有极点 因此x n 0 n 0时 c内只有一个极点z 0 且是n阶极点 改求c外极点留数之和 最后将x n 表示成x n a n an u n 1 3 收敛域 a z a 1 这种情况对应的x n 是双边序列 根据被积函数F z 按n 0和n 0两情况分别求x n n 0时 c内极点z ax n Res F z a an n 0时 c内极点有二个 其中z 0是n阶极点 改求c外极点留数 c外极点只有z a 1 因此x n Res F z a 1 a n最后将x n 表示为ann 0 x n x n a n a nn 0 2 3 2部分分式展开法在实际应用中 一般X z 是z的有理分式 可表示成X z P z Q z P z 及Q z 都是实系数多项式 且没有公因式 可将X z 展开成部分分式的形式 然后利用表2 1的基本Z变换对的公式求各简单分式的Z反变换 注意收敛域 再将各个反变换相加起来 就得到所求的x n 为了看出如何求得部分分式展开 假设X z 可以表示成z 1的多项式之比 即 2 23 为了得到X z 的部分分式 将上式进一步展开成以下形式 式中 ck是X z 的非零零点 dk是X z 的非零极点 如果M N 且所有极点都是一阶的 则X z 可展开成 式中 Ak是常数 k 1 2 N 若X z 的收敛域为 z max dk 因此上式部分分式展开式中每一项都是一个因果序列的z函数 可以直接利用结果 得 式中 系数Ak可利用留数定理求得 2 25 如果M N 且除一阶极点外 在z di处还有r阶极点 则X z 可展开成 2 24 式中 Bn可用长除法求得 Ak可由式 2 25 求出 系数Cm由下式得到 2 26 或 2 27 展开式各项被确定后 再分别求右边各项的Z反变换 则原序列就是各项的反变换序列之和 例2 7设 试利用部分分式法求Z反变换 解X z 有两个极点 d1 2和d2 0 5 收敛域为 z 2 则X z 的零极点如图所示 由收敛域可知x n 是一个右边序列 因为极点全部是一阶的 因此X z 能表示为 由 用式 2 25 求得系数为 因此X z 为 根据表2 1可得 或表示为 例题在这个例子中要考虑例2 7中给出的X z 所对应的全部可能序列 解根据零极点图和收敛域性质 X z 有三种不同的收敛域 1 z 2 如例2 7 情况1已经证明是一个右边序列 2 情况2对应于一个左边序列 3 情况3则对应于一个双边序列 因为X z 的部分分式展开仅决定于X z 的代数式 所以对所有三种情况都是一样的 针对X z 的三种不同的收敛域 根据表2 1可得 情况1 情况2 情况3 2 3 3幂级数展开法 长除法 因为x n 的Z变换定义为z 1的幂级数 即 所以只要在给定的收敛域内 把X z 展成幂级数 则级数的系数就是序列x n 把X z 展成幂级数的方法很多 例如 直接将X z 展开成幂级数形式 当X z 是log sin cos sinh 等函数时 可利用已知的幂级数展开式将其展成幂级数形式 当X z 是一个有理分式 分子分母都是z的多项式时 可利用长除法 即用分子多项式除以分母多项式得到幂级数展开式 例1若X z 为 求Z反变换 解直接将X z 展开成 凭观察 x n 就是 或者写成 例2若X z 为X z lg 1 az 1 z a 求Z反变换 解利用lg 1 x 且 x 1的幂级数展开式 可得 所以 显然 例3若X z 为 求Z反变换 解X z 在z a处有一极点 收敛域在极点所在圆以外 序列应该是因果序列 X z 应展成z的降幂次级数 所以可按降幂顺次长除有 所以 则 例4若X z 为 求Z反变换 解X z 在z a处有一极点 收敛域在极点所在圆以内 序列应该是左边序列 X z 应展成z的升幂次级数 因此应按升幂顺次长除有 故 则 从上面两例可以看出 长除法既可展成升幂级数也可展成降幂级数 这完全取决于收敛域 所以在进行长除以前 一定要先根据收敛域确定是左边序列还是右边序列 然后才能正确地决定是按升幂长除 还是按降幂长除 如果收敛域是 z Rx 则x n 必然是左边序列 此时应将X z 展开成z的正幂级数 为此 X z 的分子分母应按z的升幂 或z 1的降幂 排列 2 4Z变换的性质 1 线性Z变换是一种线性变换 它满足叠加原理 即若有 Z x n X z Rx z Rx Z y n Y z Ry z Ry 那么对于任意常数a b Z变换都能满足以下等式 Z ax n by n aX z bY z z R 2 28 通常两序列和的Z变换的收敛域为两个相加序列的收敛域的公共区域 R max Rx Ry R min Rx Ry 如果线性组合中某些零点与极点互相抵消 则收敛域可能扩大 例1已知x n anu n y n anu n N 求x n y n 的Z变换 解由表2 1可知 又 利用线性性质 x n y n 的Z变换为 这时由于极点z a消去 因此收敛域不是 z a 而扩展为 z 0 实际上 由于x n 是n 0的有限长序列 故收敛域是除了 z 0外的全部Z平面 实际上 上一小节讲Z反变换时 其中的部分分式分解法已经使用了Z变换的线性叠加特性 2 序列的移位 位移m可以为正 右移 也可以为负 左移 2 29 证 3 乘以指数序列 Z域尺度变换 证 2 30 例 z 1 z a 4 X z 的微分 序列的线形加权 证 交换求和与求导的次序 则得 所以 2 31 例利用X z 的微分特性求下面序列的Z变换 x n nanu n n anu n nx1 n 解 z a 利用微分特性有 z a 5 复序列的共轭 2 32 式中 符号 表示取共轭复数 证 6 翻褶序列 2 33 证 而收敛域为 故可写成 7 初值定理对于因果序列x n 即x n 0 n 0 有 证由于x n 是因果序列 则有 2 34 8 终值定理设x n 为因果序列 且X z Z x n 的全部极点 除有一个一阶极点可以在z 1处外 其余都在单位圆内 则 2 35 证利用序列的移位性质可得 再利用x n 为因果序列可得 分析一下 z 1 X z 的收敛域 由于X z 在单位圆上只有在z 1处可能有一阶极点 函数 z 1 X z 将抵消掉这个z 1处的可能极点 因此 z 1 X z 的收敛域将包括单位圆 即在1 z 上都收敛 所以可以取z 1的极限 由于是X z 在z 1处的留数 因此终值定理也可用留数表示 即 9 序列卷积 卷积定理 若 则 2 37 Y z 的收敛域为X z H z 收敛域的公共部分 若有极点被抵消 收敛域可扩大 证 max Rx Rh z min Rx Rh 在线性时不变系统中 如果输入为x n 系统的单位脉冲响应为h n 则输出y n 是x n 与h n 的卷积 利用卷积定理 通过求出X z 和H z 然后求出乘积X z H z 的Z反变换 从而可得y n 这个定理得到广泛应用 例设x n anu n h n bnu n abn 1u n 1 求y n x n h n 解 所以 其Z反变换为 显然 在z a处 X z 的极点被H z 的零点所抵消 如果 b a 则Y z 的收敛域比X z 与H z 收敛域的重叠部分要大 如图2 15所示 图2 15Y z 的零极点及收敛域 10 序列乘积 复卷积定理 若 则 2 38 式中 c是哑变量V平面上X v 与Y z v 的公共收敛域内环绕原点的一条反时针旋转的单封闭围线 满足 将两个不等式相乘即得Z平面的收敛域为 Rx Ry z Rx Ry V平面收敛域为 2 40 证 由推导过程看出X v 的收敛域就是X z 的收敛域 Y z v 的收敛域 z v的区域 就是Y z 的收敛域 z的区域 从而收敛域亦得到证明 不难证明 由于乘积x n y n 的先后次序可以互调 故X Y的位置可以互换 故下式同样成立 Rx Ry z Rx Ry 而此时围线c所在收敛域为 2 41 复卷积公式可用留数定理求解 但关键在于确定围线所在的收敛域 2 44 式中 dk 为 在围线c内的全部极点 若用v ej z ej 代入式 2 38 则可得 显然 上式是X ej 与Y ej 的卷积 又称为复卷积 2 41 例设 应用复卷积定理求两序列的乘积即w n x n y n 解 利用复卷积公式 2 41 根据式 2 42 围线c所在的收敛域为max 1 3 0 v min 2 z 或1 3 v 2 z 被积函数有两个极点 v 1 3 v 2z 如图所示 但只有极点v 1 3在围线c内 而极点v 2z在围线c外 利用式 2 41 可得 图被积函数的极点及积分围线c 由式 2 40 可得 W z 的收敛域为 z 1 6 则 也可以将序列直接相乘验证这个结果 则 11 帕塞伐 Parseval 定理利用复卷积定理可以得到重要的帕塞伐定理 若有两序列x n y n 则有 X z Z x n Rx z Rx Y z Z y n Ry z Ry 它们的收敛域满足以下条件 Rx Ry z 1 Rx Ry 那么 2 46 式中 表示取复共轭 积分闭合围线c应在X v 和Y 1 v 的公共收敛域内 即 证令 w n x n y n 由于 Z y n Y z 利用复卷积公式可得 Rx Ry z Rx Ry 由于假设条件中已规定收敛域满足Rx Ry 1 Rx Ry 因此在 z 1收敛域内 也就是W z 在单位圆上收敛 则 同时 因此 如果y n 是实序列 则上式两边共轭 号可取消 如果X z Y z 在单位圆上都收敛 则围线c可取为单位圆 即v ej 则式 2 46 可变为 2 47 2 46 帕塞伐定理的一个很重要的应用是计算序列的能量 一个序列值的平方总和称为 序列能量 利用公式 2 47 如果有y n x n 则 这表明时域中求能量与频域中求能量是一致的 Z变换的主要性质归纳于表2 2中 表2 2Z变换的主要性质 2 5拉氏变换 傅氏变换与Z变换的关系 本书中使用的各种信号标识符 2 5拉氏变换 傅氏变换与Z变换的关系 2 5 1拉氏变换与Z变换的关系首先讨论序列的Z变换与理想抽样信号的拉普拉斯变换的关系 设连续信号为xa t 理想抽样后的抽样信号为 它们的拉普拉斯变换分别为 将式 1 34 的代入可得 抽样序列x n xa nT 的Z变换为 2 49 对比式 2 49 看出 当z esT时 抽样序列的Z变换就等于其理想抽样信号的拉普拉斯变换 2 50 这说明 从理想抽样信号的拉普拉斯变换到抽样序列的Z变换 就是由复变量S平面到复变量Z平面的映射 其映射关系为 2 51 这个变换称为标准变换 下面来讨论这一映射关系 将S平面用直角坐标表示为s j 而Z平面用极坐标表示z rej 将它们代入式 2 51 中 得到 rej e j T e T ej T 因此 r e T T 显然 z的模r对应于s的实部 z的相角 对应于s的虚部 先讨论s的实轴 与z的模r的关系 0 S平面虚轴 r 1 Z平面单位圆上 0 S的右半平面 r 1 Z平面单位圆外部 再讨论s的虚轴 与z的相角 的关系式 0 S平面的实轴 0 Z平面正实轴 由 T增至0 由 增至0 由0增至 T 由0增至 可见 由 T增至 T 对应于 由 经0增至 即在Z平面上旋转一周 综上所述 可得结论 S平面上宽度为2 T的水平带映射到整个Z平面 同样 每当 增加一个抽样角频率 s 2 T 则 相应的增加一个2 也即在Z平面上重复旋转一周 如图2 18所示 因此S平面到 平面的映射是多值映射 图2 18S平面与Z平面多值映射关系 有了S平面到Z平面的映射关系 就可以进一步通过理想抽样所提供的桥梁 找到连续信号xa t 本身的拉普拉斯变换Xa s 与抽样序列x n 的Z变换X z 之间的关系 将式 1 40 重写如下 将此式代入到式 2 50 即得X z 与Xa s 的关系 2 53 2 5 2连续信号的傅氏变换与序列的Z变换的关系我们再看傅氏变换与Z变换的关系 傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴上的特例 即s j 映射到Z平面上正是单位圆z ej T 将这两个关系代入到式 2 50 可得 2 55 式 2 55 说明 抽样序列在单位圆上的Z变换 就等于其理想抽样信号的傅里叶变换 频谱 2 5 3序列的傅氏变换与Z变换的关系从式 T我们看到 Z平面的角变量 直接对应着S平面的频率变量 因此 具有频率的意义 称为数字频率 它与模拟域频率 的关系是 2 57 可以看出数字频率是模拟角频率对抽样频率fs的归一化值 它代表了序列值变化的速率 所以它只有相对的时间意义 相对于抽样周期T 而没有绝对时间和频率的意义 将式 2 57 代入式 2 55 可得 2 58 可见 单位圆上的Z变换是和模拟信号的频谱相联系的 因而常称单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换 也称为数字序列的频谱 2 6序列的傅里叶变换 因单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换 根据式 2 1 Z变换的定义 用ej 代替z 从而就可以得到序列傅里叶变换的定义为 这个公式成立的条件是X z 在单位圆上必须收敛 也即序列x n 必须绝对可积 这样序列的傅里叶变换归结为 再根据Z反变换的公式 2 12 并将积分围线取在单位圆上就可得到序列的傅里叶反变换公式 正变换 2 59 反变换 2 60 其收敛条件为 绝对可加性是傅里叶变换表示存在的一个充分条件 也就是说 若序列x n 绝对可和 则它的傅里叶变换一定存在且连续 图例序列及其傅里叶变换 表2 3序列傅里叶变换的主要性质 表2 3序列傅里叶变换的主要性质 常见序列的傅里叶变换对 一 共轭对称序列与共轭反对称序列1 共轭对称序列设一复序列 如果满足xe n xe n 则称该序列为共轭对称序列 分析对称关系 设序列其中分别表示实部和虚部 则则应满足这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列 偶函数 而虚部是奇对称序列 奇函数 特殊地 如序列是实序列 共轭对称序列就是偶对称序列 2 共轭反对称序列设一复序列 如果满足xo n xo n 则称序列为共轭反对称序列 分析 根据定义 则应满足 这说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列 奇函数 而虚部是偶对称序列 偶函数 特殊地 如是实序列 共轭反对称序列就是奇对称序列 二 任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和 两分量的求取 三 序列的傅氏变换也可分解为共轭对称分量与共轭反对称分量之和 其中 四 两个基本性质 证明 证明 五 序列的实 虚部与其傅氏变换共轭对称 反对称分量的对应关系 序列的实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量 证明 2 序列的j倍虚部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量 证明 六 序列的共轭对称 反对称分量与其傅氏变换的实 虚部的对应关系 序列的共轭对称分量的傅氏变换等于其傅氏变换的实部 证明 2 序列的共轭反对称分量的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部再乘以j 证明 七 序列为实序列的情况 即是说 实序列的傅里叶变换是共轭对称的 证明 比较即得上述结论 证明 比较即得上述结论 6 实序列偶部 奇部的傅里叶变换性质 2 8离散系统的系统函数 系统的频率响应 在1 2节中已经讨论过 在时域中 一个线性时不变系统完全可以由它的单位脉冲响应h n 来表示 对于一个给定的输入x n 其输出y n 为 对等式两端取Z变换 得 则 我们把H z 定义为线性时不变系统的系统函数 它是单位脉冲响应的Z变换 即 2 75 在单位圆上 z ej 的系统函数就是系统的频率响应H ej 2 8 1因果稳定系统1 因果系统 单位脉冲响应h n 为因果序列的系统称为因果系统 因此因果系统的系统函数H z 具有包括z 点的收敛域 即 45页 2 稳定系统由1 6节中的讨论已知 一个线性时不变系统稳定的充分必要条件为h n 必须满足绝对可和条件 即 而Z变换的收敛域由满足的那些z值确定 因此稳定系统的系统函数H z 必须在单位圆上收敛 即收敛域包括单位圆 z 1 H ej 存在 1 28 3 因果稳定系统因果稳定系统是最普遍 最重要的一种系统 它的系统函数H z 必须在从单位圆到 的整个Z域内收敛 即 也就是说 系统函数的全部极点必须在单位圆内 2 8 2系统函数和差分方程的关系1 3节中已说明 一个线性时不变系统也可以用常系数线性差分方程来表示 其N阶常系数线性差分方程的一般形式为 若系统起始状态为零 这样就可以直接对上式两端取Z变换 利用Z变换的线性特性和移位特性可得 这样就得到系统函数为 2 76 由此看出系统函数分子 分母多项式的系数分别就是差分方程的系数 式 2 76 是两个z k的多项式之比 将其分别进行因式分解 可得 2 77 式中 z cm是H z 的零点 z dk是H z 的极点 它们都由差分方程的系数ak和bm决定 因此 除了比例常数K以外 系统函数完全由它的全部零点 极点来确定 但是式 2 76 或式 2 77 并没有给定H z 的收敛域 因而可代表不同的系统 这在前面我们说过 差分方程并不惟一地确定一个线性系统的单位脉冲响应是一致的 同一个系统函数 收敛域不同 所代表的系统就不同 所以必须同时给定系统的收敛域才行 而对于稳定系统 其收敛域必须包括单位圆 因而 在Z平面以极点 零点图描述系统函数 通常都画出单位圆以便看出极点是在单位圆内还是位于单位圆外 例1已知系统函数为 2 z 求系统的单位脉冲响应及系统性质 解系统函数H z 有两个极点z1 0 5 z2 2 从收敛域看 收敛域包括 点 因此系统一定是因果系统 但是单位圆不在收敛域内 因此可以判定系统是不稳定的 由于2nu n 项是发散的 可见系统确实是不稳定的 例2系统函数不变 但收敛域不同 求系统的单位脉冲响应及系统性质 解收敛域包括单位圆但不包括 点 因此系统是稳定的但是非因果的 由系统函数的Z反变换可得 由于存在2nu n 1 项 因此系统是非因果的 2 8 3系统频率响应的意义为了研究离散线性系统对输入频谱的处理作用 有必要研究线性系统对复指数或正弦序列的稳态响应 即系统的频域表示法 对于稳定系统 如果输入序列是一个频率为 的复正弦序列 x n ej n n 线性时不变系统的单位脉冲响应为h n 则其输出为 式中 因此 y n ej nH ej 2 78 上式表明 当线性时不变系统输入是频率为 的复正弦序列时 输出为同频复正弦序列乘以加权函数H ej 显然 H ej 描述了复正弦序列通过线性时不变系统后 幅度和相位随频率 的变化 换句话说 系统对复正弦序列的响应完全由H ej 决定 故称H ej 为线性时不变系统的频率响应 线性时不变系统的频率响应是其单位脉冲响应的傅里叶变换 线性时不变系统的频率响应H ej 是以2 为周期的连续周期函数 是复函数 它可以写成模和相位的形式 式中 频率响应的模 H ej 叫做振幅响应 或幅度响应 频率响应的相位arg H ej 叫做系统的相位响应 系统频率响应H ej 存在且连续的条件是h n 绝对可和 即要求系统是稳定系统 设输入为 根据式 2 78 的响应为 对 的响应为 根据线性系统的叠加原理可知系统对余弦输入Acos 0n 的响应为 如果h n 是实序列 则可证明H ej 0 满足共轭对称条件 即 因此有 将这些关系式代入 可得响应为 即 2 80 从这个例子可以看出 当系统输入为正弦序列 输出为同频的正弦序列 其幅度受频率响应幅度 H ej 加权 而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和 这正是线性时不变系统的基本特性 正因如此 信号和系统的频域 傅里叶变换 表示法在离散线性系统中是很有用的 线性时不变系统在任意输入情况下 输入与输出两者的傅里叶变换间的关系 可通过对卷积公式 1 23 两端取傅里叶变换 并利用表2 3傅里叶变换性质7得到DTFT y n DTFT x n h n 即Y ej X ej H ej 2 83 H ej 就是式 2 82 表示的系统的频率响应 由式 2 83 得知 对于线性时不变系统 其输出序列的傅里叶变换等于输入序列的傅里叶变换与系统频率响应的乘积 若对Y ej 取傅里叶反变换 可求得输出序列为 2 84 若用极坐标形式表示频率响应 则系统的输入和输出的傅里叶变换的振幅和相位间的关系可表示为 Y ej H ej X ej arg Y ej arg H ej arg X ej 式一 式二 例设有一系统 其输入输出关系由以下差分方程确定 设系统是因果的 1 求该系统的单位脉冲响应 2 由 1 的结果 求输入x n ej n的响应 解 1 对差分方程两端分别进行 Z 变换可得 系统函数 系统函数H z 仅有一个极点 z1 1 2 因为系统是因果的 故H z 的收敛域必须包含 所以收敛域为 z 1 2 该收敛域又包括单位圆 所以系统也是稳定的 对系统函数H z 进行Z反变换 可得单位脉冲响应为 2 解法一 系统的频率响应为 由于系统是线性时不变且因果稳定的 故当输入x n ej n时 应用公式