线性代数线性方程组解的结构.ppt

第3章线性方程组 二 齐次线性方程组解的结构与解法 三 非齐次线性方程组解的结构与解法 下页 一 线性方程组的同解变换 3 1线性方程组的同解变换 含有m个方程n个未知量的线性方程组一般形式为 若b b1 b2 bm o 则称 1 为非齐次线性方程组 若b b1 b2 bm o 即 2 则称 2 为齐次线性方程组 或 1 的导出组 下页 1 代数方程 可用矩阵形式表示为AX b 对应齐次方程组 2 可用矩阵形式表示为AX o 其中 下页 含有m个方程n个未知量的线性方程组 1 矩阵方程 可用向量形式表示为 对应齐次方程组 2 可用向量形式表示为 其中 下页 含有m个方程n个未知量的线性方程组 1 向量方程 称为方程组的系数矩阵 称为方程组的增广矩阵 下页 系数矩阵与增广矩阵 方程组的解为 于是得到 x2 3 2x3 1 7 x1 3 2x2 4x3 x3 2 解 r1 r2 r2 3r1 r3 r1 r3 2r2 消元法解方程组过程 下页 由上述求解过程可看出 对方程组的化简施行了三种运算 用一个非零数乘以方程 用某个数乘以某一方程然后加到另一方程上去 互换两个方程的位置 我们称上述三种运算为线性方程组的初等变换 显然 对方程组施行初等变换得到的方程组与原方程组同解 利用初等变换将方程组化为行阶梯形式的方程组 再利用回代法解出未知量的过程 叫做高斯消元法 可以看出 对方程组 1 施行的初等变换 与未知量无关 只是对未知量的系数及常数项进行运算 这些运算相当于对方程组系数矩阵的增广矩阵进行了一系列仅限于行的初等变换 下页 线性方程组的初等变换 例1 r1 r2 r3 2r2 用消元法解线性方程组的过程 实质上就是对该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程 消元法与矩阵的初等行变换 下页 消元法与矩阵的初等行变换 下页 行最简形矩阵 行阶梯形矩阵 用消元法解线性方程组的过程 实质上就是对该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程 总结 对方程组施行的初等行变换 与未知量无关 只是对未知量的系数及常数项进行运算 这些运算相当于对方程组系数矩阵的增广矩阵进行了一系列仅限于行的初等变换化为行最简形矩阵 下页 消元法与矩阵的初等行变换 第2节齐次线性方程组解的结构 2 1齐次线性方程组有非零解的条件 齐次线性方程组为AX o 则AX o可表示为 若把矩阵A按列分块为 根据向量组相关性的定义 有 定理1齐次线性方程组AX o有非零解的充要条件是 矩阵的列向量组a1 a2 an线性相关 其中 即r A n 下页 齐次线性方程组AX o只有唯一零解的充要条件是 矩阵的列向量组a1 a2 an线性无关 即r A n 定理1齐次线性方程组AX o有非零解的充要条件是 矩阵的列向量组a1 a2 an线性相关 即r A n 齐次线性方程组AX o只有唯一零解的充要条件是 矩阵的列向量组a1 a2 an线性无关 即r A n 推论1如果齐次方程组中方程的个数小于未知量的个数 则该方程组必有非零解 推论2n个方程n个未知量的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数行列式等于零 下页 2 2齐次线性方程组解的性质 性质1若x1 x2都是齐次线性方程组AX o的解 则X x1 x2也是它的解 这是因为 A x1 x2 Ax1 Ax2 o o o 性质2若x是齐次线性方程组AX o的解 k为实数 则X kx也是它的解 这是因为 A kx k Ax o k o 推论如果x1 x2 xs是齐次线性方程组AX o的解 则其线性组合 仍是AX o的解 为任意常数 其中 下页 基础解系的概念 定义3设x1 x2 xs都是AX o的解 并且 1 x1 x2 xs线性无关 2 AX o的任一个解向量都能由x1 x2 xs线性表示 则称x1 x2 xs为线性方程组AX o的一个基础解系 定理2设A是m n矩阵 若r A r n 则齐次线性方程组AX o的基础解系含有n r个解向量 即当r A r n时 齐次线性方程组AX o解向量组的秩为n r 下页 2 3齐次线性方程组解的结构 通解 方程组的全部解 可以表示为 证 因为r A r 所以可利用初等行变换把A化为行最简形矩阵 不失一般性设其为 由此得到原方程组的等价方程组 同解方程组 进而得到方程组用自由未知量表示的一般解 下页 从而得到方程组的n r个解向量 由 式分别得到相应的解 令 由此得到方程组用自由未知量表示的一般解 下页 下证 是方程组 的一个基础解系 由左下式可以看出 的后n r个分量 就是n r个n r维单位向量 它们是线性无关的 因而添加了r个分量的向量组也是线性无关的 下页 从而得到方程组的n r个解向量 由 式分别得到相应的解 令 先证明向量组 线性无关 再证明方程组的任意一个解 线性表示 设 是方程组的任一解 方程组的n r个解向量 下页 都可由 则 下页 所以 是方程组的一个基础解系 求解齐次线性方程组流程图 下页 系数矩阵A 阶梯形矩阵B r A n 唯一零解 行最简形矩阵C 令自由未知量构成的向量取基本单位向量组 求出基础解系 写出通解 初等行变换 初等行变换 Y N 方程组用自由未知量表示的一般解 初等行变换 确定方程组的约束未知量和自由未知量方法示意图 下页 对应的变量为约束未知量 r个 对应的变量为自由未知量 n r个 例1 解线性方程组 解 由于r A 3 n 所以方程组只有零解 即 下页 齐次方程组AX 0 当r A n时 只有零解 因为秩 A 2 4 所以方程组有非零解 解 下页 解 一般解为 令 得基础解系 通解为 下页 解 一般解为 通解为 得基础解系 令 下页 根据向量组线性组合的定义 有 定理3非齐次线性方程组AX b有解的充要条件是 列向量b是系数矩阵A的n个列向量a1 a2 an的线性组合 下页 第3节非齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组为AX b 则AX b可表示为 若把矩阵A按列分块为 其中 3 1非齐次线性方程组有解的条件 性质3若h1 h2是AX b的解 则h1 h2是其导出方程组AX o的解 这是因为 A h1 h2 Ah1 Ah2 o b b 性质4若h是AX b的解 x导出方程组AX o的解 则x h是AX b的解 这是因为 A x h Ax Ah o b b 下页 3 2非齐次线性方程组解的性质 其中 k1 k2 kn r为任意常数 定理4设h0是AX b的一个特解 x1 x2 xn r是其导出方程组AX o的基础解系 则AX b的通解为 下页 3 3非齐次线性方程组解的结构 证明 设h是AX b的任意一个解 则h h0是其导出方程组AX o的一个解 从而可用AX o的基础解系x1 x2 xn r表示 即h h0 k1x1 k2x2 kn rxn r 于是AX b的任一解可表示为h h0 k1x1 k2x2 kn rxn r k1 k2 kn r为任意常数 定理3非齐次线性方程组AX b有解的充要条件是 求解非齐次线性方程组流程图 下页 增广矩阵 Ab 阶梯形矩阵B r Ab r A 方程组无解 行最简形矩阵C 确定自由未知量及约束未知量 给出一般解 求AX o的基础解系 写出通解 初等行变换 N Y r Ab n 唯一解 初等行变换 Y N 求AX b的一个特解 例5 解线性方程组 Ab 解 下页 显然r A 2 r Ab 3 即r A 2 r Ab 所以方程组无解 解 x2 x4为自由未知量 得方程组的特解为 由于 令 方程组有无穷多组解 其一般解为 对应齐次方程组的一般解为 令 下页 基础解系为 得方程组的特解为 令 对应齐次方程组的一般解为 令 方程的通解为 k1 k2是任意常数 下页 例7 已知线性方程组为 讨论参数p t取何值时 方程组有解 无解 有解时求通解 1 当2 t 时 即t 2时 方程组无解 2 当2 t 时 即t 2时 方程组有解 解 Ab 下页 当8 p 即p 8时 通解为 k为任意常数 下页 一般解为 1 当2 t 时 即t 2时 方程组无解 2 当2 t 时 即t 2时 方程组有解 通解为 当8 p 即p 8时 对应方程组的一般解为 k1 k2为任意常数 下页 例8已知向量是非齐线性方程组 的三个解 求该方程组的通解 解设该非齐线性方程组为AX b h1 h2 h3由于是AX b的解 所以 是其对应齐次线性方程组AX 0的解 因向量对应的分量不成比例 故 线性无关 因此 AX 0的基础解系所含向量的个数 4 r A 2 即r A 2 又由于A中有二阶子式 则r A 2 所以r A 2 即AX 0的基础解系含有2个向量 是AX 0的基础解系 所以AX b的通解为 下页 1 设A为n阶方阵 若齐次线性方程组AX o有非零解 则它的系数行列式 2 设X 是AX b的解 X 是其对应齐次方程AX o的解 则X X 是 的解 一 填空题 1 n元齐次线性方程组AX o存在非零解的充要条件是 A的列线性无关 A的行线性无关 A的列线性相关 A的行线性相关 2 设x x 是AX o的解 h h 是AX b的解 则 x h 是AX o的解 h h 为AX b的解 x x 是AX o的解 x x 是AX b的解 二 单选题 0 AX b 下页 三 判断题 1 无论对于齐次还是非齐次的线性方程组 只要系数矩阵的秩等于未知量的个数 则方程组就有唯一解 2 n个方程n个未知量的线性方程组有唯一解的充要条件是方程组的系数矩阵满秩 3 非齐次线性方程组有唯一解时 方程的个数必等于未知量的个数 4 若齐次线性方程组系数矩阵的列数大于行数 则该方程组有非零解 5 三个方程四个未知量的线性方程组有无穷多解 6 两个同解的线性方程组的系数矩阵有相同的秩 错 对 对 对 错 错 下页 作业 107页1 4 5 6 3 2 3 4 结束 定理给定n维列向量组b a1 a2 am 向量b可由向量组a1 a2 am线性表示的充要条件是方程组AK b有解 特别地 若方程组AK b有唯一解 则线性表示式是唯一的 补充例设 b能否用a1 a2 a3线性表示 若能 写出线性组合式 解设b k1a1 k2a2 k3a3 得非齐次线性方程组 由于故方程组有唯一解 b可由能否用a1 a2 a3唯一线性表示 解得 所以 下页 例8若A B均为n阶方阵 AB O 则r A r B n 证设矩阵B的列向量为b1 b2 bn 则A b1 b2 bn 0 0 0 于是Abj 0 j 1 2 n 即B的列向量b1 b2 bn是齐次线性方程组AX 0的解向量 设r A r 则齐次线性方程组AX 0的基础解系含有n r个解向量 于是向量组b1 b2 bn的秩 n r 即r B n r 于是r A r B n 下页 例9设求一个秩为2的三阶方阵 使AB O 解设矩阵B的列向量为b1 b2 b3 由AB O得A b1 b2 b3 0 0 0 由例8得 B的列向量是AX O的解向量 易见r A 1 于是可取AX 0的两个线性无关的解向量作为B的前两列 第三列可取的任一解向量 AX 0基础解系为 所以所求B为 下页 第4章矩阵的对角化与二次型的化简 一 矩阵的特征值与特征向量 二 相似矩阵与矩阵的相似对角化 下页 三 二次型的概念 五 正交变换与二次型的标准形 六 惯性定律与正定二次型 四 合同变换与二次型的标准形 方程 lE A X o的解都是特征值l的特征向量吗 定义1设A是n阶方阵 如果存在数l和n维非零列向量X满足AX lX 则称l为A的特征值 称向量X为A的对应于特征值l的特征向量 lE A 0 矩阵lE A称为A的特征矩阵 l的n次多项式 lE A 称为A的特征多项式 方程 lE A 0称为A的特征方程 lE A X o AX lX 注意 如果X是A的对应于特征值l的特征向量 则 问题 特征值l的特征向量有多少 怎样求矩阵的特征值和特征向量 lX AX o 下页 第1节矩阵的特征值与特征向量 1 1特征值特征向量的概念与计算 方程 lE A 0的每个根都是矩阵A的特征值 方程 lE A X o的每个非零解都是l对应的特征向量 解 矩阵的特征方程为 lE A l 4 l 2 0 矩阵A的特征值为l1 4 l2 2 对于特征值l1 4 解齐次线性方程组 4E A X o 于是 矩阵A对应于l1 4的全部特征向量为 c1不为0 下页 解 矩阵的特征方程为 lE A l 4 l 2 0 矩阵A的特征值为l1 4 l2 2 对于特征值l2 2 解齐次线性方程组 2E A X o 于是 矩阵A对应于l2 2的全部特征向量为 c2不为0 下页 方程 lE A 0的每个根都是矩阵A的特征值 方程 lE A X o的每个非零解都是l对应的特征向量 解 矩阵的特征方程为 l 2 l 1 2 0 矩阵A的特征值为l1 l2 1 l3 2 对于特征值l1 l2 1 解线性方程组 E A X o 于是 A的对应于l1 l2 1的全部特征向量为 c1不为0 下页 解 矩阵的特征方程为 l 1 1 0 l 2 l 1 2 0 矩阵A的特征值为l1 l2 1 l3 2 对于特征值l3 2 解线性方程组 2E A X o 于是 A的对应于l3 2的全部特征向量为 c2不为0 下页 的特征值与特征向量 lE A l 2 2 l 4 0 矩阵A的特征值为l1 l2 2 l3 4 对于特征值l1 l2 2 解线性方程组 2E A X o 解 矩阵的特征方程为 l 2 于是 A的对应于l1 l2 2的全部特征向量为 c1 c2不全为0 下页 对于特征值l3 4 解线性方程组 4E A X o 于是 A的对应于l3 4的全部特征向量为 解 矩阵的特征方程为 l 2 2 l 4 0 矩阵A的特征值为l1 l2 2 l3 4 lE A 的特征值与特征向量 c3不为0 下页 性质1如果n阶方阵A的全部特征值为l1 l2 ln k重特征值算作k个特征值 则 l1 l2 ln Tr A 其中 Tr A a11 a22 a33 ann 称为矩阵A的迹 l1l2 ln A 下页 推论 n阶方阵可逆的充分必要条件是A的特征值不等于零 证明 1 2特征值与特征向量的性质 证明 由性质2可知 若A是可逆矩阵 即 A 0 则A的任一个特征值都不为零 若X是A的属于特征值l的特征向量 则A l 两端同乘A 1 并整理得A 1X l 1 即l 是A 的特征值 X也是A 的对应于l 的特征向量 性质2设l是可逆方阵A的一个特征值 X是它对应的特征向量 则l 0 l 1是A 1的一个特征值 且X也是A 1的对应于l 1的特征向量 下页 性质3设l是方阵A的一个特征值 X为对应的特征向量 m是一个正整数 则lm是Am的一个特征值 X为对应的特征向量 下页 证明 由于A l 两端都左乘A得A2 lA 把A l 代入上式得A2 l l l2 依次类推可得Am lm 即lm是Am一个特征值 为对应的特征向量 即若f x 是一个多项式 则f l 是f A 的特征值 下页 推论设l是方阵A的一个特征值 X为对应的特征向量 则 是矩阵 的一个特征值 m为正整数 X为对应的特征向量 特别 若 则必有 证明 证明 因为A2 A 所以A2 A o 设A的特征值为l 则由性质4之推论可得l2 l 0 解得 l1 0 l2 1 证毕 例7 设3阶矩阵A的三个特征值分别为l1 1 l2 0 l3 1 求矩阵B A2 3A 2E的特征值 下页 例6 设n阶矩阵A满足A2 A 证明A有特征值为0或1 解 令B f A A2 3A 2E 则由性质4之推论可知f l 是f A 的特征值 从而得矩阵B的三个特征值分别为 性质4设X1 X2 Xm都是矩阵A的对应于特征值l的特征向量 如果它们的线性组合k1X1 k2X2 kmXm o 则k1X1 k2X2 kmXm也是矩阵A的对应于特征值l的特征向量 下页 特征向量的性质 证明 性质5n阶矩阵A互不相同的特征值l1 l2 lm 对应的特征向量X1 X2 Xm线性无关 下页 证明 用数学归纳法 性质5n阶矩阵A互不相同的特征值l1 l2 lm 对应的特征向量X1 X2 Xm线性无关 性质6矩阵A的m个不同的特征值所对应的m组线性无关的特征向量组并在一起仍然是线性无关的 性质7设 0是n阶方阵A的一个t重特征值 则 0对应的特征向量集合中线性无关的向量个数不超过t 补充性质 下页 由性质6和性质7知 n阶方阵A至多有n个线