幸福感的评价与量化模型 层次分析法.doc

2011年河南科技大学数学建模竞赛选拔承 诺 书我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则.我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： A 队员签名 ：1. 郭锦成 2. 李传华 3. 李永超 日期： 2011 年 8 月 18 日2011年河南科技大学数学建模竞赛选拔编 号 专 用 页评阅编号（评阅前进行编号）：评阅记录（评阅时使用）：评阅人评分备注 幸福感的评价与量化模型摘要 本文讨论了幸福感评价与量化问题。首先，我们运用模糊数学与层次分析法建立多层次模糊综合评价模型，对幸福感进行定性与定量分析，建立了对网民幸福感评价的指标体系。通过层次分析，求解得到各个因素对幸福感的权重，进而通过模糊权向量与评价矩阵的合成运算，解得对幸福感的综合评价矩阵，并对该矩阵进行归一化处理。根据最大隶属度原则，判定网民的幸福感程度，第一问得以解决。其次，对于第二问，本文搜集可信资料，确定影响某一地区师生幸福感的各个因素，重新确定因素判定矩阵，根据第一问所建立的模型，分析并计算得出影响该地区师生幸福感的主要因素及其权重。关键词：模糊数学 层次分析 隶属度 指标体系 权重 一、问题的重述改革开放三十多年，我国经济建设取得了巨大成就，人们物质生活得到了极大改善。但也有越来越多的人开始思考：我们大力发展经济，最终目的是为了什么？温家宝总理近年来多次强调：我们所做的一切，都是为了让人民生活得更加幸福。在今年的全国两会期间，“幸福感”也成为最热门词语之一。幸福感是一种心理体验，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断，又是对于生活的主观意义和满足程度的一种价值判断。它表现为在生活满意度基础上产生的一种积极心理体验。而幸福指数，就是衡量这种感受具体程度的主观指标数值。幸福指数成为一个衡量百姓幸福感的标准。百姓幸福指数与GDP一样重要，一方面，它可以监控经济社会运行态势；另一方面，它可以了解民众的生活满意度。可以说,作为最重要的非经济因素，它是社会运行状况和民众生活状态的“晴雨表”，也是社会发展和民心向背的“风向标”。那么1、根据附表所给数据建立怎样一个数学模型可以准确地给出一个网民幸福感的评价指标体系来衡量网民幸福感程度呢？ 2、通过查找相关资料，能否根据上一问所建模型建立某一地区或某一学校教师和学生的幸福指数的数学模型，并找出影响他们幸福感的主要因素？ 3、建立的评价体系和模型，能推广到哪些方面？ 4、根据你所建模型得出的结论，给相关部门(例如政府、或学校管理部门等)写一封短信(1页纸以内)，阐明你对幸福的理解和建议，构建和谐社会。二、问题分析幸福感是一种主观的心理体验，幸福与否的界限十分模糊，运用经典数学很难有效地建立数学模型对幸福感进行定性与定量的描述，而模糊数学中隶属度的运用能够很好的解决这个问题。模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。建立幸福感的评价指标体系，主要是确定指定因素对幸福感的的权重，记为(权重向量）符号含义见符号说明。在确定权重向量的过程中，本文运用层次分析的方法，对各种因素进行分类整理，通过因素间的两两比较确定各个因素对幸福感（目标）的权重，进而通过模糊权向量与评价矩阵的合成运算，解得对幸福感（目标）的综合评价矩阵，并对该矩阵进行归一化处理。根据最大隶属度原则，判定网民的幸福感程度。三、模型假设 1. 在指标的采取中只考虑网民主观因素的影响，且各个因素之间的相互影响忽 略不计；2、假设被调查者在调查时均处于正常的情绪状态下；3、假设统计表格都是调查者的真实结果；4、影响网民幸福感的只有本文提到的几个因素； 5、调查具有随机的，网民分布均匀；6、忽略身心健康、家庭生活条件差距悬殊的情况。 四、符号说明X：被评价的对象集合U：因素集V：评语集W：模糊权向量R：单因素判断矩阵或特征向量RB：二级模糊综合评价矩阵CI：一致性指标RI ：平均随机一致性指标：最大特征根：最大特征根的平均值CR：一致性比例：组合一致性比率五、模型的建立及求解过程建立幸福感评价指标体系（简单说明）一级指标（5个）二级指标身心健康工作/生活上的压力 身体健康状况业余生活生活态度自我价值工作/学业上的成就感事业上的发展前途自己是什么样的人人际关系和朋友（或同学）关系和邻居关系和同事关系和家人关系环境舒适城市社会治安状况城市出行方便与否城市的生活节奏城市环境物质保障社会经济发展状况住房条件收入状况幸福感指标体系是定性指标和定量指标的结合，其中大部分是定性指标，定性指标具有很大的模糊性，因此我们需要对这些指标进行定量化，然后确定出每个指标的权重。具体过程是：将评价目标看成是由多种因素组成的模糊集合（称为因素集），再设定这些因素所能选取的评审等级，组成评语的模糊集合（称为评判集），分别求出各单一因素对各个评审等级的归属程度（称为模糊矩阵），然后根据各个因素在评价目标中的权重分配，通过计算（称为模糊矩阵合成），求出评价的定量值。下面我们采用模糊综合评价法来对幸福感进行评估。具体对幸福感指标体系的的描述见上表1，将所有指标分成了5个子集，记为、。并且；每个子集又可由它的下一级评价指标来评价,即有 接下来我们采用层次分析法(AHP)来确定各指标相对于上级指标的权重。一、算法原理多层次模糊综合评价模型数学方法的基本步骤：(1) 给出被评价的对象集合；(2) 确定因素集(亦称指标体系)； 若因素众多，往往将 按某些属性分成s个子集，且满足条件： (3) 确定评语集；(4) 由因素集与评语集，可获得一个评价矩阵 (5) 对每一个 ，分别作出综合决策。设 中的各因素权重的分配(称为模糊权向量)为 ，其中。若Ri为单因素矩阵，则得到一级评价向量为: (6) 将每个视为一个因素，记，于是U 又是单因素集， U的单因素判断矩阵为 每个作为 的一部分，反映了的某种属性，可以按他们的重要性给出权重分配 于是得到二级模糊综合评价模型为: 若每个子因素仍有较多因素，则可将再划分，于是有三级或更高级模型。 而在此过程中，权重的确定是至关重要的，本文运用层次分析法确定权重。层次分析法的基本原理与步骤 人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。 运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： （i）建立递阶层次结构模型； （ii）构造出各层次中的所有判断矩阵； （iii）层次单排序及一致性检验； （iv）层次总排序及一致性检验。 下面分别说明这四个步骤的实现过程：1.1 递阶层次结构的建立与特点 应用 AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类：（i）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。（ii）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。（iii）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9 个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。1.2构造判断矩阵定义 1 若矩阵满足则称之为正互反矩阵(易见 )。 关于如何确定的值，Saaty 等建议引用数字19 及其倒数作为标度。表1 列出了标度的含义：表1 标度的含义标度含义1表示两个因素相比，具有相同重要性3表示两个因素相比，前者比后者稍重要5表示两个因素相比，前者比后者明显重要7表示两个因素相比，前者比后者强烈重要9表示两个因素相比，前者比后者极端重要2,4,6,8表示上述相邻判断的中间值倒数若因素i与因素j的重要性之比为，那么因素j与因素i重要性之比为 从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度,又容易因此而提供虚假数据。Saaty 等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用19 标度最为合适。最后，应该指出，一般地作次两两判断是必要的。有人认为把所有元素都和某个元素比较，即只作n1次比较就可以了。这种作法的弊病在于，任何一个判断的失误均可导致不合理的排序，而个别判断的失误对于难以定量的系统往往是难以避免的。进行次比较可以提供更多的信息，通过各种不同角度的反复比较，从而导出一个合理的排序。1.3 层次单排序及一致性检验 判断矩阵 A 对应于最大特征值的特征向量，经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。 上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其它因素的干扰，较客观地反映出一对因子影响力的差别。但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。 如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵A的元素还应当满足： （1）定义2 满足关系式（1）的正互反矩阵称为一致矩阵。 需要检验构造出来的（正互反）判断矩阵A是否严重地非一致，以便确定是否接受A 。定理1 正互反矩阵的最大特征根必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。的其余特征值的模均严格小于。定理2 若为一致矩阵，则 （i）必为正互反矩阵。 （ii）的转置矩阵也是一致矩阵。 （iii）的任意两行成比例，比例因子大于零，从而rank(A) = 1（同样， A的任意两列也成比例）。 （iv）的最大特征值，其中n为矩阵A的阶。A的其余特征根均为零。 （v）若A的最大特征值对应的特征向量为，则即 定理 3 n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根 ，且当正互反矩阵A非一致时，必有 。 根据定理 3，我们可以由 是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖于 ，故比n 大得越多，A 的非一致性程度也就越严重，对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出在对因素Z的影响中所占的比重。因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：（i）计算一致性指标CI （ii）查找相应的平均随机一致性指标RI 。对，Saaty给出了RI 的值，如表2 所示。表2 RI 的值n123456789RI000.580.901.121.241.321.411.45 RI 的值是这样得到的，用随机方法构造500 个样本矩阵：随机地从19 及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值，并定义 （）计算一致性比例CR 当CR 0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。1.4 层次总排序及一致性检验上面我们得到的是一组元素对其上一层中某元素的权重向量。我们最终要得到各元素，特别是最低层中各方案对于目标的排序权重，从而进行方案选择。总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。表3 层次总排序合成表设上一层次（ A 层）包含共m 个因素，它们的层次总排序权重分别为。又设其后的下一层次（B 层）包含n 个因素，它们关于 的层次单排序权重分别为（当 与 无关联时,）。现求B 层中各因素关于总目标的权重，即求B 层各因素的层次总排序权重，计算按表3 所示方式进行，即 对层次总排序也需作一致性检验，检验仍象层次总排序那样由高层到低层逐层进行。这是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检验，各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性。但当综合考察时，各层次的非一致性仍有可能积累起来，引起最终分析结果较严重的非一致性。设 B 层中与j A 相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验，求得单排序一致性指标为,相应的平均随机一致性指标为RI (j)（CI (j)、RI (j)已在层次单排序时求得），则B层总排序随机一致性比例为 当CR 0.10时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。二、模型求解计算过程首先计算权重向量如表所示: B1 B2 B3 B4 B5 B1 1 1/2 2 1/3 3B2 2 1 3 1/2 4B3 1/2 1/3 1 1/4 2B4 3 2 4 1 7B5 1/3 1/4 1/2 1/7 1 C11 C12 C12 C12 C12 1 3 1 5C12 1/3 1 1/3 2C13 1 3 1 4C14 1/5 1/2 1/4 1 C21 C22 C23 C21 1 2 1/3 C22 1/2 1 1/3C23 3 3 1 C31 C32 C33 C34 C31 1 1/5 1/3 1C32 5 1 2 4C33 3 1/2 1 3C34 1 1/4 1/3 1 C41 C42 C43 C44 C41 1 1/3 1/2 3C42 2 1 1 4C43 3 1 1 3C44 1/3 1/4 1/3 1 C51 C52 C53 C51 1 5 7 C52 1/5 1 2 C53 1/7 1/2 1 计算表示一级指标的B组向量: 5个元素两两进行比较，确定相对重要程度，得出上表所示正互反阵。 通过MATLAB计算得出该矩阵的最大特征值和与该特征值相对应的特征向量，我们把该特征向量作为权向量：记为。同时我们根据公式求出,进行一致性检验，得出结果= 0.00900.1, 通过一致性检验。平均随机一致性指标n123456789RI000.580.941.121.241.321.411.45 组合一致性比率为CR，p=1,2，,s 结果如下：=0.00900.1, 通过一致性检验。 如表二表示的二级指标5个矩阵我们使用同样的方法求出，分别把特征向量记为。 本文需要求的第i个因素对目标层的权向量。对计算结果进行总排序一致性检验，由算法原理得： 代入数据得:CR=0.0294,显然CR0.1,故所有的比较判断矩阵都符合一致性判断要求(程序见附表二)。 根据附表一的数据，我们得出相应选项的百分比，本文把此百分比作为对相应项的评价，由此我们构造单因素评判矩阵。运用matlab运算（程序见附表一）。计算过程幸福感的评价指标体系一级指标（5个）二级指标1 2 3 4 5 身心健康工作/生活上的压力0.181590.376330.336370.0708140.034901身体健康状况0.0480530.361150.505310.0804250.005058业余生活0.106220.255940.476990.101160.059686生活态度0.139610.519980.207890.101670.030855人际关系和朋友（或同学）关系0.197770.583210.161360.0369250.020738和邻居关系0.0794130.202330.410720.217000.090541和同事关系0.176020.590790.172480.0359130.024785和家人关系0.272130.454220.207890.0475470.018209环境舒适城市社会治安状况0.0961050.307030.41730.136570.042994城市出行方便与否0.186650.366210.292870.0955990.058675城市的生活节奏0.132520.340410.401110.103690.022256城市环境0.151750.201320.317150.179060.15073自我价值工作/学业上的成就感0.093070.248860.424380.157310.076378事业上的发展前途0.134040.342440.394540.0935760.035407自己是什么样的人0.115830.411230.332320.115330.025291物质保障社会经济发展状况0.061710.20840.408190.22610.095599住房条件0.0849770.218010.513910.127970.055134综合评价矩阵 代入数据可得到A= (0.1866 0.3525 0.3757 0.1573 0.0905),将A进行归一化处理之后，得A1=(0.1605 0.3032 0.3232 0.1353 0.0778)(MATLAB程序见附表一).数据用直方图表示如下： 图1 模型计算值与调查统计值比较图 由上图知，模型计算值与调查统计值的最大误差在第二项，误差值为4.08%，模型结果与调查结果基本相符，且根据最大隶属度原则，网民总体幸福指数为“一般”，这与模型输出结果完全一致。六、对第二问的求解 建立层次结构模型、构造判断矩阵及计算权向量并做一致性检验同模型一。学生幸福感的求解 1）我们将我们建立的模型应用于解决对某校学生幸福指数衡量，用层次分析法确立在幸福指数中个指标所占的比重。影响幸福的指标一级指标 二级指标家庭满意度和家人的关系家长期望家庭经济家人对自己的影响自身满意度健康状况外貌因素生活可支配费自身期望自身性格学习满意度学习成绩学习压力老师评价 2）构造比较判断矩阵对目标层A的比较判断矩阵11/34311/81/481对准则层的比较判断矩阵11/51/351331/31对准则层的比较判断矩阵B2-PP4P5P6P7P8P413547P51/31325P61/51/311/22P71/41/2213P81/71/51/21/31对准则层的比较判断矩阵171/341/711/8238161/41/21/61 3）一致性检验对于上述个比较判断矩阵，用MATLAB数学软件求出其最大的特征值及其对应的特征向量，将特征向量经归一化后，即可得到相应的层次单排序的相对重要性权向量，以及一致性指标CI和一致性比率CR，由MATLAB求出其最大的特征值及其对应的特征向量，求出RI,CI。矩阵层次单排序的权重向量3.06490.03240.580.00593.03850.01930.580.03325.07920.01981.120.01774.39820.06220.900.0691 4）层次总排序 第二层相对于总目标A的排序向量为而第三层（P层）以第二层第i个因素为准则时的排序向量分别为; ;则第三层（P层）相对于总目标的排序向量为 5）层次总排序的一致性检验 因此显然CR0.1，故所有的比较判断矩阵都符合一致性判断要求。则总目标的排序向量为： 图2 影响学生幸福感的主要因素所占比例的饼状图 基于以上的分析及饼状图可知，在影响学生幸福指数的众因素中，学习成绩（0.4035）、老师评价(0.1627)、健康状况(0.1333)是三大主导因素。老师幸福感的求解1） 将我们建立的模型应用于解决对某校老师幸福指数衡量，用层次分析法确定在幸福指数中个指标所占的比重。影响幸福的指标一级指标二级指标工作及收入工资收入工作量学生对自己的评价社会地位个人价值的实现未来预期与他人的优势比较个人能力发挥情况自信程度家庭幸福子女的教育状况婚姻（爱情）状况家庭感觉受尊重的情况2） 构造比较判断矩阵对目标层A的比较判断矩阵1351/3131/51/31 对准则层的比较判断矩阵表16421/611/21/41/4211/21/2421对准则层的比较判断矩阵表 14281/411/231/22141/81/31/41 对准则层的比较 判断矩阵16421/611/21/41/4211/21/2421 3）一致性检验 对于上述个比较判断矩阵，用MATLAB数学软件求出其最大的特征值及其对应的特征向量，将特征向量经归一化后，即可得到相应的层次单排序的相对重要性权向量，以及一致性指标CI和一致性比率CR，由MATLAB求出其最大的特征值及其对应的特征向量，求出RI,CI，矩阵层次单排序的权重向量3.03850.01930.580.03324.01040.00350.580.00381.63400.00691.120.00764.01040.00350.580.0038 4）层次总排序 第二层相对于总目标A的排序向量为而第三层（P层）以第二层第i个因素为准则时的排序向量分别为; ;则第三层（P层）相对于总目标的排序向量为 5）对层次总排序的一致性检验可得： 显然CR0.1，故所有的比较判断矩阵都符合一致性判断要求。 图3 影响教师幸福感的主要因素所占比例的饼状图 基于以上的分析可知，在影响教师幸福指数的众因素中， 工资收入（0.3269），社会地位（0.1752），未来预期（0.1365），学生评价（0.0877）是四大主导因素。七、模型的改进与推广模型改进 首先，本文在指标的采取中只考虑网民主观因素的影响，且各个因素之间的相互影响忽略不计。假设统计表格都是调查者的真实结果，影响网民幸福感的只有本文提到的几个因素， 并假设调查具有随机的，网民分布均匀，且忽略身心健康、家庭生活条件差距悬殊的情况。这些假设的确立，不可避免的与现实情况产生误差。该模型结合科学可信的调查，会更加接近客观事实。其次，由于调查资料的不完善，单因素判定矩阵的确立会产生相应的误差，直接导致模型的输出结果有一定范围的误差。本文设定一定的误差允许范围，在该范围内可认为结果可以接受。模型推广及推广原因我们所建立的指标体系是考虑综合因素之后，基本参考四个指标选择的基本原则：1 正对性原则；2 科学性原则；3 可行性原则；4 简洁性原则。在这种前提下所建立的指标体系可以推广到更加普遍的人群。1）模型推广和判断采用以模糊数学和层次分析为主要算法的模型可以推广到更加普遍的人群。层次分析法又称AHP，是将复杂的评价对象排列为一个有序的递阶层次结构的整体，然后在各个评价项目之间进行两两的比较，判断，计算各个评价项目的相对重要系数，即权重。是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。层次分析法可以推广的原因如下： 1.层次分析法具有以下优点：1. 系统性 即将对象视作系统，安装分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策；2. 实用性 定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；3. 简洁性 计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。 2. 我们模型可以推行的前提是：我们需要尽可能多的了解一定范围内人们认为影响幸福的主要因素。然后运用层次分析法来决定到底哪个更重要，也就是上文提到的权重问题。虽然层次分析法过程是主观的，但是经过每个一级指标之间的比较，二级指标与二级指标之间的两两比较，经过多次逐一比较后，是可以比较客观而准确的得出各个指标做占的权重。最后根据权重的大小，用加权平均法得到在总幸福指数中的比例。 3.如果调查地区不同，人群分类不同，影响其幸福指数的幸福指标和它们所占得权重将会改变，但是这并不妨碍我们模型使用。因为层次分析法就是可以从一系列相互影响的指数中比较得出权重，至于系列时刻以根据适用范围而做出改变的。我们建立的指标体系并不是一个特定方面、固定数目的指标，而是一个可以在不同情况下、不同地区中分析针对他们有特征的指标，及相互之间的影响而建立的。在这样的前提下，我们模型的使用具有更大的范围。 4. 因为层次分析法操作比较简单，可以根据一个地区的调查问卷得出这个地区的幸福指数，也可以对于某一个人的幸福感做出比较准确的判断，这样也增加了这个模型用于更加普遍人群的可行性。 5.同时，多层次模糊综合评价模型可以根据最大 最大隶属度原则判定某一地区、不同人群的的幸福程度。八、模型评价 对于问题一模型较好的体现了各可以方面的情况，比较全面。不仅得出影响网民幸福指数各因素的权重，而且可以得到网民幸福指数的量化指标。有以上计算可以看出，本文的计算结果与附表提供的数据基本符合，说明了该模型具有一定的的科学性、可行性、准确性。对于问题二，本文主要采用层次分析法来确定影响师生幸福指数各个因素的权重，并通过了单层一致性检验和总排序一致性检验。通过对结果的分析，主要因素和相应的权重系数均基本符合客观事实。同时，本文模型可以推广到更加普遍的人群。通过对不同地区、不同群体进行有效地调查，以此来得到不同的影响因素和相应的判定判定矩阵，就可以运用本文模型所建立的幸福指数评价体系进行计算和分析。 致学校管理人员的一份信尊敬的校领导，老师：你们好： 本文搜集关于贵校影响师生幸福感的各种因素，通过模型的计算，得出了一些结论，希望您百忙之中抽出时间来了解贵校师生的幸福状况，只有师生都幸福了，学校才会办得更好更成功。幸福感是一种心理体验，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断，又是对于生活的主观意义和满足程度的一种价值判断。它表现为在生活满意度基础上产生的一种积极心理体验。而不同的人的幸福来自不同的方面，像我们调查中得到的学生的幸福可能来自老师的幸福又可能来自而不同来源的幸福感在每个人心中的地位是不一样的，即幸福指标所占的权重不一样，但通过权重的比较，却可大致比较出老师和学生的幸福感。首先，从老师的问卷中得出影响幸福的主要因素按其重要性依次为：工资收入（0.3269），社会地位（0.1752），未来预期（0.1365），学生评价（0.0877）。其次，从收集到的学生的问卷中统计影响他们幸福的因素按其重要性依次为学习成绩（0.4035） 老师评价(0.1627) 健康状况(0.1333)。对于调查及分析结果我们提出一些意见如下：学校应该多关注老师和学生的幸福，对学生：要为学生营造一个良好的学习氛围，尽量减少学生的学习压力，要循循渐诱，一步一步引导他们成材，提高他们的自身满意度，使他们对未来对成功充满信心。比如可以多举行一些课外活动，让同学们的身体得到锻炼，身心愉悦，学习效率才高，或者可以多举行一些有意义的讲座，使同学们的素质有所提高。而对老师：要为老师提供一个舒适的工作环境，提高管理及教学效率，条件允许的情况下，为教师提高工作待遇的质量。并可以定期地对全校师生进行幸福度调查，及时知道老师同学们的幸福情况，从而反映出学生的学习状况老师的工作状况，以提高学校的教学质量。我们的建议只是空头话，相信贵校以后一定会更加关注学校老师和学生的幸福的，然后采取措施增强他们的幸福感，说不定还会找到更有效的方法使全校老师和同学都感到幸福，然后老师努力工作刻苦学习，学校越办越成功，为社会培养越来越多的人材。最后感谢您读完这封信！此致敬礼！某数学建模小组参考文献1姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型M，北京：高等教育出版社，2011.1；2郭洪伟，幸福指数的测算研究，统计与决策，2010第314期；2010.73吴启富，陈红梅.张晓波基于结构方程的北京居民幸福指数因素分析J, 首都经济贸易大学学报，2007年第3期；4周四军，庄成杰.基于距离综合评价法的我国国民幸福指数NHI测评J, 财经理论与实践, 第29卷第155期；5 叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材（三），长沙：湖南教育出版社，1998。6 姜启源，数学模型（第二版），北京：高等教育出版社，1993。7 赵静，但琦主编，数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社；施普林格（Springer）出版社，2000。8雷功炎，数学模型讲义，北京：北京大学出版社，1999。 附表一求矩阵A最大特征值所对应的特征向量（权向量），程序如下：A=1 1/2 2 1/3 3;2 1 3 1/2 4;1/2 1/3 1 1/4 2;3 2 4 1 7; 1/3 1/4 1/2 1/7 1;b1=1 3 1 5;1/3 1 1/3 2;1 3 1 4;1/5 1/2 1/4 1;%身心健康b2=1 2 1/3;1/2 1 1/3;3 3 1;%自我价值b3=1 1/5 1/3 1;5 1 2 4;3 1/2 1 3;1 1/4 1/3 1;%人际关系b4=1 1/3 1/2 3;2 1 1 4;3 1 1 3;1/3 1/4 1/3 1;%环境舒适b5=1 5 7;1/5 1 2;1/7 1/2 1;%物质保障a=eig(A) %求出A的所有的特征值；X,D=eig(A) %求出A的所有的特征向量及对角矩阵a1=a(1,:) %在A的所有特征向量中取出最大的特征值（第一个）；a2=X(:,1) %在所有特征值中取出最大的特征值所对应的特征向量；a3=ones(1,5) %构造一个其中元素全为1的15矩阵；a4=a3*a2 %a2中所有元素的和；w1=1/a4*a2 %w1为所求权向量；同理可求得矩阵b1,b2,b3,b4,b5的权向量分别为wb1,wb2,wb3,wb4,wb5.利用模糊算法求各个一级指标的权重系数，程序如下：wb1 = 0.3996 0.13990.3794 0.0812wb2 = 0.2493 0.1571 0.5936 wb3 =0.1009 0.5018 0.2902 0.1071wb4 = 0.1835 0.3525 0.3757 0.0883wb5 =0.7396 0.1666 0.0938a1=0.1816 0.3763 0.3364 0.0708 0.03490.0481 0.3612 0.5053 0.0804 0.00510.1062 0.2559 0.4770 0.1012 0.05970.1396 0.5200 0.2079 0.1017 0.0309;a2=0.0931 0.2489 0.4244 0.1573 0.07640.1340 0.3424 0.3945 0.0936 0.03540.1158 0.4112 0.3323 0.1153 0.0253;a3=0.1978 0.5832 0.1614 0.0369 0.02070.0794 0.2023 0.4107 0.2170 0.09050.1760 0.5908 0.1725 0.0359 0.02480.2721 0.4542 0.2079 0.0475 0.0182;a4=0.0961 0.3070 0.4173 0.1366 0.04300.1866 0.3662 0.2929 0.0956 0.05870.1325 0.3404 0.4011 0.1037 0.02220.1517 0.2013 0.3171 0.1790 0.1507;a5=0.0617 0.2084 0.4082 0.2261 0.9560 0.0850 0.2180 0.5139 0.1280 0.0551 0.0678 0.2049 0.2438 0.3166 0.1669;B1=wb1;%身心健康B2=wb2;%自我价值B3=wb3;%人际关系B4=wb4;%环境舒适B5=wb5;%物质保障%利用模糊算法逐个求权重系数m=size(B1,1);n=size(a1,2);for i=1:mfor j=1:ns=max(min(B1(i,:);a1(:,j)endendm=size(B2,1);n=size(a2,2);for i=1:mfor j=1:ns=max(min(B2(i,:);a2(:,j)endendm=size(B3,1);n=size(a3,2);for i=1:mfor j=1:ns=max(min(B3(i,:);a3(:,j)endendm=size(B4,1);n=size(a4,2);for i=1:mfor j=1:ns=max(min(B4(i,:);a4(:,j)endendm=size(B5,1);n=size(a5,2);for i=1:mfor j=1:ns=max(min(B5(i,:);a5(:,j)endend利用模糊算法求出最终的评价向量，程序如下：R=0.1816 0.3763 0.3794 0.1012 0.0597 0.1340 0.4112 0.3323 0.1573 0.0764 0.1760 0.2902 0.4107 0.2170 0.0905 0.1866 0.3525 0.3757 0.1366 0.0883 0.0850 0.2084 0.4082 0.2261 0.7396 %R为5行5列矩阵A=0.1565 0.2574 0.0952 0.4349 0.0560;m=size(A,1);n=size(R,2);for i=1:mfor j=1:ns=max(min(A(i,:);R(:,j)%先取小，再取大endend附表二A=1 1/2 2 1/3 3;2 1 3 1/2 4;1/2 1/3 1 1/4 2;3 2 4 1 7; 1/3 1/4 1/2 1/7 1;A1=0.1565 0.2574 0.0952 0.4349 0.0560;x,y=eig(A) %求特征值与特征向量eigenvalue=diag(y)lamda=eigenvalue(1) %最大特征值ci1=(lamda-5)/4;cr1=ci1/1.12 %进行一致性检验b1=1 3 1 5;1/3 1 1/3 2;1 3 1 4;1/5 1/2 1/4 1;%身心健康b2=1 2 1/3;1/2 1 1/3;3 3 1;%自我价值b3=1 1/5 1/3 1;5 1 2 4;3 1/2 1 3;1 1/4 1/3 1;%人际关系b4=1 1/3 1/2 3;2 1 1 4;3 1 1 3;1/3 1/4 1/3