机械振动.ppt

1 2 一般地说 任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以称为振动 振动有 机械振动 电磁振动 光振动 本章着重研究机械振动 最简单最基本最有代表性的是简谐振动 学习中的重点和难点是 相 phase 3 4 1简谐振动的一般概念 4 1 1简谐振动的运动学方程 一质点沿x轴作直线运动 取平衡位置为坐标原点 若质点对平衡位置的位移 坐标 x随时间t按余弦变化 即 则称质点作简谐振动 谐振动 上式中 A 为谐振动的三个特征量 x Acos t 运动学方程 p21 4 平衡位置 1 注意 研究简谐振动时 坐标原点只能取在平衡位置 平动 转动 x Acos t 5 x Acos t A 振幅 对平衡位置最大位移的绝对值 初相 t 0时的相 t 相 位相 相位 周相 2 三个特征量 角频率 6 a 2x 显然 它们都是谐振动 运动学特性 动力学特性 k m 2 x Acos t 加速度 速度 m A am 2A 4 1 2谐振动的特征 等幅振动 A不变 周期振动 x t x t T 7 t 0 x A 0 正最大 t 在第1象限 x 0 0 t 3 2 x 0 0 平衡位置 t 在第4象限 x 0 0 t 2 x A 0 正最大 x Acos t 显然 它们由相位唯一确定 4 1 3质点的振动状态完全由相位确定 8 4 1 4振动的超前与落后 设有两个同频率的谐振动 x1 A1cos t 1 x2 A2cos t 2 0 振动x2超前x1 2 1 0 振动x2落后x1 2 1 0 振动x2和x1同相 振动x2和x1反相 例1x Acos t Asin t Acos t 2 a 2Acos t 2Acos t 2x 超前x 2 a超前 2 a与x反相 9 例2x1 0 3cos t x2 0 4cos t x2超前x1 0 4cos t x1超前x2 10 x a的位相关系 11 一 解析法 x Acos t 角频率 由谐振系统确定 对弹簧振子 顺便指出 弹簧的串联和并联公式与电阻的串联和并联公式是相反 例如 一根倔强系数为k的轻弹簧 减去一半后 倔强系数是多少 4 2简谐振动的描述 12 x Acos t Asin t o Asin 振幅A和初相 由初始条件 即t 0时刻物体的运动状态 来确定 13 解 x Acos t 14 解 由m1g kx 得 t 0时 xo 2cm o 10cm s 2 06cm 例题2 2弹簧挂m1 80g时伸长4 9cm 用此弹簧与m2 40g组成一弹簧振子 将m2从平衡位置向下拉2cm后 给予向上初速 o 10cm s并开始计时 试求振动方程 15 0 25 14 04 0 24rad t 0时 xo 2cm o 10cm s 应取 0 24 3 38 rad 所求振动方程为x Acos t 2 06cos 20t 3 38 cm A 2 06cm 20 16 二 旋转矢量法 负最大 端点M在x轴上的投影点 p点 的位移 x Acos t 显然 p点作简谐振动 t 相 正最大 0 x Acos t Asin t 17 例题2 3求简谐振动质点的初相 1 t 0时 xo A 2 t 0时 质点经过平衡位置正向x轴正方向运动 则 3 2 或 2 3 t 0时 xo A 2 质点正向x轴负方向运动 则 xo Acos 4 t 0时 质点正向x轴正方向运动 则 3 5 4 18 解质点受弹性恢复力的作用 故作简谐振动 由 知 直接用下述公式求A 是困难的 T 12s 例题2 4质点m 9kg在力 N 的作用下沿x轴运动 当t 0 xo 0 t 1s 2m s 求运动方程 19 于是 t 1 最后得 由t 0 xo 0 知 2 又因T 12s t 1s 2 0 所以 2 已知 t 0 xo 0 t 1s 2m s 20 解 由F kx 得 1 t 0时 xo 0 1m o 0 0 1m 200 例题2 5弹簧在60N的拉力下伸长30cm 将m 4kg 从平衡位置下拉10cm后静止释放 t 0 求 1 振动方程 2 物体在平衡位置上方5cm时所受弹簧的拉力 3 物体从第一次越过平衡位置到运动到上方5cm处所需的最短时间 21 lo 0 196m 弹簧对物体的拉力 F k lo 0 05 29 2N 3 物体从第一次越过平衡位置到运动到上方5cm处所需的最短时间 A 10cm 平衡条件 2 物体在平衡位置上方5cm时所受弹簧的拉力 22 解 1 x 0 12cos t m 2 0 19 m s 1 03 m s2 例题2 6质点作简谐振动 T 2s A 0 12m t 0时 xo 0 06m 向x轴正方向运动 求 1 振动方程 2 t 0 5s时的速度和加速度 3 x 0 06m 且向x轴负向运动时的速度和加速度 4 从x 0 06m 且向x轴负向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间 23 0 33 m s 0 59 m s2 相位 3 x 0 06m 且向x轴负向运动时刻的速度和加速度 A 0 12m 24 旋转矢量转动的角速度 旋转矢量转动过程所用的时间 即质点从x 0 06m 且向x轴负向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间为5 6S 4 从x 0 06m 且向x轴负向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间 旋转矢量转过的角度 25 解 周期T 8s 例题2 7质点作谐振动 t 0时向右通过A点 经2s第一次通过B点 再经2s质点第二次通过B点 A B AB 10cm 求振动方程 由于 A B 所以坐标原点应在AB的中点 初相 5 4 振幅 26 三 曲线法 t m t 0 27 cm t 2 t 0 28 t 0 x 8cos cm t 1 t 0 29 m A A 2 4 x cos m 2 4 t 0 30 一 同频率平行简谐振动的合成 分振动 x1 A1cos t 1 x2 A2cos t 2 合振动 x x1 x2 Acos t 1 合振动仍是同频率的谐振动 2 合振动的振幅和初相 4 3简谐振动的合成 p31 31 由余弦定理 合振动的振幅为 合振动的初相 32 3 合振动的强弱 取决于两分振动的相位差 2 1 2k k 0 1 2 A A1 A2 加强 2k 1 k 0 1 2 A A1 A2 减弱 x1 A1cos t 1 x2 A2cos t 2 x x1 x2 Acos t 33 1 公式法 0 5 36 86 0 64rad 0 64 2 5rad 合振动方程 x 0 5cos t 2 5 cm 已知 A1 0 3 A2 0 4 1 2 2 解x Acos t 例题3 1x1 0 3cos t cmx2 0 4cos t cm求合振动方程 34 2 旋转矢量 36 86 0 64rad 2 5 合振动方程 x 0 5cos t 2 5 cm 35 解 75 180 75 105 36 3 解已知 A1 0 4 A2 0 6 1 3 2 2 3 0 2 5 3 2 3 x1与x2是反相的 合振动方程 x 0 2cos 2 t 2 3 cm 例题3 3设分振动 x1 0 4cos 2 t 3 cm x2 0 6cos 2 t 2 3 cm 求合振动方程 37 合振动方程 x 0 04cos t 2 m 例题3 4t 0时 x1和x2的振动曲线如图所示 求合振动方程 解由图可知 x1与x2是反相的 因而合振幅 A 0 12 0 08 0 04 合振动的初相 2 振幅大的分振动的初相 合振动的角频率 2 T 38 例题3 5两个同方向 同频率的谐振动合成后 合振幅A 20cm 合振动与第一个振动的相差为 6 A1 17 3cm 求 1 A2 2 两振动的相差 2 1 10cm 由余弦定理 解直接用公式是无法求解的 39 因A 20 A2 10 由上式可求出 2 两振动的相差 2 1 用正弦定理有 40 例题3 6求同方向 同频率 同振幅 相差均为 的N个谐振动的合振动方程 解设 x1 Aocos tx2 Aocos t xn Aocos t N 1 OBD OBC p32 41 x Acos t 42 二 不同频率 平行简谐振动的合成 分振动 x1 Acos 1t x2 Acos 2t 且 1与 2相差很小 合振动 x x1 x2 由于 1与 2相差很小 故 1 2比 1 2小得多 即 比的周期长得多 所以 合振动可近似看作是一个振幅缓慢变化的谐振动 拍 43 显然 拍频 振幅Ao的变化频率 为 拍 2 1 拍 2 1 44 x A1cos t 1 y A2cos t 2 在一般情况下 这是一个椭圆方程 三 同频率 相互垂直谐振动的合成 45 1 当 2 1 0时 上式退化为一直线 合振动仍为谐振动 合振动仍为谐振动 2 当 2 1 时 上式也退化为一直线 46 3 当 2 1 2时 上式为一椭圆 合振动不再是谐振动 四 不同频率垂直谐振动的合成 李萨如图形P35 36 自学 左旋 右旋 47 方法 4 4简谐振动周期的确定 简谐振动的周期 频率 由振动系统确定 p147 48 2 将物体m对平衡位置位移x 3 沿斜面方向应用牛二定律 mgsin k x xo ma kx ma 比较 是谐振动 T与倾角 无关 建立坐标 mgsin kxo 例题4 1一光滑斜面上的弹簧振子 已知m k 证明它作谐振动 并求出周期 解 1 找出平衡位置 49 解设木块质量为m 边长为b 则平衡条件为mg 水gb2h 牛二 水gb2 h x mg ma 水gb2x ma 比较 a 2x 例题4 2正方体形木块在水面上作谐振动 吃水深度为h 水面下的木块高度 求振动周期T 50 解平衡条件 kxo mg 令m位移x 则 mg T1 ma T1R T2R J T2 k xo x a R 比较 a 2x 例题4 3求图示圆盘 弹簧系统的振动周期 图中k J R m为已知 51 例题4 4角谐振动刚体 m I 在竖直面内作微小振动 质心到转轴的距离为hc 求振动周期 解由M I 有 mghcsin I 当 很小 5 时 sin 于是 比较 52 当 5 时 53 x Acos t Asin t 振动势能 振动动能 注意到 k m 2 有 恒量 总能 4 5简谐振动的能量 p150 54 1 Ek和Ep随t作周期性的变化 而且 Ek和Ep的周期为其振动周期的二分之一 3 平均势能 平均动能 恒量 2 势能最大时 动能最小 动能最大时 势能最小 但系统的总机械能守恒 55 4 振动势能与弹性势能一般是不相同的 振动势能 其中x是对平衡位置的位移 弹性势能 其中x是弹簧的伸长量 例 56 例题5 1光滑水平面 k 24N m m 6kg 静止在平衡位置 设F 10N使物体向左运动s 0 05m再撤去 取物体运动到左方最远处开始计时 求 1 物体的运动方程 2 何处Ek Ep 解 1 A 0 204 x 0 204cos 2t m 振动能量来源于外力的功 57 2 何处Ek Ep A 0 204 58 例题5 2当m 100g 处于平衡状态时 再用一拉力使弹簧伸长后静止释放 已知物体在32s内完成48次振动 振幅为5cm 1 上述的外加拉力是多大 2 当物体在平衡位置以下1cm处时 此振动系统的动能和势能各为多少 解 1 设物体在平衡位置时弹簧伸长lo 有mg klo 59 加拉力F后的平衡条件 F mg k lo A F kA 0 444N 此时弹簧又伸长 x A 加拉力F后将物体静止释放 此时弹簧又伸长多少 mg klo m 100g A 5cm 5cm 60 2 当物体在平衡位置以下1cm处时 此振动系统的动能和势能各为多少 总能 4 44 10 4J 势能 1 11 10 2J 动能 Ek E Ep 1 07 10 2J mg klo m 100g A 5cm 61 动力学方程 令 4 6阻尼振动受迫振动共振 自学 p153 一 受迫振动 62