第3次课--条件概率全概率公式.ppt

1 3 条件概率 一 条件概率的概念与计算 解 易知 引例 将一枚硬币连抛两次 观察正反面出现的情况 设事件A 两次同面 事件B 至少有一次正面 求 在事件B发生的条件下事件A发生 的概率P A B 在 至少有一次正面 发生的条件下计算A发生的概率时 可取B为样本空间 缩减样本空间 此时 A只含一个样本点HH 故 2 显然 P A B P A 1 2 定义1设A B为两个事件 且P B 0 称 为 在事件B发生的条件下事件A发生 的条件概率 由此 一般可定义条件概率 此外 在样本空间中易计算得 P B 3 4 P AB 1 4 且有 3 不难看出 计算条件概率P A B 有两种方法 在原样本空间中分别求出P A P AB 再按定义公式计算 在缩减样本空间B中按一般概率计算P A 4 解 由条件可得 例1 一盒子装有5只产品 其中3只正品 2只次品 从中取产品两次 每次取一只 作不放回抽样 求在第一次取到正品条件下 第二次取到也是正品的概率 分析 如果设事件A为 第一次取到正品 事件B为 第二次取到正品 则问题转化为求条件概率P B A 故有 例2 某地某天下雪的概率为0 3 下雨的概率为0 5 既下雪又下雨的概率为0 1 求 1 在下雨条件下下雪的概率 2 这天下雨或下雪的概率 解 设A 下雨 B 下雪 1 2 6 1 条件概率也是概率 因而也满足概率的三条公理及其各个性质 对立事件概率公式 等等 此处不一一列举 二 条件概率的性质 例如 加法公式 7 注意 当P A 0时 乘法公式与条件概率定义式是等价的 当P A 0 P B 0时 有P AB P A P B A P B P A B 乘法公式可以推广到多事件情形 例如 三事件的乘法公式为P ABC P A P B A P C AB 其中P AB 0 由条件概率定义即可得 乘法定理设A B为两个事件 且P A 0 则 2 乘法定理 8 例3 据以往资料表明 某一3口之家患某种传染病的概率有以下规律 P 孩子得病 0 6 P 母亲得病 孩子得病 0 5 P 父亲得病 母亲及孩子得病 0 4 求 母亲及孩子得病但父亲未得病 的概率 解 设A B C分别表示孩子 母亲 父亲得病的事件 由题意知 现求 由乘法公式得 9 注意由于本例中都是地位平等的随机事件 没有一个事先知道确已发生 所以所求概率是积事件概率 而不是条件概率 例4 一批彩电 共100台 其中有10台次品 采用不放回抽样依次抽取3次 每次抽一台 求第3次才抽到合格品的概率 解 设 为第 次抽到合格品的事件 则有 11 3 全概率公式与贝叶斯公式 i AiAj i j i j 1 2 n ii 例如 在掷一枚骰子观察出现的点数试验中 定义2设为随机试验E的样本空间 A1 A2 An为E的满足下列条件的事件组 则称A1 A2 An为样本空间的一个划分 B1 1 2 3 B2 4 5 B3 6 就是样本空间的一个划分 12 证 因为A可互斥分解为 所以由有限可加性与乘法定理得 定理1 全概公式 设为试验E的样本空间 A1 A2 An为的一个划分 且P Ai 0 i 1 2 n 则对任意事件B有全概率公式 13 例5 某工厂生产的产品以100件为一批 假定每一批产品中的次品数最多不超过4件 且具有如下的概率 一批产品中的次品数0 1 2 3 4 概率0 1 0 2 0 4 0 2 0 1 现进行抽样检验 从每批中随机取出10件来检验 若发现其中有次品 则认为该批产品不合格 求一批产品通过检验的概率 解 以表示一批产品中有i件次品 i 0 1 2 3 4 B表示通过检验 则由题意得 14 证 由条件概率 乘法定理与全概率公式得 定理2 贝叶斯公式 设为试验E的样本空间 A1 A2 An为的一个划分 B为E的事件 且P Ai 0 i 1 2 n P B 0 则有 15 在应用全概率公式与贝叶斯公式时 有两个问题需要弄清楚 当事件的发生是由诸多两两互斥的原因而引起的 可以将这些 原因 看作划分 2 如何区分是用全概率公式还是用贝叶斯公式 1 如何确定划分 由因求果 用全概率公式 执果求因 用贝叶斯公式 16 例6 设工厂甲和工厂乙的产品次品率分别为1 和2 现从甲与乙的产品分别占60 和40 的一批产品中随机抽取一件 发现是次品 则该次品属甲厂生产的概率是多少 解 由于产生次品的 原因 是 甲厂生产 和 乙厂生产 因此 划分可设为 事件B为 随机抽取一件为次品 由全概率公式得 17 由贝叶斯公式得 例7 设某工厂有甲 乙 丙3个车间生产同一种产品 产量依次占全厂的45 35 20 且各车间的次品率分别为4 2 5 现在从一批产品中检查出 1个次品 问该次品是由哪个车间生产的可能性最大 解 设A1 A2 A3表示产品来自甲 乙 丙3个车间 B表示产品为 次品 的事件 易知A1 A2 A3是样本空间的一个划分 则有 例8 由以往的临床记录 某种诊断癌症的实验具有如下效果 被诊断者有 癌症 实验反应为阳性的概率为0 95 被诊断者没有癌症 实验反应为阴性的概 率为0 95 现对自然人群进行普查 设被实验的人群中患有癌症的概率为0 005 求 已知实验反应为阳性 该被诊断者确有癌症的概率 解 设A表示 患有癌症 表示 没有癌症 B表示 实验反应为阳性 则由