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1 应用物理专业课之 理论力学 2 第一章 质点力学 3 1 1运动的描述方法 一参照系与坐标系 参照系 为描述物体的运动而选择的标准物 如果我们研究某一物体的运动 而可以忽略物体大小和形状对其运动的影响 若不涉及物体的转动和形变 我们就可以把物体当作是一个具有质量的点 即质点 来处理 质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型 目的是为了突出研究对象的主要性质 暂不考虑一些次要的因素 质点 4 1 自由质点空间位置的确定 直角坐标系 平面极坐标系 5 2 运动学方程与轨道 分量式 从中消去参数得轨迹方程 运动学方程不涉及物体运动状态变化的原因 力 6 3 位移速度加速度 位移 给定时间内 联结质点的初位置和末位置 并从指向的有向线段 记为 物理意义 A 确切反映物体在空间位置的变化 与路径无关 只决定于质点的始末位置 B 反映了运动的矢量性和叠加性 7 速度 位矢随时间的变化率 记为 方向 点切线方向 加速度 速度随时间的变化率 记为或 8 1 2速度 加速度的分量表示式 一直角坐标系 速率 1 速度在直角坐标系中的表示 9 例1 设椭圆规尺的端点和沿直线导槽及滑动 而以匀速度运动 求椭圆规尺上点的轨道方程 速度及加速度 设 2 加速度在直角坐标系中的表示 10 解 点的坐标为 消去 得点的轨道方程 速度分量 椭圆 因点坐标为 11 故 速度分量亦可写为 即 加速度分量 12 二极坐标系 单位矢量随时间的变化率 1 速度在极坐标系中的表示 13 分量式 2 加速度在极坐标系中的表示 14 分量式 柱坐标系 速度 加速度的表示式为相应的平面极坐标中的形式加上轴分量即可 15 解 16 3 切向加速度与法向加速度 切向加速度 法向加速度 自然坐标系 以轨道切线和法线为坐标的坐标系 17 解 例3 一质点沿圆滚线的弧线运动 如为一常数 则其加速度亦为一常数 试证明之 式中为圆滚线某点上的切线与水平线 轴 所成的角度 为点与曲线最低点之间的曲线弧长 18 解 19 1 3平动参照系 一绝对速度相对速度牵连速度 两坐标系坐标变换关系 20 矢量式 绝对速度 牵连速度 相对速度 例1 某人以每小时4千米的速度向东方前进时 感觉风从正北吹来 如将速率增加一倍 则感觉风从东北方向吹来 试求风速及风向 21 人以的速率前进时 解 取坐标系固着在地面上 系固着在人身上 并令轴指向东方 轴指向北方 则 人以的速率前进时 22 例2 小船被水流冲走后 用一绳将它拉回岸边点 假定水流速度沿河宽不变 而拉绳子的速度则为 如小船可以看成一个质点 求小船的轨迹 解 因小船沿径向的绝对速度为 其方向与位置矢量的方向相反 而水的牵连速度垂直于方向 增加的方向 的分量为 所以 23 积分 得 设初始条件为 则 小船的轨迹方程为 24 二绝对加速度相对加速度牵连加速度 矢量式 绝对加速度 牵连加速度 相对加速度 25 1 4质点运动定律 一牛顿运动定律 第一定律 任何物体 质点 如果没有受到其他物体的作用 都将保持静止或匀速直线运动状态 第二定律 当一物体 质点 受到外力作用时 该物体的加速度和外力成正比 和物体本身的质量成反比 加速度的方向和外力方向一致 第三定律 两个物体之间的作用力和反作用力沿同一直线 大小相等 方向相反 分别作用在两个物体上 26 二相对性原理 惯性参照系 牛顿定律能成立的参照系叫做惯性 参照 系 反之 叫做非惯性 参照 系 判断一个参照系是否为惯性系只能依靠观察和实验 相对于惯性系作匀速直线运动的一切参照系都是惯性系 对于不同惯性系 牛顿力学的规律都具有相同的形式 在一惯性系内部所作的任何力学实验 都不能确定该惯性系相对于其他惯性系是否在运动 这就是力学相对性原理或伽利略相对性原理 爱因斯坦相对性原理 一切惯性系对所有的物理过程 包括电磁的 光学的 都是等价的 27 1 5质点运动微分方程 一运动微分方程的建立 质点运动的微分方程形式 自由质点 不受任何约束而运动的质点 自由质点质点运动微分方程 1 直角坐标系 28 2 平面极坐标系 约束约束方程约束力主动力 2 约束方程 约束物所满足的方程 1 约束 预先给定的 由约束物给出的对力学系统运动的限制 3 约束力 约束物与质点之间相互作用的力 或称为约束反力 约束反作用力 4 主动力 质点所受的除约束力之外的其他力 非约束力 29 非自由质点 受到约束的质点 物体 质点 受到约束则自由度减少 非自由质点 自由质点 非自由质点运动微分方程 解线约束问题常用内禀方程 优点 运动规律和约束力可以分开解算 30 二运动微分方程的解 均为常数 电子运动微分方程为 31 若起始时 电子在处是静止的 则 32 抛体的运动微分方程为 因 而 故 若上式的解为 则 33 由此可以看出 只要已知 就可以求出运动规律 并确定轨道 速度较小的时候 可以近似地认为阻力只与速率的一次方成正比 即 34 此时 可以改用直角坐标进行计算 设抛体在平面内运动 则其运动微分方程为 式中为阻力系数 由介质的性质和物体的形状决定 设初始条件为 积分得 设初始条件为 再积分可得 35 消去 得轨道方程为 若阻力很小或者距离很短 即 则将上式展为级数 可得 轨道在处变成竖直直线 36 谐振动的运动微分方程为 为劲度系数 角频率 式中和都是常数 且 可由初始条件确定 37 积分后得 或 同理可得 若角频率是可通约的 即 是某一组整数 38 则质点在空间的路径将是闭合的 而运动则是周期性的 若之间并无公共因子 则运动周期为 在一周期中 坐标作次振荡 坐标作次振荡 而坐标作次振荡 在一周期完了时 质点回复到起始的位置和速度 39 解力学问题的步骤 理解题意 解方程 作草图 写出质点的运动微分方程 适当选取坐标系并规定质点的坐标 标出已知及未知的力 已知及未知的加速度 讨论 40 例1 质量为的质点 在有阻力的空气中无初速度地自离地面为的地方竖直下落 如阻力与速度成正比 试研究其运动 解 质点的运动微分方程 设阻力 令 则 41 例2 在例1中 若阻力与速度平方成正比 试研究质点的运动 解 质点的运动微分方程 设阻力 令 则 42 例3 小环的质量为 套在一条光滑的钢索上 钢索的方程式为 试求小环自处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力 解 小环受竖直向下的重力及约束反作用力 的方向应沿抛物线的法线方向 小环在任意位置处的运动微分方程为 即 43 积分 由此可得 小环滑至顶点时的速度 顶点处 小环在顶点处受到的约束反作用力为 44 1 6非惯性系动力学 一 一在加速平动参照系中的运动 质点在惯性系中的运动定律 在相对于惯性系作加速运动的参照系中的运动定律 牛顿定律不再成立 由此可以得出结论 相对于惯性系作加速运动的参照系是非惯性系 牛顿定律仍然成立 相当于一种力 非相互作用力 这种力叫做惯性力 45 二惯性力 惯性力特点 1 非相互作用力 没有施力物体 它只是反映参照系为非惯性系 2 不存在惯性力的反作用力 例 火车在平直轨道上以匀加速向前行驶 在车中用线悬挂着一小球 悬线与竖直线成角而静止 求角 解 1 地面坐标系 46 2 火车坐标系 在非惯性系中 只要加上适当的惯性力 就仍然能用牛顿定律来解决动力学问题 47 1 7功与能 力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积 功是标量 过程量 一功 48 合力的功 分力的功的代数和 49 功的大小与参照系有关 平均功率 瞬时功率 功的量纲和单位 50 二能 能 量 衡量物体做功能力或本领大小的物理量 机械能 动能 由于物体有一定的速度而具有的能量 势能 由于物体间相对位置发生变化而具有的能量 功是能量变化的量度 三保守力非保守力耗散力 力场 假如力仅为坐标的单值的 有限的和可微的函数 则在空间区域每一点上 都将有一定的力作用着 此力和该点的坐标有关 这个空间区域叫做力场 51 在某些特殊情况下 必定存在一个单值 有限和可微的函数 使得 此时 为一恰当微分 则的值 将只由两端点的位置决定 52 力所做的功由两端点的位置决定 即与中间路径无关 保守力 如果力所做的功与中间路径无关 或者沿任何闭合路径运行一周时 力所做的功为零 这种力就叫做保守力 如 万有引力 重力 弹性力 静电力等 53 非保守力 如果力所做的功与中间路径有关 或者沿任何闭合路径运行一周时 力所做的功不为零 这种力就叫做非保守力 也叫涡旋力 如 涡旋电场的涡旋电磁力等 耗散力 做功与中间路径有关 但总是做负功而消耗能量的力 如 摩擦力 粘滞力等 四势能 保守力对质点所做的功可以写成恰当微分的形式 即在保守力场中 作用力和某标量函数之间必存在如下的关系 54 标量函数叫做质点在处的势能 势能具有相对性 势能大小与势能零点的选取有关 势能是属于系统的 保守力的功 势能是状态函数 55 判断力是否为保守力的方法 56 解 作用力是保守力 所以做功只和两端点的位置有关 57 两端点位置 58 解 此时 代入 可得 59 1 8质点动力学的基本定理与基本守恒律 一动量定理与动量守恒律 动量 时 动量定理 时 冲量 动量守恒律 60 二力矩动量矩 角动量 力矩 大小 方向 由右螺旋法则判定 相对固定点 相对固定轴 61 动量矩 角动量 相对原点 相对轴 62 三角动量定理角动量守恒律 角动量定理 分量式 63 冲量矩 角动量守恒律 分量式 例1 质点所受的力 如果恒通过某一个定点 则