离散-11-1-合成函数(1).ppt

1 P1065 设是全序集 A A 2 A A 定义 R1iffa c b dR2iffa c a c b dR3iffa cR4iffa c判断Ri是否是A A上的偏序关系 拟序关系 线序关系或良序关系 偏序关系 偏序 线序 良序 拟序关系 证 A A 是全序集 自反 必有a a b b R1 R1是自反的 如果R1且R1 则a c b d且c a d b 是全序集 反对称 必有a c b d R1是反对称的 如果R1且R1 则a c b d且c e d f 是全序集 是传递的 必有a e b f R1 R1是传递的 综上所述R1是A A上的偏序关系 吴扬扬制 2 主要内容 合成函数合成运算合成函数的性质 3 5 2函数的合成1 函数的合成运算 定理5 2 1设f X Y g Y Z 则合成关系fog是一个从X到Z的函数 并且对 x X fog x g f x 证明 首先 由关系合成定义知 fog是一个从X到Z的关系 x X f是一个从X到Y的函数 y Y 使y f x 又 g是一个从Y到Z的函数 对于上述y z Z 使z g y x X z Z 使z g y g f x 因此 fog是一个从X到Z的函数 g 2x 1 2x 1 2 函数f和g合成记作gof 例 设f R R f x 2x 1 g R R g x x2gof R R gof x g f x 4 性质 定理5 2 3设f X Y g Y Z 则 1 若f和g是满射 则gof是满射 2 若f和g是单射 则gof是单射 3 若f和g是双射 则gof是双射 证明 1 z Z g是满射 5 2函数的合成2 函数合成的性质 1 必有y Y 使得g y z 又 f是满射的 对于上述y 必有x X 使得f x y 有x X 使得gof x g f x g y z 2 x1 x2 X 若gof x1 gof x2 即g f x1 g f x2 g单射 必有f x1 f x2 又 f单射 必有x1 x2 gof单射 因此gof是满射 5 定理5 2 3的逆不成立 例 设X x1 x2 Y y1 y2 y3 Z z1 z2 f X Y f x1 y1 f x2 y3g Y Z g y1 z1 g y2 z1 g y3 z2 5 2函数的合成2 函数合成的性质 2 g非单射 但gof单射 f g非双射 但gof双射 f非满射 但gof满射 吴扬扬制 6 定理5 2 4设f X Y g Y Z 则 1 若gof满射 则g是满射的 2 若gof单射 则f是单射的 3 若gof双射 则g是满射 f是单射 证明 1 z Z gof满射 有x X 使得gof x z 即g f x z 有y f x Y 使g y z 因此 g是满射的 2 x1 x2 X 5 2函数的合成2 函数合成的性质 3 若f x1 f x2 g是函数 g f x1 g f x2 即gof x1 gof x2 gof单射 必有x1 x2 故f单射 吴扬扬制 7 例 设f A B 则foIA IBof f证明 IA A A f A B foIA A B又 f A B IB B B IBof A B x A foIA x f IA x f x IBof x IB f x f x 所以 foIA IBof f 5 2函数的合成2 函数合成的性质 4 吴扬扬制 8 作业 P1201求gof fog fof2 6 任选 吴扬扬制 9 5 1基本概念