矩阵的特征值与特征向量.ppt

1 第四章矩阵的特征值 矩阵的特征值 特征向量和相似标准形的理论是矩阵理论的重要组成部分 它们不仅在数学的各分支 如微分方程 差分方程中有重要应用 而且在其他科学技术领域和数量经济分析等各领域也有广泛的应用 如物理 力学和工程技术中的许多问在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量的问题 2 引例矩阵与向量的乘法设 4 1特征值和特征向量 3 一 矩阵的特征值与特征向量的概念 那么 这样的数 称为方阵A的特征值 非零向量 称为A的对应于特征值 的特征向量 为什么 应该是非零向量 4 二 矩阵的特征值与特征向量的求法 I A 0 det I A 0 由齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 5 特征多项式和特征方程的定义 定义4 2设A aij 为n阶矩阵 含有未知数 的矩阵 I A称为A的特征矩阵 其行列式 称为A的特征多项式 det I A 0称为A的特征方程 6 由齐次线性方程组解的性质 7 例设矩阵 求A的特征值与特征向量 三 举例 解 A的特征多项式为 所以 A的特征值为 8 即 解之得基础解系为 9 得基础解系 10 例设矩阵 求A的特征值 解 A的特征多项式为 所以 A的特征值为 特征值的计算不容易 11 例n阶对角矩阵A 上 下 三角形矩阵B的特征值都是它们的n个主对角元a11 a22 ann 因为它们的特征多项式为 I A I B a11 a22 ann 12 练习 解 13 14 15 求矩阵特征值与特征向量的步骤 1 计算的特征多项式 I A 2 求特征方程 I A 0的全部根 1 2 n 也就是A的全部特征值 3 对于特征值 i 求齐次方程组 iI A x 0的非零解 也就是对应于 i的特征向量 16 关于矩阵的特征值的几点说明 1 若n阶矩阵的特征值都是实数 则它们不一定各不相同 即矩阵的特征值可以是特征方程的重根 在计算特征值的个数时 重根按重数计算 2 k重根叫做k重特征值 17 3 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的 一个特征向量不能属于不同的特征值 如果X同时是A的属于特征值l1 l2 l1 l2 的特征向量 即有 则l1x l2x即 l1 l2 x 0 由于l1 l2 0 则x 0 而这是不可能的 18 例4设矩阵A为对合矩阵 即A2 I 且A的特征值都是1 证明 A I 由于A的特征值都是1 这说明 1不是A的特征值 19 定理1若x1和x2都是A的属于特征值l0的特征向量 则k1x1 k2x2也是A的属于l0的特征向量 其中k1 k2是任意常数但k1x1 k2x2 0 四 特征值与特征向量的性质 证由于x1 x2是齐次线性方程组 l0I A x 0的解 因此k1x1 k2x2也是上式的解 故当k1x1 k2x2 0时 是A的属于l0的特征向量 20 n c1 n 1 ck n k cn 1 cn 式可表示为2n个行列式之和 其中展开后含 n 1项的行列式有下面n个 定理4 2若n阶矩阵A aij 的n个特征值 1 2 n 21 它们的和等于 a11 a22 ann n 1 式中不含 的常数项为 22 所以 由根与系数的关系及常数项相等 得 23 矩阵的特征值和特征向量的重要性质 性质1 若l是矩阵A的特征值 x是A在属于l的特征向量 则 i kl是kA的特征值 k是任意常数 ii Lm是Am的特征值 m是正整数 iii 当A可逆时 l 1是A 1的特征值 且x仍是矩阵kA Am A 1的分别对应于特征值kl lm 1 l的特征向量 24 证 ii A Ax A lx l Ax l lx 即A2x l2x 再继续上述步骤m 2次 就得Amx lmx iii 当A可逆时 l 0 由Ax lx可得 A 1 Ax A 1 lx lA 1x 因此A 1x l 1x 故l 1是A 1的特征值 且x也是A 1对应于l 1的特征向量 25 性质2矩阵A和AT的特征值相同 证因为lI AT lI T AT lI A T 所以det lI A det lI AT 因此 A和AT有完全相同的特征值 补充性质设 是方阵A的特征值 设 a0 a1 am m 定义 A a0E a1A amAm 则 是 A 的特征值 26 因 是A的特征值 故有p 0使Ap p 证明 A p a0E a1A amAm p a0Ep a1Ap amAmp a0p a1 p am mp a0 a1 am m p p 所以 是 A 的特征值 27 因此结论成立 故 28 例设三阶矩阵A的特征值为 设矩阵 试求 1 B的特征值 2 B 令 则B的特征值分别为 解 29 例 例 40 4 2 5 30 31 定理4 3 n阶矩阵A的互不相同的特征值 对应的特征向量线性无关 32 练习题解答 3是A的一个特征值 由ATA 2I得 A 2 ATA 2I 16 但 A 0 故A可逆 且 A 4 由 A 3I 0知 练习题 设4阶方阵A满足条件 A 3I 0 ATA 2I A 0 求A 的一个特征值 33 则称A相似于B 五 相似矩阵及其性质 定义4 3设A B为n阶矩阵 若存在n阶可逆矩阵P 使得 P 1AP B 记作A B 相似与等价的关系 若两个矩阵相似 则它们一定等价 反之 两个等价的矩阵不一定相似 34 例设 矩阵P Q都可逆 可知 35 可以看出 与A相似的矩阵不是唯一的 也未必是对角矩阵 a 自反性A A b 对称性如果A B 则B A c 传递性如果A B B C 则A C 性质 设A B C为n阶矩阵 则有 对某些矩阵 如果适当选取可逆矩阵P 就有可能使P 1AP成为对角矩阵 36 1 P 1 k1A1 k2A2 P k1P 1A1P k2P 1A2P其中k1 k2是任意常数 2 P 1 A1A2 P P 1A1P P 1A2P 3 若A B 则Am Bm m为正整数 证因为A B Bm P 1AP P 1AP 存在可逆阵P使P 1AP B P 1AP P 1AmP Am Bm 4 若A B 则f A f B 其中f x anxn an 1xn 1 a1x a0f A anAn an 1An 1 a1A a0I 37 A I 只需证A与B有相同的特征多项式 由于A与B相似 所以 必有可逆矩阵P 使得 P 1AP B B I P 1 A I P 证明 定理4设矩阵A B 则A B具有相同的特征值 注 定理4的逆命题不成立 P 1AP P 1EP 38 det P 1 detA detP detA 相似矩阵性质 1 相似矩阵的行列式相等 如果A B 则detA detB 39 这说明矩阵A与B相抵 可得 r A r B 2 相似矩阵的秩相等 如果A B 则 r A r B 3 相似矩阵或都可逆或都不可逆 当它们都可逆时 它们的逆矩阵也相似 40 解 1 第二节 矩阵可对角化的条件 1 求A的特征值与特征向量 2 求可逆矩阵P 使P 1AP为对角矩阵 41 42 43 一 矩阵可对角化的条件 如果n阶矩阵A可以相似于一个n阶对角矩阵 则称A可对角化 称为A的相似标准形 是否存在可逆矩阵P 使P 1AP成为对角矩阵 所有的n阶矩阵都可对角化 矩阵可对角化的充分必要条件 定理4 5n阶矩阵A相似于n阶对角矩阵的 充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量 44 证明 设有可逆矩阵P 使得 P 1AP diag 1 2 n 令P p1p2 pn 必要性 得AP P 即 Api ipi i 1 2 n 因为矩阵P可逆 所以p1 p2 pn线性无关 它们分别是A对应于特征值 1 2 n的特征向量 45 充分性 如果矩阵A有n个线性无关的特征向量p1 p2 pn 对应的特征值分别为 1 2 n 以这些向量为列构造矩阵P p1p2 pn 即P 1AP 则P可逆 且 AP P 其中 diag 1 2 n 注 A与对角阵 相似 的主对角元是A的特征值 若不计其排列顺序 则 唯一 称 为A的相似标准形 与对角阵相似的矩阵 称为可对角化矩阵 46 定理4 6设 1 2 m是方阵A的m个 各不相等特征值 1 2 m依次是与之对应的 特征向量 则 1 2 m线性无关 证用数学归纳法 当m 1时 属于特征值 1的特征向量 1 0线性无关 设m s 1时 结论成立 设k1 1 k2 2 ks s 0 1 47 k1 1 1 k2 2 2 ks s s 0 3 由归纳法假设 1 2 s 1线性无关 所以 ki s i 0 i 1 2 s 1 但 s i i 1 2 s 1 所以必有 k1 k2 ks 1 0 k1 s 1 k2 s 2 ks s s 0 2 k1A 1 k2A 2 ksA s 0 48 推论如果n阶矩阵A有n个互不相同的特征值 1 2 n 则A与对角矩阵 相似 其中 的主对角线的元依次为 1 2 n 应注意 由n阶矩阵A可对角化 并不能断定A必有n个互不相同的特征值 例如 数量矩阵aI是可对角化的 但它只有特征值a n重 注意1 属于不同特征值的特征向量是线性无关的 注意2 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量 49 定理4 7设n阶矩阵A的相异特征值为 1 2 m A的属于 i的线性无关的特征向量为 对于矩阵A的每一个不同的特征值 i 求解齐次方程组 iI A x 0 取其基础解系 得到A的对应于 i的线性无关的特征向量 然后把它们合在一起所得向量组仍线性无关 50 有特征值 则 1 2 3线性无关 51 若矩阵A的特征值中有重根 设A的所有不同特征值 为 1 2 m m n i是A的ni重特征值 于是n1 n2 nm n 特征矩阵 iI A 的秩等于n ni 即齐次线性方程组 iI A x 0的基础解系中恰有ni个向量 52 二 矩阵对角化的步骤 设n阶矩阵A可对角化 53 则P 1AP 注意矩阵P的列与对角矩阵 元素 特征值 的关系 以这些向量为列构造矩阵 求 iI A x 0的基础解系 54 例1设有矩阵 1 问矩阵A是否可对角化 若能 试求可逆矩阵P和对角矩阵 使P 1AP 2 使P 1AP 成立的P 是否唯一 举例说明 55 解 1 矩阵A的特征多项式为 基础解系 56 基础解系 基础解系 矩阵A有三个线性无关的特征向量 所以可对角化 57 P 1AP 58 2 使P 1AP 成立的P 不唯一 如若取 则 此时 亦有P 1AP 59 例2判定下列矩阵是否相似于对角矩阵 若相似 则求出可逆矩阵P 使P 1AP是对角矩阵 使A P 1IP I 矛盾 60 2 解 61 令 62 例3设 相似于对角矩阵 求x与y应满足的条件 先求特征值 A的特征多项式为 所以A的特征值为 解 63 A相似于对角矩阵的充分必要条件是 应能找到两个线性无关的特征向量 二重特征值1 所以x y应满足的条件为 64 例4设3阶矩阵A的特征值为 对应的特征向量依次为 求A和A100 因3阶方阵A的三个特征值互不相等 A P P 1 所以A可对角化 即存在可逆方阵P 使 解 令 65 因为A P P 1 所以A100 P 100P 1 66 第三节实对称矩阵的 对角化 实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵 但实对称矩阵一定可对角化 其特征值和特征向量具有一些特殊的性质 定理4 10实对称矩阵的特征值都是实数 P 242 一 实对称矩阵特征值的性质 67 设 1 2是A的两个特征值 p1 p2分别为A的属于特征值 1 2的特征向量 于是 1p1 Ap1 2p2 Ap2 1 2 证明 定理4 11实对称矩阵A的属于不同特征值的 特征向量相互正交 因A对称 故 1p1T 1p1 T Ap1 T p1TAT p1TA 于是 1p1Tp2 p1TAp2 p1T 2p2 2p1Tp2 即 1 2 p1Tp2 0 但 1 2 故p1Tp2 0 即p1与p2正交 68 例1设有实对称矩阵 验证A的属于不同特征值的特征向量相互正交 解 可求得A的特征值为 1 2 1 3 8 属于特征值 1的全部特征向量 c1c2 0 A的属于特征值8的全部特征向量为 c3 0 69 证明 对矩阵A的阶数用数学归纳法 当n 1时 假设对任意的n 1阶实对称矩阵 结论成立 假设 1是n阶实对称矩阵A的属于 1的单位特征向量 任取以 1为第一列的正交矩阵Q1 1 R 70 A1 RTAR为 n 1 阶实对称矩阵 对于A1 存在 n 1 阶正交矩阵Q2 使得 Q3仍是正交矩阵 记Q Q1Q3 Q 1AQ为对角矩阵 结论成立 71 二 实对称矩阵对角化方法 任一实对称矩阵A都可以对角化 对A的任一ni重特征值 i 齐次方程组 iI A x 0的基础解系中必含有ni个线性无关 的向量 A的属于 i的特征向量 把这些向量正交化 单位化后 合在一起就得到 正交矩阵Q 使Q 1AQ成为对角矩阵 72 Step3将施密特正交化 再将所得正交向量组单位化 Step4令 则Q为正交矩阵 且 73 解 所以A的三个特征值为 A的特征多项式为 例2设 求正交矩阵P 使P 1AP为对角矩阵 74 75 显然 p1 p2 p3两两正交 再将把它们单位化 P为正交矩阵 76 例3设 求正交矩阵P 使P 1AP为对角矩阵 方法评注本例属于特征值有重根的情形 由于矩阵可对角化 故对于二重特征值 一定可以找到两个线性无关的特征向量 为简单起见 可直接求出两个正交的特征向量 77 A的特征多项式为 解 A的特征值为