高数复习题2009.6.doc

20082009学年度高等数学期末考试复习一向量的运算、方向余弦二函数的定义域、极限和连续（连续的定义）；1函数在点处连续是它在该点偏导数存在的：(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件答（D）2证明极限不存在证明：取不同的直线路径y=kx 沿不同的路径极限不同，故由定义二重极限不存在三直线与平面的位置关系，空间曲线的切线，空间曲面的切平面；1在椭圆抛物面上求一点，使曲面在该点处的切平面垂直于直线解：切平面法向量：n=2x,4y，1直线方向向量：s=3,-6,2 n/s，所求切点：（-3/4,3/4,27/16）2求曲线在t = 1处的切线及法平面方程 解：t = 1 时 x = 1/2 , y = 2 , z = 1 切线方程：法平面方程：3求曲面x 2 2 y 2 +2 z 2 = 1上过点（1,1,1）的切平面方程解：F= x 2 2 y 2 +2 z 2 1 Fx=2x Fy=4y Fz=4z 切平面方程为：2（x 1）4 ( y - 1) + 4 (z - 1) = 04求曲面x2+4y-z2+5=0 垂直于直线的切平面方程解：设F(x,y,z)=x2+4y-z2+5Fx=2x, Fy=4, Fz=-2z解得切点：x0=2 y0=-2 z0=-1切平面 2x+2y+z+1=05求曲面在点处的切平面和法线方程 对应的切平面法向量 切平面方程 或 法线方程 6求正数，使曲面与椭球面在某点有相同的切平面，并写出切点的坐标解：设在点处相切则即由此及，故相应点是四方向导数、复合函数求导（高阶）、隐函数求导和全微分1 求函数在点处沿方向的方向导数，其中O为坐标原点解：Gradu=2x,2y,4z ;方向导数为：2求函数在（1，1）点沿方向的方向导数3 求在点P（1,2,3）沿分别与坐标轴正向成30，45，60角的方向上的方向导数解：4函数由方程所确定，其中具有一阶连续偏导数，求解：5设z=(1+xy)x ,求dz解： 6求函数u=exyz 在点P0(1,0,-1)沿方向的方向导数其中P1的坐标为(2,1,-1)解： 因 方向导数7设u=f (x,y,z),而j(x2，ey，z)=0，y=simx 其中f , j具有一阶连续偏导数，且求 解： 由已知 =8设z=z(x , y)由解：9求函数在点(1,1,4)处沿曲线在该点切线方向的方向导数解：在点(1,1,4)处对应的t0= 1，切线方向向量1,2t,9tt=1=1,2,9cos= cos= cos= 五条件极值；1在圆的部分上找点P，使其到点M(2,1)的距离为最小解：设所求点 最小，条件极值由拉格朗日乘数法设：解出：2利用多元函数求极值的方法，求点P（1，2，-1）到直线的距离设线上一点为，令F=的唯一解故3利用拉格朗日乘数法，求椭圆抛物面z=x2+2y2到平面x+2y-3z=2的最短距离解：点到平面的距离取目标函数条件函数：解出驻点：六二重积分的计算（直角坐标和极坐标）；1设是连续函数，改变二次积分的顺序.解: 2更换积分次序：3计算二次积分解： D：1x3 x-1y2改变积分顺序，得：0y2, 1xy+1 、4计算 I=D：y = x +1, y = x/2 , y = 0, y = 1 所围成 解：I=5 利用二重积分求不等式r2cosq, r1所表达的区域的面积 解法一：利用直角坐标解法二：利用极坐标6 计算二重积分其中：x2+y21解：原积分7利用极坐标计算解：yx七第一类曲线积分，第二类曲线积分，格林公式、积分与路径无关；1计算曲线积分式中由极坐标方程所表示的曲线上从到的一段解：积分与路径无关，选择沿坐标轴由点(2,0)到(0,1)原积分2设都是具有二阶连续偏导数的二元函数，且使曲线积分与都与积分路径无关试证：对于函数，恒有3计算积分 式中L是从点O(0，0)沿曲线y=sinx到点A(，0)的弧段八第一类曲面积分，第二类曲面积分，高斯公式；1设空间区域由曲面和平面所围，为的表面外侧，求：解：原积分2计算，其中为球面的外侧解：由高斯公式，原积分3计算其中是z=1x2y2在xoy面上方的部分曲面的上侧解：补一平面块1：z=0,x2+y21，取下侧，和1围成立体，由高斯公式4 计算 I：是柱面x2 + y2 = 1被平面z=0,z=3所截得的在第一卦限的部分的前侧解：I=九常数项级数的收敛性，绝对收敛和条件收敛十幂级数的收敛域与和函数1试求幂函数的收敛域及和函数解：收敛x=1与x=-1时数项级数一般项不趋于0，故皆发散，收敛区间为(-1,1)设和函数S(x)= 2 求幂级数的收敛区间及和函数3求幂级数的收敛区间与和函数解：，收敛区间为 设，则故的和函数为4求幂级数的收敛区间与和函数解：收敛区间为设，故5求幂级数的收敛域当x=1时，是绝对收敛还是条件收敛？并给出证明解：收敛