直线的倾斜角和斜率的教学设计.doc

直线的倾斜角和斜率的教学设计一、内容和内容解析内容：解析几何介绍，直线的倾斜角和斜率。本课是解析几何第一课时，解析几何的基本思想和方法都应当得到适当的体现，因此教学内容不仅有倾斜角、斜率的概念，还应当包含坐标法、数形结合思想、解析几何发展史等。直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度才，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示。建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。本课涉及两个概念倾斜角和斜率。倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的条件最本质条件是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。综上，从解析几何的基本方法坐标法的基本思想考虑，斜率概念的构建是本课时的核心。本课的教学重点是：使学生经历几何问题代数化的过程，初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法；理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。二、目标和目标解析1理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。2理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。3通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。三、教学问题诊断分析平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向，这与一个点和直线的方向确定一条直线是一致的”。在教学中应注意引导学生建立这种联系。由于学生还没有系统学习三角函数，所以要求学生利用补充的公式对倾斜角和斜率的关系进行研究，并猜想出一般的结论，是比较困难的。函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。它们都体现了数形结合思想，但角度不同。学生知道一次函数的图象是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数。因此在教学时要注意澄清二者的不同。基于上述分析，确定本课时的教学难点：直角坐标系下刻画直线的几何要素的认识倾斜角概念的形成；用坐标刻画倾斜角的方法斜率概念本质的认识。四、教学支持条件分析可以借用几何画板动态演示坐标系下确定直线的几何要素，倾斜角的变化与斜率变化之间的关系等。借助实物展台展示学生的研究方法和计算过程。五、教学过程设计（一）引言1.坐标法的引入问题1:如图，在一张正方形图纸上画有一个平面图形, 请同学们思考，你能在另一张同样大小正方形图纸上准确地作出这一平面图形吗？你会怎么做？作图过程会有怎样的困难？为什么？问题2:如图2，若把图1中正方形图纸改为方格纸呢？ 图1 图2设计意图1：本节我们将开始学习一门全新的几何解析几何，它试图用代数的方法来研究几何图形的性质,那如何实现呢？请大家先通过活动体验并思考用什么工具来沟通代数与几何的联系？设计意图2：通过活动，让学生感悟方格纸的介入的本质是坐标系的介入，有了直角坐标系，便实现了平面内任一点与有序实数对的一一对应，进而坐标系便成为沟通代数与几何的桥梁。点是组成几何图形的基本要素，点动成线，线动成面，面动成体，线、面、体都是不同的点的集合，因此抓住“点”是研究图形的关键。 2.解析几何的产生一段传说：笛卡尔梦悟直角坐标系笛卡尔（15961650）是法国伟大的数学家。1614年11月10日晚，笛卡尔躺在床上久久不能入睡。忽然，他看到天花板上一只小虫缓慢而笨拙地在走着弯弯的路。他突发奇想：虫与点、点与线、形与数、快与慢、动与静。他似乎悟出了其间的奥秘，但又茫然而不可思议。他昏昏然进入了梦乡。睡梦中，思考仍在继续，终于一个伟大的灵感在睡梦中产生了。笛卡尔找到了一种方法，即建立坐标系，用坐标表示点的位置，这种方法可以把几何语言“翻译”成代数语言，从而几何问题可以用代数方法求解，这就是今天的解析几何方法（简称为解析法）。一个伟大的创造几何与代数这一历史鸿沟的填平，竟然产生于一梦之间。解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马共同创立的。解析几何的创立是数学发展史上的一个重要的里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础之一。本课时我们将研究最基础的知识直线的倾斜角和斜率，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。（二）倾斜角概念的形成的必要性与合理性问题1：平面几何中，确定直线的条件是什么？对于平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由哪些条件确定呢？设计意图：引导学生复习初中学过的相关知识，寻找本课时学习内容的固着点、生长点。）预设的回答：两点确定一条直线。于是新课引入中的四边形可以带来六条直线（如图3）我们开始研究直线，怎么办？（让坐标系介入如图4）进一步聚焦直线（如图5） 图3 图4 图5 图5的出现目的为与教材中图3.1-2的统一，进而开始研究直线的倾斜角）问题2：在直角坐标系内任给一个点，过这个点的直线有无数条。再给一个什么条件就可以唯一确定一条直线呢？请动手操作一下。预设的回答：可能会有“与轴的交角”“与轴的交角”等。启发性讲解：（借助于信息技术演示）可以发现，过一个点的直线有无数条，再借助坐标轴，给定直线与坐标轴的交角，那么直线就唯一确定了。一般的，我们以水平线轴为基准，这也符合我们日常表示物体倾斜程度的习惯。由教师给出直线的倾斜角的定义，指出倾斜角的意义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角（angleofinclination）图3.1-2直线的倾斜角为锐角，直线的倾斜角为钝角。当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为。（这个定义可否这样给出：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的最小正（这三个字是否添加要看必修教材教学的顺序，如果是12345的顺序，就不需要添加“正”字，如果是14523的顺序，则需要添加）角叫做直线l的倾斜角（angleofinclination ）当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为，因此直线的倾斜角的取值范围为（这样做的原因是，定义简洁，自明，惟一，可以根据定义进行判断，而不需要用图形对定义进行补充说明。）追问：由定义，倾斜角的范围是什么？设计意图：在定义的形成过程中主要上针对个别条直线，研究的重点是定义的形成，通过这个问题引导学生研究所有直线与其倾斜角的关系，将定义具体化，全面化，同时得到倾斜角的意义。倾斜角的意义：平面内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不等。因此，直线的倾斜角表示平面内一条直线的倾斜程度。（三）斜率概念的形成的必要性与合理性问题3日常生活中我们经常遇到上坡下坡之类的问题，你知道哪些表示倾斜程度的量吗？这些量与倾斜角有关系吗？设计意图：了解学生的知识经验，并引导学生建立坡度与倾斜角的关系。）活动方式：先由学生在回忆的基础上做答，教师收集整理，挑选其中合理的成份。之后再在学生回答的基础上引导学生建立这个量与倾斜角之间的关系。）预设的复习答案：可以用坡度表示斜坡的倾斜程度，如图，有坡度（比）=坡度与倾斜角的关系预设的答案：如图3所示是斜坡的主视图，可见，斜坡可以抽象为一条直线，它关于水平面的倾斜角记为，那么这里的坡度（比）实际就是“倾斜角的正切值”。小结讲授：把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（slope）。斜率常用小写字母表示，即。因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。问题4 ：直线倾斜角概念的形成，我们已经可以用它刻画直线的倾斜程度，为什么还要引进直线的斜率概念？设计意图：让学生再次感受解析几何的本质是用代数的方法来研究几何图形的性质，而解析几何之代数法的本质是坐标法，于是必须完成直接用坐标去刻画直线的倾斜角，这将面临很大的困难与障碍。引进斜率概念之后，便迎刃而解。问题5 ：为什么用直线倾斜角的正切值表示斜率？而不用正弦值或余弦值？它的合理性如何解读?设计意图：存在必须是合理的，启发学生从不同的角度去阐述选择正切的合理性。让学生放手探究，畅所欲言（四）直线斜率的坐标计算法问题6：确定直线的两个条件点和倾斜角（或斜率）中的点可以用坐标表示，倾斜角已经代数化为斜率。在引言中已经谈到，解析几何的基本方法就是坐标法，因此要利用倾斜角和斜率对直线进行进一步的代数化的研究必须建立斜率的坐标表示方法。根据斜率定义的过程，你能否将坡度进一步坐标化，在此基础上求出斜率的坐标表示？设计意图：逐步实践坐标法。活动方式：先由学生初步坐标化，教师引导分类求解。原问题转化为：给定两点P1(x1,y1), （其中）的坐标，求出直线的斜率分析：解决这个问题需要分类求解，首先是对于特殊直线，与x轴垂直或平行（重合）的直线进行分析求解。对于其他直线分类的依据是两点在直线上位置以及直线的倾斜角是锐角还是钝角。所以二级分类共得到四种不同的情况，如图6所示，分类求解。 图6解决的具体思路是：先就图6（1）求解，再变式为图6（2），比较异同求解；之后就图6（3）求解，再变式为图6（4），类比求解。活动结果：综上所述，我 们得到经过两点的直线的斜率公式是：。追问：上述公式的适用范围是什么？与所取的点的坐标是否有有关，与所取点的先后顺序是否有关？设计意图：辨析公式。（五）应用理解例1如图，已知（1） 求直线的斜率；（2） 直线过点与线段相交，求直线斜率的取值范围。设计意图：充分利用引例中的图形设置问题，巩固本课时所学的基本知识。（六）小结通过本节课的学习你有哪些收获？可以从知识，方法，数学思想，经验等方面谈谈。预设的回答：知识方面：倾斜角的定义，斜率的定义和利用坐标求斜率的公式及其适用范围；方法：坐标法；数学思想：数