矩阵方程AXB_C的几类特征解.pdf

文章编号 100426410 2010 0120011205 矩阵方程AXB C的几类特征解 赵展辉 谢 谏 广西工学院 信息与计算科学系 广西 柳州 545006 摘 要 研究矩阵方程AXB C的对称 反对称最小二乘解 以及P正交对称 P正交反对称最小二乘解 利用矩阵 对的广义奇异值分解 分别给出这些最小二乘解的表达式 由此进一步得到该矩阵方程相容的充分必要条件以及解 的表达式 关 键 词 矩阵方程 P正交对称 P正交反对称 最小二乘解 中图分类号 O175 13 文献标志码 A 收稿日期 2009 09 05 基金项目 广西工学院科学基金 0704110 资助 作者简介 赵展辉 研究方向 矩阵理论 应用微分方程 E mail gxzhaozhanhui 0 引言和引理 设Rn m表示所有 n m实矩阵集合 I表示单位矩阵 A T 表示矩阵A的转置矩阵 分别用SRn n ASRn n ORn n SORn n表示对称矩阵 反对称矩阵 正交矩阵和对称正交矩阵的集合 A3B表示矩阵的 Hadamard积 矩阵A的秩记为r A 定义 设P SORn n X Rn n 若 PX T PX 称X为P正交对称矩阵 所有P正交对称矩阵的集 合记为Rn n PS X X Rn n PX T PX 若 PX T PX 称X为P正交反对称矩阵 所有P正交反 对称矩阵的集合记为Rn n A PS X X R n n PX T PX 若A Rn n 本文中矩阵A的范数都取为Frobenius范数 即 A n i j 1 a2ij 显然 若A Rn n 则 A tr A T A tr AA T 此处tr表示方阵的迹 同时 是正交不变的矩阵范数 即 U V ORn n UAV A 矩阵方程是线性代数的重要研究领域之一 文献 1 研究了一个来源于振动理论反问题的矩阵方程的最 小二乘问题 对于 SRn n P A R A T A PA T PA 的矩阵集合 研究了矩阵方程A T XA D的最小二乘解并利用奇异值分解 SVD 给出了这两类最小二乘问 题的通解 文献 2 研究了矩阵方程B T XB F的双对称最小二乘解 文献 3 研究了矩阵方程AX B的逆 特征值双对称矩阵的最小二乘解 对于矩阵方程AXB C也有很多人研究 已经找到了这个方程的解存在的充分必要条件及其表达式 其中Ben I A Greville 4 和Mitra 5 利用矩阵的广义逆分别得到了矩阵方程AXB C存在一般解和对称半 正定解的充要条件 在一般情况下 这些方法在某些特殊的矩阵子空间 比如说SRn n 内解诸如AXB C 这样的矩阵方程有点困难 而且解的表达式比较复杂 关于各种矩阵方程的解的研究成果还有许多 可参考 论文中所列的文献 4 7 及其引用文献 利用矩阵对的广义奇异值分解 研究矩阵方程 AXB C 1 第21卷 第1期 广 西 工 学 院 学 报 Vol121 No11 2010年3月 JOURNAL OF GUANGXI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Mar12010 的对称 反对称最小二乘以及P正交对称和P正交反对称最小二乘解 给出这些最小二乘解的相应表达式 并由此给出矩阵方程AXB C相容的充分必要条件以及解的表达式 即研究如下4个问题 问题 求矩阵方程 1 的对称最小二乘解 即求X SRn n 使得 AXB C min 问题 求矩阵方程 1 的反对称最小二乘解 即求X ASRn n 使得 AXB C min 问题 求矩阵方程 1 的正交对称最小二乘解 即求X Rn n PS 使得 AXB C min 问题IV 求矩阵方程 1 的正交反对称最小二乘解 即求X Rn n A PS 使得 AXB C min 为给出本文的主要结论 先给出以下几个引理 引理1 设 D1 diag 1 2 n 0 D2 diag 1 2 n 0 及矩阵E e ij R n n 则问 题 D1GD2 E 2 min在SRn n中存在唯一解 G g ij 13 D1ED2 D2ETD1 其中 1 ij ij 1 2 i 2 j 2 j 2 i i j 1 2 n 证明 设 h G D1GD2 E 2 1 i 0 及矩阵E e ij R n n 则问题 D1G E 2 min在 SRn n中存在唯一解 G gij G 13 D1E ETD1 其中 1 ij ij 1 2 i 2 j i j 1 2 n 2 设D2 diag 1 2 n 0 及矩阵E e ij R n n 则问题 GD2 E 2 min在SRn n中 存在唯一解G g ij G 13 ED2 D2ET 其中 1 ij ij 1 2 i 2 j i j 1 2 n 推论2 设矩阵E e ij R n n 则问题 G E 2 min在SRn n中存在唯一解 G g ij G E ET 2 引理2 设D1 diag 1 2 n 0 D2 diag 1 2 n 0 及矩阵E e i j Rn n 则问 题 D1GD2 E 2 min在ASRn n中存在唯一解 G g ij 13 D1ED2 D2ETD1 其中 1 ij ij 1 2 i 2 j 2 j 2 i i j 1 2 n 证明方法与引理1类似 这里从略 引理3 8 9 设A Rm n B Rn p 则矩阵对 A B T 有广义奇异值分解 A U AM B T V BTM 其中 U ORm m V ORp p M为可逆矩阵 A Rm n BT Rp n有如下形式 21广西工学院学报 第21卷 A Ir SIO O1 r s m r s 2 BT O2 S2O It r s p r t s t r s 3 这里 S1 diag 1 s 0 S diag 1 s 2 i 2 i 1 1 i s r r A T B r B T t r AT B s r A r B T r A T B Oi是方阵 引理4 问题 有解的充要条件是存在X SRn n 使得 APXB C min 问题 有解的充要条件 是存在X ASRn n 使得 APXB C min 1 主要定理及证明 设矩阵对 A B T 的广义奇异值分解如 2 3 所示 令M M 1 M2 M3 M4 T 其中M1 Rn r M2 Rn s M3 Rn m r s M4 Rn n m 令X SRn n是问题 的解 记Y MXM T Y ij 4 4 即 Yij M T iXMj i j 1 2 3 4 4 由于X SRn n 所以Y SRn n 故YTij Yij i j 1 2 3 4 再将实正交矩阵U V分别按 A 和 B T 的行分块方式分块为U U 1 U2 U3 和V V 1 V2 V3 并令 U T CV C11C12C13 C21C22C23 C31C32C33 5 即Cij U T iCVj i j 1 2 3 定理1 设A Rm n B Rn p C Rm p 矩阵对 A B T 的广义奇异值分解如 2 3 所示 MXM T 和U T CV如 4 5 所示 则问题 有解 解的表达式为 M 1 Y11C12S 1 2 C13Y14 S 1 2 CT12Y22S 1 1 C23Y24 CT 13 CT 23S 1 1 Y33Y34 Y14YT24YT34Y44 6 其中 Y22 13 S 1C22S2 S2CT22S1 1 ij ij 1 2 i 2 j 2 j 2 i i j 1 2 s Y11 Y33 Y44分别 是r阶 t r s 阶对称矩阵 Y14 Y24 Y34分别是r n t s n t t r s n t阶的任意 矩阵 证明 由引理3及 4 5 两式 利用Frobenius范数的正交不变性 有 AXB C 2 AMXM T T BT U T CV 2 AY TBT U T CV 2 Ir SIO O1 Y11C12S 1 2 C13Y14 S 1 2 CT12Y22S 1 1 C23Y24 CT 13 CT 23S 1 1 Y33Y34 Y14YT 24 YT 34 Y44 O2 S2 It r s O C11C12C13 C21C22C23 C31C32C33 2 C11Y12S2 C12Y13 C13 C21S1Y22S2 C22S1Y23 C23 C31 C32 C33 2 C11 2 C21 2 C31 2 C32 2 C33 2 Y12S2 C12 2 Y13 C13 2 S1Y22S2 C22 2 S1Y23 C23 2 31 第1期 赵展辉等 矩阵方程A XB C的几类特征解 上式右边达到最小 当且仅当矩阵Y12 Y13 Y22 Y23应满足 Y12S2 C12 2 min Y13 C13 2 min S1Y23 C23 2 min 7 S1Y22S2 C22 2 min 8 由 7 得 Y12 C12S 1 2 Y13 C13 Y23 S 1 1 C23 9 对于 8 由引理1可得 Y22 13 S 1C22S2 S2C T 22S1 10 其中 1 ij ij 1 2 i 2 j 2 j 2 i i j 1 2 s 而 6 可由 5 9 10 获得 证毕 由定理1的证明过程 不难看出 矩阵方程 1 有解当且仅当 AXB C 0 而此等式等价于矩阵 C11Y12S2 C12Y13 C13 C21S1Y22S2 C22S1Y23 C23 C31 C32 C33 0 因而C11 C21 C31 C32 C33全部为零矩阵 且 S 1 1 C22S 1 2 Y22 YT 22 S 1 2 CT 22S 1 1 11 记S S 1 1 S2 再利用 5 条件 11 等价于 CV1 0 U T 3C 0 S 1 U T 2CV2 S U T 2CV2 T 12 在 12 成立时 矩阵方程 1 的精确解可表示为 X M 1 Y11C12S 1 2 C13Y14 S 1 2 CT 12 S 1 1 C22S 1 2 S 1 1 C23Y24 CT 13 CT 23S 1 1 Y33Y34 YT14YT24YT34Y44 M T 1 13 推论3 矩阵方程 1 有解X SRn n的充要条件为 CV1 0 U T 3C 0 S 1 U T 2CV2 S U T 2CV2 T C11 C21 C31 C32 C33全部为零矩阵 此时通解表达式为 13 式 其中Y11 Y33 Y44 Y14 Y24 Y34如定理1 所述 类似定理1及其推论 只要注意到X ASRn n 则Y ASRn n 即YTij Yji i j 1 2 3 4 一样得 到关于问题 的解 定理2 设A Rm n B Rn p C Rm p 矩阵对 A B T 的广义奇异值分解如 2 3 所示 MXM T 和U T CV如 4 5 所示 则问题 有解 解的表达式为 M 1 Y11C12S 1 2 C13Y14 S 1 2 CT12Y22S 1 1 C23Y24 CT 13 CT 23S 1 1 Y33Y34 YT 14 YT 24 YT 34 Y44 M T 1 14 其中 Y22 13 S1C22S2 S2CT22S1 1 ij ij 1 2 i 2 j 2 j 2 i i j 1 2 s Y11 Y33 Y44分别是 r阶 t r s 阶 n t 阶反对称矩阵 Y14 Y24 Y34分别是r n t s n t t r s n t 阶的任意矩阵 推论4 矩阵方程 1 有解X ASRn n 的充要条件为 CV1 0 U T 3C 0 S 1 U T 2CV2 S U T 2CV2 T C11 C21 C31 C32 C33全部为零矩阵 此时通解表达式为 M 1 Y11C12S 1 2 C13Y14 S 1 2 CT12S 1 1 C22S 1 2 S 1 1 C23Y24 CT 13 CT 23S 1 1 Y33Y34 YT14 YT24 YT34Y44 M T 1 41广西工学院学报 第21卷 其中Y11 Y33 Y44 Y14 Y24 Y34如定理2所述 设矩阵对 AP B T 的广义奇异值分解也形如 2 3 利用引理4 类似上述定理及推论不难得到以下 的定理 定理3 设A Rm n B Rn p C Rm p矩阵对 AP B T 的广义奇异值分解如 2 3 所示 MXM T和 U T CV如 4 5 所示 则问题 有解 解的表达式为 PM 1 Y11C12S 1 2 C13Y14 S 1 2 CT 12 Y22S 1 1 C23Y24 CT13CT23S 1 1 Y33Y34 Y41Y42Y43Y44 M T 1 15 其中 Y22 13 S 2C22S2 S2C T 22S1 1 ij ij 1 2 i 2 j 2 j 2 i i j 1 2 s Y11 Y33 Y44分别是r 阶 t r s 阶 n t 阶对称矩阵 Y14 Y24 Y34分别是r n t s n t t r s n t 阶 的任意矩阵 推论5 矩阵方程 1 有解X Rn n PS 的充要条件为 CV1 0 U T 3C 0 S 1 U T 2CV2 S U T 2CV2 T C11 C21 C31 C32 C33全部为零矩阵 此时通解表达式为 X PM 1 Y11C12S 1 2 C13Y14 S 1 2 CT12S 1 1 C22S 1 2 S 1 1 C23Y24 CT13CT23S 1 1 Y33Y34 YT 14 YT 24 YT 34 Y44 M T 1 其中 Y11 Y33 Y44 Y14 Y24 Y34如定理3所述 定理4 设A Rm n B Rn p C Rm p矩阵对 AP B T 的广义奇异值分解如 2 3 所示 MXM T和 U T CV如 4 5 所示 则问题 有解 解的表达式为 P 1 M 1 Y11C12S 1 2 C13Y14 S 1 2 CT 12 Y22S 1 1 C23Y24 CT13 CT23S 1 1 Y33Y34 Y41Y42Y43Y44 M T 1 16 其中Y22 13 S1C22S2 S2CT22S1 1 ij ij 1 2 i 2 j 2 j 2 i i j 1 2 s Y11 Y33 Y44分别是r 阶 t r s 阶 n t 阶反对称矩阵 Y14 Y24 Y34分别是r n t s n t t r s n t 阶的任意矩阵 推论6 矩阵方程 1 有解X Rn n A PS的充要条件为 CV1 0 U T 3C 0 S 1 U T 2CV2 S U T 2CV2 T C11 C21 C31 C32 C33全部为0矩阵 此时通解表达式为 PM 1 Y11C12S 1 2 C13Y14 S 1 2 CT 12 S 1 1 C22S 1 2 S 1 1 C23Y24 CT13 CT23S 1 1 Y33Y34 YT 14 YT 24 YT 34 Y44 M T 1 其中Y11 Y33 Y44 Y14 Y24 Y34如定理4所述 下转第19页 51 第1期 赵展辉等 矩阵方程A XB C的几类特征解 Homoclinic periodic solitary wave solutions for 2 1 D nonlinear Schr o dinger equation ZHANG Ming2jun1 Liu Xian2qiu2 1 Department of Information and Computing Science Guangxi University of Technology Liuzhou 545006 China 2 Mechanical Engineering Teaching and Research Section 95275 Army Liuzhou 545006 China Abstract This paper discusses exact solution for the 2 1 D nonlinear Schro dinger equation Through the Hi2 rota transformation 2 1 D nonlinear Schro dinger equation is transformed into its bilinear form We use the extended homoclinic testing techniques to consider this bilinear form to obtain the homoclinic periodic solitary wave solutions for the original equation and study the structure of this solution Key words bilinear form extended homoclinic test techniques homoclinic period 责任编辑 李彦青 上接第15页 参 考 文 献 1 Dai H Lancaster P Linear matrix equation from an inverseproblem of vibration theory J Linear Algebra App1 1996 246 312 47 2 廖安平 自中治 矩阵方程BTXB F的双对称最小二乘解 J 计算数学 2002 24 1 9220 3 谢冬秀 张磊 胡锡炎 一类双对称矩阵反问题的最小二乘解 J 计算数学 2000 22 1 29240 4 Ben I A Greville Generalized Inverses Theory and Application M New York John Wiley 1974 5 Mitra S K The matrix equationsAX C XB D J Linear Algebra Application 1984 59 1712181 6 Liao A P Lei Y Yuan S F The matrix nearnessproblem for symmetric matrices associated with the matrix equation ATXBT C D J Linear Algebra and its Applications 2006 418 9392954 7 Meng CJ Hu X Y Zhang L The skew2symmetric orthogonal solutions of the matrix equationAX B J Linear Algebra and its Applications 2005 402 3032318 8 Charles F Van Loan Generalizing the singular value decomposition J Siam J Numer Anal 1976 13 1 76283 9 Paige C C Saunders M A Towards a generali