近世代数期末考试试卷及答案

ff近世代模试题三一、单项选择题(本大题共5题，每小题3分，共15)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6阶有限群的任何子群一定不是（A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）ABC{2,3,4,6,12},|（整除系D、5设S3＝{(1)(12)(13)(23)(123)(132)}那么在S3中可以与123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二填空题(本大题共10小题每空3分共30)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是-------的。2、如果是与A间的一一映射a是一个元，则

f

----------。3、区间[1，2]上的运算b,b}的单位元是-------。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。5、环Z零因子有-----------------------86、一个子群H的右、左陪集的个数----------7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的--------。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为的-----------。9中元的阶am在整除关系为-------。/

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S，SA的子环，则S∩S也是子环。S+S也是子环吗？1212123、设有置换

，

(234)(456)

。1．2．确定置奇偶性。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第小题15分，共分）1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=-1充分必要条件是=a=。近世代模试题三

参考答一、单项选择题(本大题共5题，每小题3分，共15)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二填空题(本大题共10小题每空3分共30)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一2；3、；424；5、

；6、相等7、商群8、特征；9、

n

；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共分）1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意∈S1∩S2有a-b,abS1∩S2：因为S1，S2是A的子环，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，/

因而a-b,ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解：1．，

(16524

；2．两个都是偶置换。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第小题15分，共分）1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a

0

，由理想的定义

，因而R的任意元

这就是说=R，证毕。2、证必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a-1。————————————————————一判题每小题2,共20分1.实集R关于数的乘法成群2.若H是群G的个非空有限子集群3.循群一定是交换群（）4.素阶循环群是单群（）

（）,H都abH成则H是G的一个子（）5.

设

是有限群，

aGn是的阶，若

ak

，则

k

.（）6.设

f

是群

到群

的同态映射，

H

是

的子群，则

f

是

的子群（）7.交群的子群是正规子群.

（）/

552238.设

是有限群，

H

是

的子群，则

G|H

.（）9.有域的特征是合数（）10.整环

Z

的全部理想为形如

nZ

的理想（）二选题每小题3,共15分11.下的代数系统

中）是.A.G整数集合，法B.G偶数集合，法C.G有理数集合，法D.G整数集合，法12.设是G的群且有陪集分类

aH,bH,cH果H的阶为6那么

的阶

G

（）A.6；B.24；C.10；D.12.13.设

3是A.1；B.2；；D.4.14.从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是（）A.G=（a）与G的子群；B.整数加法群与模n的剩余类的加法群；C.变换群与置换群；D.有理加法群模15.整环Z中可逆元的个数(。A.1个B.2个C.4个D.无个

的剩余类的加法群.三填题每小题3,共15分16.如G是体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群，则这个群单位元是17.n对称群S的是___________.n18.整加法群

Z

关于子群

nZ

的陪集为.19.设

是

的正规子群，商群

中的单位元是。20.若

R

是交换环,

则主理想

____________.四计题第21小题8,第22小12，共20)21令

323/

，

4242

2345

，计算

.22.设

H{(1),

是3次对称群的群求H的有左陪集和右陪集并3明H是是的规群.3五证题每题10分共30分)23.设是群，H是G子群，证明：，则aHa也是子群24.设

是群，

H

是

的正规子群

关于

H

的陪集的集合为

|}

，证明：

/H

对于陪集的乘法成为一个群，称为

对

H

的商群25.证：域

F

上全体

n

矩阵的集合

M

在矩阵的加法和乘法下成为环.一判题每小题2,共20分1-10××√√√√√×√二选题每小题3,共15分11.；12.B；13.；B；15.三．空

(每小题3分共15分16.1；17.n!18.

nZ

19.

；20.

aR

.四计下各(第小题8分,22小题12分，共分)21.解：

34541

，

4

22.解：H的有左陪为H{(1),(123),(132)}，{(12),(13),(23)}H的所有右陪集为

；

H{(1),

，

H

/

对

3

，有

H

，即

H

是正规子群

分五证题每题10分共30分)23.证明因为

H

是

的子群，对任意

x,H

，有

H

.

由题意，对任意

x,H

，有

,

a

axy

，即

aHa

也是子群.

分24.证明：先

对于上述乘法是封闭的，且乘法