数学竞赛讲义之行程问题(Ⅲ).doc

奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编数学竞赛讲义之行程问题()5、多车相遇例72、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？例题求解：我们知道，一辆车走完全程需要15分钟，所以一辆车刚发出时，途中有15512辆车所以当某人骑车出发，而甲站恰发车时，在途中有两辆车子，可以相遇，所以共相遇10辆车，于是又发车8辆相遇，恰到达时，又发车，于是发车9辆时，甲到达，即有8个时间间隔，时间为5840分钟。所以某人骑完全程时间为40分钟。例73、某人沿电车路线行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔。例题求解：我们知道两辆电车的间隔相等，两次相遇期间，共行走了(行人+电车)4，所以两辆电车的间隔为(行人+电车)4，于是两辆车间隔时间为；两次追击期间，共行走电车12，行人走了行人12，所以电车行走了(电车行人)12，两辆电车的间隔为(电车行人)12，于是两辆车的间隔时间为。于是，有，所以(行人电车)3(电车行人)有电车2行人，带入，有间隔6分钟。例题评析：此题关键是注意还原求出两车情况。例74、从电车总站每隔一定时间开出一辆电车，甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车，那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？例题求解：我们画出示意图；我们假设甲、乙、电车共同相遇在A点，甲、电车下一次相遇在C点，乙、电车相遇在B点。则B距A点距离为BA60615米； C距A点距离为CA8210820米。所以BC两点相距的路程需电车10分钟15秒10分钟15秒分，路程为820615205。 于是，电车的速度和为205820米/分。于是，当10分钟前与甲、乙相遇的电车离甲(82082)109020米远两电车间隔为9020。所以发车间隔为9020820=11分。柳卡问题：这是一个著名的数学问题，由法国数学家柳卡在19世纪一次数学大会上提出：每天中午由一艘轮船从法国巴黎的勒阿佛尔开往美国纽约，且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔。轮船在途中都需要七天七夜。假定所有轮船都以同一速度、同一航线行驶。问某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在到达纽约时，能遇到几艘从纽约开来的轮船？后来，一位数学家画出了“路程图”(运程图)，才得以解决。 中途13艘，首尾2艘，共15艘。Excel的解法：这个题目用不着计算，只需在Excel上作图，将相关信息表示出来，结果自然就明白了。作图过程可以充分利用Excel的“粘贴”、“复制”功能，数列“0、1、2、3、4、5、6、7”和数列“7、6、5、4、3、2、1、0”的设置只是举手之劳。从图上可以看出，在某轮船开出的前7天，纽约港已有7艘轮船驶入航程，加上当天的一艘，共计8艘。之后，纽约港每天还有1艘轮船驶入航程，共计7艘。这样，从勒阿佛尔港驶出的轮船，在整个运行过程中，将要和本公司的15艘轮船相遇。从图上看，当中一列（蓝色）共有16行相交，除去哈佛港当天自己开出的一列（红色），相交数也是15。例75、一条双向铁路上有11个车站。相邻两站都相距7千米，从早晨7时开始，有18列货车由第11站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第1站，速度都是每小时60千米。早晨8时，由第1站发出一列客车，向第11站驶去时速是100千米，在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一站。问：在哪两个相邻站之间，客车能与3列货车先后相遇？例题求解：图象法：我们画出示意图，利用示意图来求解，但是要求图象一定的精确度，所以，我们一般使用图象法与分析法结合使用，对有可能的情况分析。通过上图(我们最好画出清晰图)，我们知客车在第5、6两站遇见三辆货车。分析法：客车从一个车站走到下个车站所需时间为： 710060分钟。所以客车到第一站的时间为;第一站：8时0分；第二站：8时分；第三站;8时分；第四站：8时分；第五站：8时分；第六站：8时21分；第七站:8时分；第八站：8时分；第九站：8时分；第十站：8时分；第十一站：8时42分。而客车出发时，第一辆货车距它：10760110千米。所以，客车与第一辆相遇为8时10(10060)60分。相邻两货车间距为：605605千米。所以，客车经过两辆货车的时间间隔为：5(1006)60分。则客车与18辆货车相遇时间顺次为：8时分；8时分；8时分；8时分；8时分；8时分；8时15分；8时分；8时分；8时分；8时分；8时分；8时分；8时分；8时30分；8时分；8时分；8时分。所以，客车在8时分到达第五站，8时21分到达第六站。在此期间，它于8时分；8时分；8时分三次与货车相遇。所以，是在第5、6两站间，客车三次与货车相遇。例76、长途汽车有甲、乙两个终点站，汽车要用4时才能驶完全程。从上午6点开始，每隔1时从甲、乙两站同时发出一辆公共汽车，最后一班车在下午4点发出。问：从甲站发车的汽车司机最多能看到几辆迎面驶来的公共汽车？最少能看到几辆？例题求解：如下图所示，实线段表示从甲站开往乙站的车，虚线段表示从乙站开往甲站的车，交点表示相遇。最多9辆，最少5辆。例77、由A、B、C、D、E五名小学生进行马拉松比赛。不管前半程怎样，当他们从折返点返回跑后前半程时，每人的速度都是固定不变的。他们三位朋友X、Y、Z分别在不同时间给五个人拍了一张纪念照。最先拍的是X，然后是Y，最后按快门的是Z。照片洗出后他们分别这样说：X：“我是在他们返回跑了10分钟后照的，当时五人的顺序是A、B、C、D、E，而且他们的间隔相等，都是20m。”Z：“我是在他们返回跑了30分钟后照的，当时五人的顺序是B、E、C、A、D，而且他们的间隔相等，都是30m。“Y：“我是什么时候照的，自己也每记住，不过我照的时候他们的间隔也相等。“问：“Y是在他们返回跑了几分钟时照的？例题求解：我们先用下图表示一下5个人顺序的变化。从左图中可以看出，A、C、E经常处于间隔相同的状态，当A正好在B和C正中间时，E也正好在C和D的正中间，因此5人中的间隔是相同的。为了分析这个时间，我们在两侧B和C的正中间画上一条线来表示，如右图当此线和A线相交时，A就在B和C的正中间，所以我们可以求出这个时刻。这时，图中的两个阴影部分的三角形是相似形。因此。两个三角形的对应边的比(相似比)是30m：60m1：3。所以，m：n=1：2。5人的间隔相同。也就是说，Y在他们返回来回跑了16分40秒后照的。巩固练习习题13、某人沿着电车道旁地便道以4.5千米/小时的速度步行，每7.2分有一辆电车迎面开过，每12分有一辆电车从后面追过。如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行，那么电车的速度是多少？电车之间地时间间隔是多少？6、优化设计例78、甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生。为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生，如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的7倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场？例题求解：我们假设甲坐车时间为“1”。甲班行驶了17速度时乙班行驶了16速度时，然后，甲下车，汽车往回行驶，于是 汽车与乙相遇，他们的路程差为716速度时，速度和为8速度， 所需时间为68时， 于是乙步行11.75时，换车； 甲坐车1时，步行。 因为甲、乙速度一样，同时到达，所以甲、乙坐车、步行时间一样， 于是甲、乙坐车1，甲、乙步行时间1.75。 所以，坐车与步行路程比为17：1.7514：1； 于是，步行路程为244.8千米。 所以，汽车停在距机场4.8千米处。例79、准习题、甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生，为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少？习题分析：为了使两班最短到达，由上题知，汽车从一班换车地点至另一班换车地点时间尽量减小，所以我们先让速度大的甲班先走，这样乙班换车地点与甲班行至地点距离小，就节省了时间。习题求解：假设甲班先行走时间“1”，则甲班行走4，乙班因为坐车行程48， 现在行程差为48444，乙班下车，甲班坐车，但车、甲行程差为44， 车、甲速度和为44852，于是需时，车、甲相遇， 此时，甲行走4，乙行走3， 所以，甲、乙行程差为4443=, 乙、车速度差为48345， 车追上乙时间为，于是乙行走了3 甲行走了44，所以他们的步行距离比为 (44):(3)=15:11. 甲、乙两班步行距离比为15：11。方法二、例题求解：甲班步行走了AC，汽车载着乙班从A班出发；当汽车到达D时，放下乙班步行，返回到C与甲班相遇。最后，汽车载着甲班与步行的乙班同时到达B。 在汽车与甲班在C相遇之间，甲班走了AC，汽车走了ADDC。由于在这一过程中，车和甲班始终在走，所以路程比等于速度比，即 (AC2CD)：AC48：412：1 因此，2CD：DB15：1，CD：DB15：2。 由此，AC：DB15：11。例题评析：我们先要根据上题来确定策略，方法一使用的是相遇、追击基本问题的运用； 方法二使用的是比与比例的知识。例80、甲、两地相距35千米，小张、小李都要从甲地去乙地，他们只有一辆自行车，小张先步行，小李先骑车，同时出发。小张步行的速度是每小时5千米，小李步行的速度是每小时4千米。两人骑车的速度都是每小时20千米。那么两人从甲地到乙地最短需要时间多少小时？例题求解：小李骑车到达甲、乙之间的丙地，改为步行，小张到丙地后骑上车，两人同时到达乙地；此时两人到达乙地所需时间最少。方法一、方程法设甲丙距离为x，则小李需要时间； 小张需要时间。 因为同时出发，同时到达，所以小李、小张所需时间相等； 于是，所以x20千米，于是所需时间为小时4小时45分钟。方法二、比例法 我们求出甲丙：丙乙的路程比。 知道，骑车“1”距离时间为；小李步行“1”距离时间为；小张步行距离时间为。小李因走路路程“1”耽搁的时间与小张因走路“1”耽搁的时间之比为4：3；因为所需时间相等，所以路程比为3：4因为小李于小张的步行、骑车距离正好相反，所以小李步行路程为15千米；所以甲丙路程为351520千米。 小李步行时间为小时4小时45分钟例81、一条环形道路，周长为2千米，甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2周，现有自行车2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑。已知甲步行的速度为每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，3人骑车的速度都是每小时20千米。请你设计一种走法，使3个人2辆车同时到达终点。那么环行2周最少要用多少分钟？例题求解：通过上题的分析运算，启发了我们对于这道题的思路。我们求出甲、乙步行的路程比；我们知道，假设甲、乙均始终骑车，则甲、乙同时到达；现在因为步行耽搁的时间比为： ；于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，即为4：3；又因为乙、丙步行速度相同，所以步行距离相等；于是，甲乙丙步行距离比为甲：乙：丙4：3：3。因为有3人，两辆自行车，所以，始终有人在步行， 一圈的距离等于甲乙丙步行距离和。(我们注意到车子放在一周的不同地方,所以总有一人从一停车处走到另一停车处)于是,甲步行的距离为千米;于是骑车距离为220.83.2千米；所以甲需要时间为0.32小时；即0.326019.2分钟。环形两周的最短时间为19.2千米。例82、下图为某邮递员负责的邮区街道图，图中交叉点为邮户，每个小长方形的长为180米、宽为150米。如果邮递员每分行200米，在每个邮户停留半分，那么从邮局出发走遍所有邮户，再回到邮局，最少要用多少分？此题关键是，求出最佳路径；显然不满足一笔画，我们也只要走到个个交点。我们观察下图：知道，前两种路线有重复部分，而第三个路线比第四个路线长。所以第四种路线最短。最少要走3900米。有64123个邮户。所以需3900200(641)0.5=19.511.531分。例83、有一个沙漠地带，汽车每天行驶200千米，每辆汽车载运科行驶24天的汽油。现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发，并在完成任务后，沿远路返回。为了让甲车尽可能开出更远的距离，乙车在行驶一段路程后，仅留下自己返回出发地的汽油，将其他的油给驾车。求甲车所能开行的最远距离。例题求解：我们知道，甲车尽可能远，则乙车离开甲车时，保证甲车行驶24天的汽油；则还有24天的汽油，是甲、乙到达乙车离开的地点，然后，乙车原路返回，所以24天的汽油，3车次到达乙车离开的地点，于是2438天。又甲车单独行驶的24天汽油，分成3部分，向前前进，返回至乙车离开地点，返回出发点。由于向前前进部分返回至乙车离开地点，返回出发点8天所以向前前进部分(248)2=8所以，甲最远跑到8816天的距离，162003200千米。巩固练习习题14、一条“”形道路，周长为7千米，甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行3周，现有自行车2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑。已知甲步行的速度为每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时6千米，3人骑车的速度都是每小时30千米。请你设计一种走法，使3个人2辆车同时到达终点。那么环行3周最少要用多少分钟？习题15、猴子爬窗：吴尽的手风琴已经走了调，可他依旧弹奏不休，图中的那些人被他吵得要死。如果不打发一点钱，他是不会走的。现在，他的听众们准备投降了。请你说出，他的那只叫乔科的猴子，将采取怎样一条最短的路线，带着一只锡碗从一个窗子爬到另一个窗子去向人家收钱?注意，猴子必须从现在的位置出发，最后回到它主人的肩膀上。如果，每通过一个窗子需2分钟，等待别人的付钱1分钟。则需要时间为多少？习题16、在百慕大三角洲内，轮船每天行驶50海里，每辆轮船带有可供50天的淡水；现在有“探索号”与“试验号”两艘轮船同时间从同一码头出发，并在完成任务后，沿原路返回。为了让“探索号”尽可能开出远的距离，“试验号”在行驶一段路程后，仅留下自己返回码头所需的淡水，把其他的淡水给“探索号”。求“探索号”所能到达的最远航程？7、其他问题例84、龟兔赛跑，全程5.2千米，兔子每小时跑20千米，乌龟每小时跑3千米，乌龟不停的跑；但兔子却边跑边玩，它先跑了1分钟然后玩15分钟，又跑了2分钟然后玩15分钟，再跑3分钟然后玩15分钟，那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？例题求解：乌龟到达终点所需时间为5.2360104分钟； 兔子如果不休息，则需要时间5.2206015.6分钟。 我们注意到兔子休息的规律是跑1、2、3分钟后，休息15分钟 于是15.6分，试着表达成公差为1的等差数列和 123450.6 有5个间隔，所以休息51575分钟， 于是，兔子跑到终点所需时间为15.67590.6分钟； 显然，兔子先到达，先乌龟104-90.614.6分钟。例85、如下图，8时10分，有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A、B两地顺时针方向沿长方形ABCD的边走向D点。甲8时20分到D点后，丙、丁两人立即以相同速度从D点出发。丙由D向A走去，8时24分与乙在E点相遇；丁由D向C走去，8时30分在F点被乙追上，问三角形BEF的面积为多少平方米？甲乙速度相同丙丁速度相同甲10分钟AD丙4分钟ED乙14分钟60AE丁10分钟DF乙20分钟60ADDF乙10分钟60DFAD(AEED)60DF7(AE+ED)=5(60+AE)5ED2DFAE=87,ED=18,DF=45SBEF=S四边形ABCD-SABE-SEDF-SFCB =60(8718)608718451560 2497.5平方米例86、某出租车的计价方式为：起价是2千米5元，往后每增加1千米(最后不足1千米按1千米计算)增加2元。现从甲地到乙地乘出租车共支出车费35元，如果从甲地到乙地先步行800米，然后再乘也要35元。问从甲、乙两地中点乘出租车到乙地需支付多少元钱？例题求解：35530元，所以起价后付了30元，我们以起价后2元为1段。 又先走800，付的车费不变，所以，最后的一段路程为8001000之间， 于是，全程为2302116 所以，半程为8，为400500米之间，所以需支付5(82+1)219元。例87、如果站在游泳池中用水拍打水面，就会有水波从拍打处向四周扩散，这时水波的速度仅仅和水的深度有关，如果游泳池的水深都一样的话，那么不管是站立打水，还是边走边打水、轻轻打水、水波的扩散速度都将是一样的，水波真是奇怪的东西。在一个游泳池(水深都一样)里，放了一台10秒钟可以打出6个水波的机器。这台机器带有轮子，所以也可以一定的速度前进。水波是以每10秒钟12米的速度扩散。水波的最高处叫波峰，最低处叫波谷，请问：这台机器静止不动打水，从一个波峰到另一个相邻的波峰的距离是多少米？太郎以每10秒钟4米的速度面向正在静止站立打水的机器走去，太郎在10秒钟内可以碰上几个波峰？(时间的计算是一个波谷正好到太郎的面前开始的)这回是机器以每10秒钟4米的速度超着站立不动的太郎边走边打水，太郎在10秒钟内可以碰上几个波峰？(时间的计算同上)太郎和机器分别以每10秒钟4米的速度面对面地走，太郎在10秒内可以碰上几个波峰？(时间的计算同上)例题求解：1、一瞬间产生的波以每10秒钟12米的速度扩散，在10秒内可产生6个水波。1262米。2、10秒钟内，开始计数时的波谷从太郎原先的位置前进了12米，太郎前进了4米，其距离是12416米，在这16米之间，宽度是2米的波有1628(个)，这8个波太郎都能遇上。 3、波的速度不变，注意到相邻两个波之间宽度比原来小，就容易解决了。10秒后机器前进了4米，初始的波，10秒后距机器现在的位置为1248米，由于波长生的速度没变，所以在10秒钟内产生的波都应在这个8米的距离之内。因此，从运动着的机器那里产生的波的宽度是86，因为这个波是太郎原位未动时计数的。波的前进速度不变，10秒12米，所以有129(个)。 4、同3，机器在动，所以波的宽度是。同2一样，太郎也在走，所以他在16米之间可碰到的波的数量是1612(个)。8、非典型问题1、 数论类例88、在一条环形公路上，n个车站被n段公路连结起来，车站所在地的高度有海拔50米和100米两种。相邻两车站若海拔高度相同，则它们之间的一段公路是水平的。否则是上坡路或下坡路。有一个乘客汽车在这条环形公路上逆时针方向兜了一圈，发现有坡公路的段数与水平公路的段数一样多，求证：4|n。例题评述：此题其实只是与整除有些关联，我们上面所说的性质在此题中几乎用不到，之所以把它放在整除这一篇章里，想在一开始就提醒同学们要注意知识的全面性、知识的学以致用、知以致用。例题求解： 记50米高站为L记100米高站为H水平公路的连结方式为line(L,L)；line(H,H)有坡公路为line(L,H)平路与有坡公路段相等line(L,H)line(L,L)line(H,H)，又因为每1站车站都连接2条公路所以每条公路完全占有两个车站line(L,L)有x条line(H,H)有y条则line(L,H)有x+y条所以在line(L,L)中有x2个L站在line(H,H)有y2个H站共有个H站因为不管L、H都是整数所以(x+y)为偶数，总车站数为LH2(x+y)=n所以4|n=2(x+y)例89、下图中有两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米。两只甲虫同时从A点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？例题求解：我们知道，大小圆只有一个公共点(内切)，而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在A点，另一只在过A的直径另一直径端点B，所以在小圆甲虫跑了n圈，在大圆甲虫跑了m圈；于是小圆甲虫跑了30n，大圆甲虫跑了48(m)48m24因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同，所以30n48m24；即5n8m4，有不定方城知识，解出有n4，m2，所以小甲虫跑了2圈后，大小甲虫相距最远。例90、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米，黄鼠狼每次跳米，它们每秒钟都只跳一次。比赛途中，从起点开始每隔，设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？ 例题求解：我们求出狐狸与陷阱间隔的最小公倍数， 求出黄鼠狼与陷阱间隔最小公倍数，。只要各自跑到各自最小公倍数时，就跳进陷阱，所以，狐狸要跳步；黄鼠狼要跳步。所以黄鼠狼先掉进陷阱，于是，狐狸跳了米。2、益智类例91、一条公共汽车线路，包括首尾两站共10站。首尾两站同时每隔3分相向发车一辆，每辆汽车行驶一个单程需要27分。要保证首、尾两站随时都有车，至少需要多少辆汽车？例题求解; 从首站发向尾站的车，第1辆到达时第10辆正准备发车，该方向共10辆车；同理，相反方向也有10辆。 所以，共需要20辆车。例92、某路电车每隔5分从甲站发一辆电车到乙站，全程要走20分。有一个人从乙站出发沿电车线路前往甲站，他出发时恰有一辆电车到达乙站，在路上他又迎面遇到了10辆电车，到达甲站时恰有一辆电车从甲站开出。问：他从乙站到甲站用了多长时间？例题求解：他一共看到12辆电车，他从乙站出发时第5辆电车正从甲站出发，他到达甲站时第12辆电车正从甲站出发，这中间共35分。例93、长途汽车在甲、乙两地间运行，每天从甲、乙两地同时相对开出一辆客车，单程需要三天时间，到达终点后，休整两天再按原路返回。为了保证这条线路上客运任务能正常进行，这条线路上至少应配备几辆客车例题求解：一辆车两次从甲站出发间隔10天，所以需10辆车。例94、A，B两地相距54千米，有18人共同骑7匹马由A地到B地去，每匹马每次只能驮1人，为了轮换休息，大家决定每人骑马行1千米轮换一次。问：每人骑马、步行各多少千米？例题求解：7匹马共行547=378即18人共骑马行378千米，每人骑马行 37818=21，步行 5421=33。所以每人骑马21千米，步行33千米。例95、四只甲虫A、B、C和D处于一个边长10厘米的正方形的四端。A对准B，B对准C，C对准D，D对准A同时直接朝前爬。如果所有的甲虫的爬行速度都一样，那么，它们的爬行轨迹将是四条一样的螺旋曲线，最终相交于这个正方形的中心。 现在的问题是，当四只甲虫相聚时，它们各自爬了多长的距离? 这题需要富有想象力的思考，但不需要进行计算。例题求解：因为四只甲虫的爬行速度是一样的，所以在爬行的过程中，不管它们彼此间