【学海导航】高三数学第一轮总复习 2.3 函数的值域课件（2）.ppt

第二章 函数 2 3函数的值域 第二课时 题型4用不等式法求函数的值域 1 求下列函数的值域 1 2 解 1 因为x 所以x 0 所以 当且仅当x 即x 时等号成立 所以y 所以原函数的值域为 2 原函数可化为sinx ycosx 1 2y 所以sin x 1 2y 其中 所以sin x 1 1 所以 1 2y 所以3y2 4y 0 所以0 y 所以原函数的值域为 0 点评 对于求形如或 x 或x 的值域 常用均值不等式求解 求解时注意 一正 二定 三相等 三个条件须同时成立 将上题 1 中条件 x 改为 x 呢 解 因为x 所以x 0 所以当且仅当 即x 时等号成立 所以y 所以原函数的值域为 2 设a 0为常数 函数f x 已知当x m n n m 0 时 f x 的值域也是 m n 求a的取值范围 解 因为f x 在 0 上是增函数 所以当n m 0时 f x 在 m n 上是增函数 因为当x m n 时 f x m n 所以从而m n是关于x的方程 x的两个不等正根 题型5有关值域的逆向思维问题 由 x 得 所以解得0 a 故a的取值范围是 0 点评 解决函数的定义域与值域对应的问题 一般先根据函数的单调性 找到定义域与值域的端点值的对应关系 然后由此得出相应参数的方程 或不等式 再求解得出参数的取值或取值范围 若函数f x 的最大值为4 最小值为 1 求实数a b的值 解 设y 去分母得yx2 ax y b 0 y 0显然在函数值域 1 4 内 y 0时 x r 所以 a2 4y y b 0 即4y2 4by a2 0的解为 1 y 4 所以方程4y2 4by a2 0的两根为 1 4 由韦达定理知 b 1 4 3 1 4 所以a 4 b 3或a 4 b 3 拓展练习 3 若不等式a x 对一切x 0 成立 求a的最小值 解 构造函数f x x x 0 则f x 1 当x 0 时 y 0 所以f x x 在 0 上单调递增 因为x 0 所以 f x max f 又因为a f x 恒成立 a f x max 故a的最小值为 题型6恒成立与存在性问题 点评 不等式的恒成立问题 可以构造函数 利用函数的最值问题来解决 求函数的最值的方法与求函数的值域的方法是类似的 此类题综合了函数 方程 不等式等知识 注意三者之间的相互转化与联系 原创 关于x的不等式 a在区间 1 2 上有解 求a的取值范围 解 构造函数f x x 1 2 则f x 当x 1 2 时 f x 0 所以f x 在区间 1 2 上是减函数 所以x 1 2 时 f x min f 2 因为 a在区间 1 2 上有解 则a f x min 故a的取值范围是 如图 在边长为1的正三角形abc中 p q r分别为边bc ca ab上的点 且cq 2bp ar 3bp 求 pqr的面积s的取值范围 题型实际应用问题 解 设bp x 则s s abc s bpr s pcq s arq又0 3x 1 即0 x 所以函数的定义域为 0 所以当x 时 smin 当x 0时 smax 所以s的取值范围是 1 求函数值域的常用方法 配方法 判别式法 换元法 不等式法 有界性法 单调性法 图象法 反函数法 几何法等 2 已知函数的定义域或值域 求参数的值或取值范围 关键是要将题设条件转化为关于参数的方程 组 或不等式 组 3 对于求含参数的方程有实根的条件 若能分离参数 则可转化为函数的值域求解 4 恒成立问题 f x a恒成立 f x mi