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6 2算术平均数与几何平均数 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 6 2算术平均数与几何平均数 双基研习 面对高考 双基研习 面对高考 基础梳理 a b 正数 算术平均数 几何平均数 小 大 思考感悟 2 利用均值不等式求最值应注意什么条件 提示 利用均值不等式求最值 一定要注意使用的条件 一正 各数为正 二定 和或积为定值 三相等 等号在允许取值范围内能取到 课前热身 答案 d 答案 c 答案 c 考点探究 挑战高考 考点突破 证明不等式时 可依据求证两端的式子结构 合理选择均值不等式及其变形不等式来证 参考本节教材例2 领悟归纳 利用算术平均数与几何平均数的定理证明不等式 关键是所证不等式中必须具有 和 式或 积 式 通过将 和 式转化为 积 式或将 积 式转化为 和 式 从而达到放缩的效果 必要时 也需要运用 拆 拼 凑 的技巧 同时应注意多次运用定理时等号能否取到 互动探究1请你把上述不等式推广到一般情形 并证明你的结论 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧 而拆与凑的目标在于使等号成立 且每项为正值 必要时需出现积为定值或和为定值 参考教材例1 在实际应用问题中求最值时 应先将要求最值的量表示为某个变量的函数 然后利用不等式的知识和方法求出该函数的最值 参考教材本章的引言 如图所示 将一矩形花坛abcd扩建成一个更大的矩形花园ampn 要求b在am上 d在an上 且对角线mn过c点 已知ab 3米 ad 2米 1 要使矩形ampn的面积大于32平方米 则an的长应在什么范围内 2 当an的长度是多少时 矩形ampn的面积最小 并求最小面积 思路分析 设an x 求出am 建立不等式求x 构造适合均值不等式的形式 思维总结 把 x 2 视为一个整体 用均值不等式求最小值 互动探究3若an的长度不小于6米 则当an的长度是多少时 矩形ampn的面积最小 并求出最小面积 方法技巧1 运用均值不等式的技巧 在运用均值不等式时 要特别注意 拆 拼 凑 等技巧 使其满足均值不等式中 正 条件要求中字母为正数 定 不等式的一边必须为一定值 等 等号取得的条件 的条件 如例2 方法感悟 失误防范 考向瞭望 把脉高考 考情分析 均值不等式是一个用途广泛的重要不等式 因而高考中作为重要考点久考不衰 常考常新 均值不等式具有 和与积 相互转化的放缩功能 备受命题者的青睐 试题既有选择题 填空题 又有实际应用题 客观题常常为单独命题的形式 其 干净利落 又不断出新 尤其与函数结合求最值 题目难度中档偏下 2010年的高考中 几乎各地方试题 都对此进行了考查 如大纲全国卷 文理第11题 在平面图形中 结合向量 三角函数 利用均值不等式求最值 重庆理第7题针对二次函数求最值等难度适中 2012年高考将以选择题 填空题形式出现 考查学生运用均值不等式求最值的能力 对实际应用也不容忽视 命题探源 答案 d 那么解答这个题也应该很轻松 这两个题目 无论在题型和解答方法都是相
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