【优化方案】高考数学总复习 第8章§8.3空间图形的基本关系及公理精品课件 理 北师大版.ppt

8 3空间图形的基本关系及公理 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 8 3空间图形的基本关系及公理 双基研习 面对高考 1 空间图形的基本关系 1 点和直线的位置有两种 和点在直线外 2 点和平面的位置有两种 点在平面内和 3 空间两条直线的位置关系有三种 相交直线和 双基研习 面对高考 点在直线上 点在平面外 异面直线 平行直线 4 空间直线和平面的位置关系有三种 直线和平面相交 5 空间两平面的位置关系有两种 直线在平面内 直线与平面平行 两平面平行和两平面相交 提示 不一定 可能存在平面 使a b 思考感悟若a b 则a b就一定是异面直线吗 2 空间图形的公理及等角定理 两点 所有的点 在平面内 有且只有 a b c三点确定 有且只有 l 且a l 有一个公共点 平行 a c b o 3 异面直线所成的角 1 定义 过空间任意一点p分别引两条异面直线a b的平行线l1 l2 a l1 b l2 这两条相交直线所成的 就是异面直线a b所成的角 如果两条异面直线所成的角是 则称这两条直线互相垂直 锐角或直角 直角 1 教材习题改编 如图所示 将无盖正方体纸盒展开 直线ab cd在原正方体中的位置关系是 a 平行b 垂直c 相交成60 d 异面成60 答案 d 2 若三个平面两两相交 且三条交线相交于一点 则这三个平面把空间分成 部分 a 5b 6c 7d 8答案 d 3 下列四个命题中 正确命题的个数是 空间不同三点确定一个平面 垂直于同一直线的两直线平行 一条直线和两平行线中的一条相交 也必和另一条相交 两组对边相等的四边形是平行四边形 a 0b 1c 2d 3答案 a 4 2010年西安调研 已知a b是异面直线 下列命题 存在一个平面 使a 且b 存在一个平面 使a 且b 存在一个平面 使a 且b与 相交 存在一个平面 使a b到平面 的距离相等 其中正确命题是 答案 5 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 ab1与c1b所成的角是 考点探究 挑战高考 证明若干条线 或若干个点 共面 一般来说有两种途径 一是首先由题给条件中的部分线 或点 确定一个平面 然后再证明其余的线 或点 均在这个平面内 二是将所有元素分为几个部分 然后分别确定几个平面 再证这些平面重合 易错警示 本题易错点是不能把证明c d f e共面转化为c h f e共面 在分析题意时 应仔细分析问题中每一句话的含义 利用两平面交线的惟一性 证明诸点在两平面的交线上是证明空间诸点共线的常用方法 证明点共线的方法从另一个角度讲也就是证明三线共点的方法 证明线共点 基本方法是先确定两条直线的交点 再证交点在第三条直线上 也可将直线归结为两平面的交线 交点归结为两平面的公共点 由公理2证明点在直线上 思路点拨 1 先证e f g h四点共面 再证ef gh交于一点 然后证明这一点在ac上 2 画出图形 模仿 1 进行证明 ef hg 且ef hg 所以四边形efgh为梯形 设eh与fg交于点p 则p 平面abd p 平面bcd 所以p在两平面的交线bd上 所以eh fg bd三线共点 易错警示 证明线共点时 两条直线相交可能缺乏理论依据 变式训练1如图所示 o1是正方体abcd a1b1c1d1的上底面a1b1c1d1的中心 m是对角线a1c和截面b1d1a的交点 求证 o1 m a三点共线 证明 a1c1 b1d1 o1 又b1d1 平面b1d1a a1c1 平面aa1c1c o1 平面b1d1a o1 平面aa1c1c a1c 平面b1d1a m a1c 平面aa1c1c m 平面b1d1a m 平面aa1c1c 又a 平面b1d1a a 平面aa1c1c o1 m a在平面b1d1a和平面aa1c1c的交线上 由公理3可知o1 m a三点共线 与异面直线相交的问题有异面直线的判定 异面直线所成的角 异面直线的公垂线及异面直线间的距离 这其中最重要的是异面直线所成的角 求异面直线所成的角 一般是通过平行线首先找到它们所成的角 然后放到三角形中 通过解三角形求之 对于异面直线所成的角也可利用空间向量来求 2010年高考湖南卷改编 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab ad 1 aa1 2 m是棱cc1的中点 求异面直线a1m和c1d1所成的角的正切值 思路点拨 名师点评 求异面直线所成的角无论是用几何法还是向量法 都要特别注意异面直线所成角的范围是 0 90 变式训练2 2010年高考大纲全国卷 正三棱柱abc a1b1c1中 若 bac 90 ab ac aa1 则异面直线ba1与ac1所成的角等于 a 30 b 45 c 60 d 90 解析 选c 不妨设ab ac aa1 1 建立空间直角坐标系如图所示 则b 0 1 0 a1 0 0 1 a 0 0 0 c1 1 0 1 方法技巧1 主要题型的解题方法 1 要证明 线共面 或 点共面 可先由部分直线或点确定一个平面 再证其余直线或点也在这个平面内 即 纳入法 如例1 2 要证明 点共线 可将线看作两个平面的交线 只要证明这些点都是这两个平面的公共点 根据公理3可知这些点在交线上 因此共线 如例2 2 判定空间两条直线是异面直线的方法 1 判定定理 平面外一点a与平面内一点b的连线和平面内不经过该点b的直线是异面直线 2 反证法 证明两线不可能平行 相交或证明两线不可能共面 从而可得两线异面 3 求两条异面直线夹角的大小 一般方法是通过平行移动直线 把异面问题转化为共面问题来解决 根据空间等角定理及推论可知 异面直线夹角的大小与顶点位置无关 往往将角的顶点取在其中的一条直线上 特别地 可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点 总之 顶点的选择要与已知量有关 以便于计算 具体步骤如下 1 利用定义构造角 可固定一条 平移另一条 或两条同时平移到某个特殊的位置 顶点选在特殊的位置上 2 证明作出的角即为所求角 3 利用三角形来求解 如例3 失误防范1 异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线 而不是分别在两个平面内 一定要理解定义 2 求异面直线所成的角要特别注意异面直线所成角的范围是 0 90 考向瞭望 把脉高考 空间中的位置关系是每年高考必考的知识点之一 考查重点是异面直线的判定 异面直线所成的角 题型既有选择题 填空题 又有解答题 难度为中低档 客观题主要考查异面直线所成角的概念及求法 主观题考查较全面 考查异面直线所成角的概念 求法 判定及异面直线的判定 同时还考查了学生的空间想象能力和运算能力 预测2012年高考仍将以考查异面直线所成的角为主要考查点 重点考查学生的空间想象能力和运算能力 2009年高考安徽卷 对于四面体abcd 下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号 相对棱ab与cd所在的直线异面 由顶点a作四面体的高 其垂足是 bcd三条高线的交点 若分别作 abc和 abd的边ab上的高 则这两条高所在的直线异面 分别作三组相对棱中点的连线 所得的三条线段相交于一点 最长棱必有某个端点 由它引出的另两条棱长度之和大于最长棱 思路点拨 画出图形 根据各个命题寻找其成立的根据 或者寻找其不成立的反例 解析 命题 中 如果ab cd共面 则四点a b c d共面 abcd为平面图形 与abcd是四面体矛盾 故命题 正确 命题 中 如果命题成立 即顶点a在底面bcd上的射影为底面三角形的垂心 如图 1 所示 则cd ah cd be 根据线面垂直的判定定理 知cd 平面abh 故cd ab 同理可以证明ad bc ac bd 但这些条件在题目的已知中是不具备的 故命题 不一定成立 即命题不正确 命题 中 如图 2 所示 当 abc abd的ab边上的高的垂足为同一个点时 命题不成立 这种情况是完全可能的 如当ca cb da db时 故命题 不正确 命题 中 如图 3 所示 e f g h i j分别为bc ad cd ab ac bd的中点 连接各中点 容易证明四边形ehfg为平行四边形 故hg ef相交于一点 且该点平分两线段 即交点为线段hg的中点 设为o 同理可以证明hg ij也相交于一点 且在该点互相平分 即线段ij也过线段hg的中点o 故三组对棱中点的连线交于一点 故命题 正确 命题 中 如图 2 所示 设最长棱为ac 假设结论不成立 即不存在端点 则由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱 即从两个端点a c引出的两条棱的长度之和均不大于ac 即ab ad ac cb cd ac 两个不等式相加 得ab ad cb cd 2ac 即 ab cb ad cd 2ac 在 abc adc中ab cb ac ad cd ab 两式相加得 ab cb ad cd 2ac 得出矛盾结论 说明假设不成立 故命题 正确 故填 答案 名师点评 立体几何中很多命题往往是用反证法证明 如本题中的命题 这类命题的特点是没有可以直接利用的定理 直接证明非常困难 遇到这种情况往往使用反证法解决 证明空间三线交于一点 这样的问题我们称之为三线共点 基本思路是先证明两条直线交于一点 这只要证明这两条直线共面且不平行 再证明第三条直线也过这个点即可 1 在四棱台abcd a1b1c1d1中 上下底面均为正方形 则dd1与bb1所在直线是 a 相交直线b 平行直线c 不垂直的异面直线d 互相垂直的异面直线解析 选a 由于几何体是四棱台 所以dd1与bb1延长后相交于一点 即dd1与bb1所在直线是相交直线 2 以下四个命题中 正确命题的个数有 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点a b c d共面 点a b c e共面 则a b c d e共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 a 0b 1c 2d 3 解析 选b 正确 可以用反证法证明 从条件看出两平面有三个公共点a b c 但是若a b c共线