【5年高考3年模拟】（新课标版）高考数学真题分类汇编 6.4 数列求和、数列的综合应用 文(1).doc

6.4数列求和、数列的综合应用考点一数列求和1.(2014课标,17,12分)已知an是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和.解析(1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3,由题意得a2=2,a4=3.设数列an的公差为d,则a4-a2=2d,故d=,从而a1=.所以an的通项公式为an=n+1.(2)设的前n项和为sn,由(1)知=,则sn=+,sn=+.两式相减得sn=+-=+-.所以sn=2-.2.(2014安徽,18,12分)数列an满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nn*.(1)证明:数列是等差数列;(2)设bn=3n,求数列bn的前n项和sn.解析(1)证明:由已知可得=+1,即-=1.所以是以=1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)得=1+(n-1)1=n,所以an=n2.从而bn=n3n.sn=131+232+333+n3n,3sn=132+233+(n-1)3n+n3n+1.-得-2sn=31+32+3n-n3n+1=-n3n+1=.所以sn=.3.(2014山东,19,12分)在等差数列an中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,记tn=-b1+b2-b3+b4-+(-1)nbn,求tn.解析(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以数列an的通项公式为an=2n.(2)由题意知bn=n(n+1).所以tn=-12+23-34+(-1)nn(n+1).因为bn+1-bn=2(n+1),所以当n为偶数时,tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+(-bn-1+bn)=4+8+12+2n=,当n为奇数时,tn=tn-1+(-bn)=-n(n+1)=-.所以tn=4.(2014四川,19,12分)设等差数列an的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(nn*).(1)证明:数列bn为等比数列;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列an的前n项和sn.解析(1)证明:由已知可知,bn=0,当n1时,=2d,所以数列bn是首项为,公比为2d的等比数列.(2)函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-=(ln 2)(x-a2),它在x轴上的截距为a2-.由题意知,a2-=2-,解得a2=2.所以d=a2-a1=1,an=n,bn=2n,an=n4n.于是,sn=14+242+343+(n-1)4n-1+n4n,4sn=142+243+(n-1)4n+n4n+1,因此sn-4sn=4+42+4n-n4n+1=-n4n+1=.所以sn=.考点二数列的综合应用5.(2014安徽,12,5分)如图,在等腰直角三角形abc中,斜边bc=2.过点a作bc的垂线,垂足为a1;过点a1作ac的垂线,垂足为a2;过点a2作a1c的垂线,垂足为a3;,依此类推.设ba=a1,aa1=a2,a1a2=a3,a5a6=a7,则a7=.答案6.(2014广东,19,14分)设各项均为正数的数列an的前n项和为sn,且sn满足-(n2+n-3)sn-3(n2+n)=0,nn*.(1)求a1的值;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有+0,a1=2.(2)由-(n2+n-3)sn-3(n2+n)=0,得sn-(n2+n)(sn+3)=0,又an0,所以sn+30,所以sn=n2+n,所以当n2时,an=sn-sn-1=n2+n-(n-1)2+n-1=2n,又由(1)知,a1=2,符合上式,所以an=2n.(3)证明:由(2)知,=,所以+=+=+60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.解析(1)设数列an的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2,从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.(2)当an=2时,sn=2n.显然2n60n+800成立.当an=4n-2时,sn=2n2.令2n260n+800,即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.8.(2014湖南,21,13分)已知函数f(x)=xcos x-sin x+1(x0).(1)求f(x)的单调区间;(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(in*)个零点,证明:对一切nn*,有+0,此时f (x)0;当x(2k+1),(2k+2)(kn)时,sin x0,故f(x)的单调递减区间为(2k,(2k+1)(kn),单调递增区间为(2k+1),(2k+2)(kn).(2)由(1)知, f(x)在区间(0,)上单调递减,又f=0,故x1=,当nn*时,因为f(n)f(n+1)=(-1)nn+1(-1)n+1(n+1)n+10,且函数f(x)的图象