【学海导航】高三数学第一轮总复习 9.7直线和平面所成的角与二面角课件（第1课时）.ppt

第九章 直线 平面 简单几何体 9 7直线和平面所成的角与二面角 1 一个平面的斜线和它在这个平面内的 的夹角 叫做斜线和平面所成的角 如果直线和平面垂直 则直线和平面所成的角为 如果直线在平面内或与平面平行 则直线和平面所成的角为 2 从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的 每个半平面叫做二面角的 射影 90 0 两个半平面 棱 面 棱为l 两个平面分别为 的二面角记为 3 一个平面垂直于二面角 l 的棱且与两个半平面的交线分别是射线oa ob o为垂足 则 aob叫做二面角 l 的 4 从二面角 l 的棱上任取一点o 分别在二面角的两个面 内作 的射线oa ob 则 为二面角的平面角 l 平面角 垂直于棱 aob 5 从二面角 l 的一个面 内取一点p 过点p作 的垂线 垂足为a 过点a作棱l的垂线 垂足为b 则 为二面角的平面角 或其补角 6 平面角是 的二面角叫做直二面角 7 直线和平面所成的角的取值范围是 二面角的平面角的取值范围 11 12 13 14 pba 直角 0 8 平面的斜线和平面所成的角 是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中 盘点指南 射影 90 0 两个半平面 棱 面 l 平面角 垂直于棱 aob pba 直角 0 0 最小的角 15 11 12 13 14 15 最小的角 若正四棱柱abcd a1b1c1d1的底面边长为1 ab1与底面abcd成60 角 则a1c1到底面abcd的距离为 a b 1c d 解 依题意 b1ab 60 如图 bb1 1 tan60 故选d 平面 的斜线与 所成的角为30 则此斜线和 内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为 a 30 b 60 c 90 d 150 解 本题易误选d 因为斜线和 内所有不过斜足的直线为异面直线 故最大角为90 c 在边长为a的正三角形abc中 ad bc于d 沿ad折成二面角b ad c后 bc a 这时二面角b ad c的大小为 a 30 b 45 c 60 d 90 解 折起后的 bcd为正三角形 故选c c 1 如图 四棱锥p abcd中 底面abcd为矩形 pd 底面abcd ad pd e f分别为cd pb的中点 1 求证 平面aef 平面pab 2 设ab bc 求直线ac与平面aef所成的角的大小 题型1求直线和平面所成的角 第一课时 解法1 1 证明 连结pe 因为pd 底面abcd 所以pd de 又ce ed pd ad bc 所以rt bce rt pde 所以pe be 因为f为pb的中点 所以ef pb 由三垂线定理 得pa ab 所以在rt pab中 pf af 又pe be ae 所以 efp efa 所以ef fa 因为pb fa为平面pab内两相交直线 所以ef 平面pab 故平面aef 平面pab 2 不妨设bc 1 则ad pd 1 ab 2 pa 2 ac 3 所以 pab为等腰直角三角形 且pb 2 因为f为斜边pb的中点 所以bf 1 且af pb 又ef pb 所以pb 平面aef 连结be 交ac于g 作gh bp交ef于h 则gh 平面aef 所以 gah为ac与平面aef所成的角 由 egc bga可知 eg gb 所以eg eb 从而ag ac 由 egh ebf可知 gh bf 所以在rt ahg中 所以ac与平面aef所成的角为arcsin 解法2 以d为坐标原点 dc da dp所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图 1 设点a 0 1 0 点e a 0 0 a 0 则点c 2a 0 0 b 2a 1 0 p 0 0 1 f a 所以 0 2a 1 1 2a 0 0 于是 所以ef pb ef ab 则ef 平面pab 故平面aef 平面pab 2 由 得a 所以 1 0 1 1 于是 所以pb af 又pb ef 所以pb 平面aef 即是平面aef的一个法向量 因为cos 所以异面直线ac与pb所成的角为arccos 设ac与平面aef所成的角为 则 所以所以 arcsin 故ac与平面aef所成的角是arcsin 点评 直线与平面所成的角 其实质就是直线与其在平面上的射影所成的角 找直线在平面上的射影是关键 然后把题中条件转化到某些三角形中去 再利用解三角形的知识求得所求角 如果用向量法来解 则关键是求平面的法向量 如图 l1 l2是互相垂直的异面直线 mn是它们的公垂线段 点a b在l1上 c在l2上 am mb mn 1 证明 ac nb 2 若 acb 60 求nb与平面abc所成的角的余弦值 解法1 1 证明 由已知l2 mn l2 l1 mn l1 m 可得l2 平面abn 由已知mn l1 am mb mn 可知an nb且an nb 又an为ac在平面abn内的射影 所以ac nb 2 因为rt cna rt cnb 所以ac bc 又已知 acb 60 因此 abc为正三角形 在 abn中 an ab 在rt anc中 因为ac ab 所以nc na 所以nc na nb 因此 n在平面abc内的射影h是正三角形abc的中心 连结bh 则 nbh为nb与平面abc所成的角 在rt nhb中 解法2 如图 建立空间直角坐标系m xyz 令mn 1 则有a 1 0 0 b 1 0 0 n 0 1 0 1 因为mn是l1 l2的公垂线 l2 l1 所以l2 平面abn 所以l2平行于z轴 故可设c 0 1 m 于是 1 1 m 1 1 0 因为 1 1 0 0 所以ac nb 2 因为ac 1 1 m bc 1 1 m 所以又已知 acb 60 所以 abc为正三角形 ac bc ab 2 在rt cnb中 nb 可得nc 故c 0 1 连结mc 作nh mc于h 设h 0 2 0 所以 0 1 2 0 1 2 因为 1 2 0 所以 由h 0 可得 0 连结bh 则 1 因为所以hn bh 又mc bh h 所以hn 平面abc 则 nbh为nb与平面abc所成的角 因为 1 1 0 所以 2 如图 在三棱锥v abc中 vc 底面abc ac bc d是ab的中点 且ac bc a vdc 0 1 求证 平面vab 平面vcd 2 当角 变化时 求直线bc与平面vab所成的角的取值范围 题型2求直线和平面所成的角的取值范围 解法1 1 证明 因为ac bc a 所以 acb是等腰三角形 又d是ab的中点 所以cd ab 因为vc 底面abc 所以vc ab 于是ab 平面vcd 而ab 平面vab 所以平面vab 平面vcd 2 如图 过点c在平面vcd内作ch vd于h 则由 1 知ch 平面vab 连结bh 于是 cbh就是直线bc与平面vab所成的角 在rt chd中 设 cbh 在rt bhc中 ch asin 所以sin sin 因为0 所以0 sin 1 则0 sin 又0 所以0 即直线bc与平面vab所成的角的取值范围是 0 解法2 1 以ca cb cv所在的直线分别为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则c 0 0 0 a a 0 0 b 0 a 0 d 0 v 0 0 atan 于是 atan 0 a a 0 从而 a a 0 0 即ab cd 同理 即ab vd 又cd vd d 所以ab 平面vcd 而ab 平面vab 所以平面vab 平面vcd 2 设直线bc与平面vab所成的角为 平面vab的一个法向量为n x y z 则由n 0 n 0 得 故可取n 1 1 cot 又 0 a 0 于是 因为0 所以0 sin 1 则0 sin 又0 所以0 即直线bc与平面vab所成的角的取值范围为 0 点评 求与角有关的取值范围问题 一是可利用函数思想把所求问题转化为某参数的函数问题 二是可利用数形结合思想结合图形的某些特殊情况求得最值或范围 如果bc 平面 斜线ab与平面 所成的角为 abc aa 平面 垂足为a a bc 为锐角 那么 a cos cos cos b sin sin sin c cos cos cos d cos cos cos 解 作a d bc于d 连结ad 由三垂线定理得ad bd 在rt aa b中 cos 在rt a bd中 cos 在rt abd中 cos 所以cos cos 故选a 1 直线与平面所成的角是平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角 直线与平面垂直或平行 包括直线在平面内 时 成直角或0 角 我们往往在斜线上取一点向平面引垂线 以形成由平面的斜线 垂线及斜线在平面上的射影组成的直角三