第一节 数列的极限2011-9-20.doc

第二章极限与连续2.1 数列的极限教学目的：能正确写出所给数列的通项公式；掌握数列的有界性和单调性概念；理解并掌握数列极限定义，了解数列极限的证明重点：掌握数列的有界性和单调性概念；理解并掌握数列极限定义.难点：定义证明数列极限.教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：引例：在一个给定的圆内作园内接正六边形，再作正十二边形，二十四边形，将他们的面积依次记为，则得到一个以（）为边数的正多边形面积的数列，并且随着的无限增大，面积无限接近圆的面积. 一、数列1.【定义2.1】一个定义在正整数集合上的函数（称为整标函数），当自变量按正整数依次增大的顺序取值时，函数值按照相应的顺序排成 的一串数： 称为一个无穷数列简称数列.数列中的每个数称为数列的项,为数列的通项.或：依照某一法则依次排列的一列数称为数列, 记作.其中的每个数称为数列的项,而,称为通项(一般项).(这里的数列均指无穷数列)例1 写出数列的通项（1） , （2） , （3） , （4）0，1，0，1， , 例2 根据通项写出数列的前五项：（1）.（2）：.（3）:.（4）.2.数列的特殊性质：(1) 有界性：若,则称有界,记作.(同样有:数列有上界,数列有下界的概念)例 有界，无界.注意：数列有界数列有上界且有下界.(2) 单调性: 若, 则称单调递增, 记作. 若, 则称单调递减, 记作. 结论：单调递增或单调递减的数列统称为单调数列.（3）【子数列定义】数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序而得到的数列称为数列的子数列, 可写成 显然：. 等都是的子数列.二、数列的极限1.引例 半径为的园内接正多边形面积（为正多边形的边数），当越来越大时，越来越接近圆的面积.当无限增大时，无限接近圆的面积.我们称以圆的面积为极限.从图像观察下列各例数列的变化趋势：（为正整数）（1）； （2）；（3）.三个图形的共同特点是随着的逐渐增大，图像上的点越来越接近直线.例：研究数列, 的变化趋势(1) 随着的增大,逐渐接近数； (2) 随着的增大,与的距离 想要多小就可以达到多小；(3)也就是说,想要 足够的小,只要足够大就可以.例如 给定, 由，只要, 就有； 给定, 由，只要,就有； 给定, 由，只要,就有；一般地给定,由,只要,就有.数列趋向1的本质特征,为给出数列极限的定义奠定了基础.2.数列极限定义:【定义2.2】设为一无穷数列,是一个常数, 如果对于(不论它多么小),总存在正整数,使得当时,恒有,则称常数是数列的极限,或者称数列收敛于,记作 或.注意：数列极限是对无穷数列而言的概念收敛数列即极限存在的数列.发散数列即极限不存在的数列.3.的几何解释:对于的任何一个邻域, 总存在,当时, 所有的都落在邻域中, 而至多只有有限项落在这个邻域外.4. 数列极限的定义：, 当时, 恒成立.例3 （1） 证明: .证明：,欲使 ,只需 ( 或 ).取,当时,恒有, 所以 .（2） 证明: .证明：,欲使 ,只需 或即可.取,当时,恒有, 所以 .(3) ；证明：,欲使,只需或即可.取,当时,恒有, 所以 .(4) .证明：,欲使,只需或即可.取,当时,恒有, 所以 .例4 设,证明:.证明：,欲使,只需即 或 即可.取,当时,恒有 , 所以 .三、收敛数列的性质【性质1】（极限的唯一性）收敛数列的极限必惟一.证明：（反证法）设有两个极限，且.由数列定义知对，又时，有，取，则 当时，有.若取则有矛盾不等式，假设不成立，故已知结论成立.【性质2 】(有界性) 收敛数列必有界.证明：设收敛于，由数列定义知对，取，则，所以，取则对，故已知结论成立.【性质3】(保号性) 若,则必当时，有 .证明：设，取 时，有，即 .【推论】若且，则.（利用反证法可推出此结论）例如：满足，但.【性质4】（收敛数列与其子数列间的关系）若数列收敛于，则它的任何子列收敛且也收敛于.即： 若,则,均有. (反之亦然)证明：因,那么,时,.于是当时,由于,从而,所以 .例5 证明: 数列是发散的.证明：考察的两个子数列和, 由于，所以数列是发散的.例6 证明 .举例说明,如果数列有极限,但数列未必有极限.证明：因,有,时,由于, 所以.例如：若取,显然,但显然没有极限.重要结论：若有两个子数列收敛于不同的数,那么必发散.重要结论：1）且为常数，特例.（此结论可分利用定义证明之.）2），3）收敛，必有收敛；但反之不一定成立.（） 例如 收敛于1,但数列发散.4) .提问1：用极限性质判别下列结论是否正确,为什么？(1)有界数列必收敛；解：结论错误.例如取,虽然有界,但显然发散.(2)无界数列必发散；解：结论正确. 因收敛数列必有界,那么无界数列必发散.(3)发散数列必无界.解：结论错误.例如取,虽然发散,但显然有界.提问2：用极限定义考查下列结论是否正确,为什么？(4)设数列,当时,有无穷多个 满足,则 .解：结论错误.例如取,显然,那么,当时,有无穷多个,满足,但显然 不存在.练习：对于数列,给定(1);(2); (3)时,分别取怎样的,才能使当时,不等式成立,并利用极限定义证明此数列的极限为.解：欲使,只需.(1)若给定,此时,取即可;(2)若给定,此时,取即可;(3)若给