【优化方案】高中数学 第1章§8最小二乘估计课件 北师大版必修3.ppt

6统计活动 结婚年龄的变化 7相关性 8最小二乘估计 8最小二乘估计 课堂互动讲练 知能优化训练 课前自主学案 学习目标1 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图 并利用散点图直观认识变量间的相关关系 2 学会用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程 知道最小二乘法的思想 能够根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 课前自主学案 1 抽样方法有 2 用样本估计总体主要有 用样本的 估计总体的频率分布 用样本的 估计总体的数字特征 3 样本的数字特征主要有 及 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 频率分布 数字特征 平均数 众数 中位数 方差 标准差 4 在现实生活中两个变量之间的函数关系是一种 的关系 确定 1 变量间关系 1 函数关系 两变量之间的 关系 2 相关关系 两变量之间的 关系 2 散点图在考虑两个量的关系时 为了对变量之间的关系有一个大致的了解 人们通常将 的点描出来 这些点就组成了变量之间的一个图 通常称这种图为变量之间的散点图 确定性 不确定性 变量所对应 3 曲线拟合从散点图上可以看出 如果变量之间 这些点会有一个 的大致趋势 这种趋势通常可以用一条 来近似 这样近似的过程称为曲线拟合 4 相关关系的分类 1 线性相关 若两个变量x和y的散点图中 所有点看上去都在 附近波动 则称变量间是线性相关的 存在着某种关系 集中 光滑的曲线 一条直线 y1 a bx1 2 y2 a bx2 2 yn a bxn 2 2 非线性相关 若散点图上所有点看上去都在某条曲线 不是一条直线 附近波动 则称此相关为非线性相关的 此时 可以用 来拟合 5 最小二乘法 1 定义 如果有n个点 x1 y1 x2 y2 xn yn 可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y a bx的接近程度 使得上式达到 的直线y a bx就是我们所要求的直线 这种方法称为最小二乘法 一条曲线 最小值 2 应用 利用最小二乘法估计时 要先作出数据的 如果 呈现出线性关系 可以用最小二乘法估计出线性回归方程 如果 呈现出其他的曲线关系 我们就要利用其他的工具进行拟合 散点图 散点图 散点图 6 线性回归方程 b a 这样得到的直线方程y a bx称为线性回归方程 a b是线性回归方程的 系数 1 函数关系与相关关系有何异同点 提示 2 如何利用散点图来研究两个变量之间是否存在某种关系 提示 在研究两个变量之间是否存在某种关系时 结合所画的散点图来判断 1 如果所有的样本点都落在某一函数曲线上 就用该函数来描述变量之间的关系 即变量之间具有函数关系 2 如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近 变量之间就有相关关系 3 回归直线方程的应用有哪些 提示 1 描述两变量之间的依存关系 利用线性回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系 2 利用回归方程进行预测或规定y值的变化 通过控制x的范围来实现目标 如已经得到了空气中no的浓度和汽车流量间的回归方程 即可通过控制汽车流量来控制空气中的no的浓度 3 注意作回归分析要有实际意义 回归分析前 最好先作出散点图 确定合适的拟合模型 4 回归直线 方程能否按解析几何中求直线方程的方法来求 提示 不能 求回归直线方程的方法用最小二乘法 因为所有数据点都分布在一条直线附近时 这样的直线可画出许多条 而 回归直线 是这些直线中 最贴近 已知数据点的 但不一定过数据中的某个点 故一般不按解析几何中求直线方程的方法来求 课堂互动讲练 在现实生活中存在着大量的相关关系 如何判断和描述相关关系 统计学发挥着非常重要的作用 由于变量间的相关关系带有不确定性 这就需要通过收集大量的数据 对数据进行统计分析 发现规律 从而作出科学的判断 下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据 1 将上表中的数据制成散点图 2 你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗 水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗 3 若近似成线性关系 请画出一条直线来近似表示这种线性关系 思路点拨 以横轴表示施化肥量 纵轴表示水稻产量 作出散点图 若所有点分布在一条直线 或曲线 附近 则水稻产量和施化肥量之间具有相关关系 解 1 散点图如图所示 2 从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系 当施化肥量由小到大变化时 水稻产量由小变大 图中的数据点大致分布在一条直线的附近 因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系 但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长 3 如上图所示 名师点评 判断两个变量之间是否具有相关关系有两种方法 一种方法是直观感觉判断 这时要用到已有的知识和生活经验等 另一种方法是根据散点图判断 常采用的是第二种方法 一般来说判断两个变量之间是否具有相关关系时 若两个变量具有相关关系 需要进一步判断是线性相关 还是非线性相关 自我挑战1某灯泡生产厂家为了提高灯泡的使用寿命 研究灯丝的精细x mm 与灯泡的使用寿命y 小时 之间的关系 得到如下检测数据 以横轴表示灯丝的精细x mm 纵轴表示灯泡的使用寿命y 小时 根据这些数据作出散点图 并研究它们是否具有一定的相关关系 解 这组检测数据的散点图 如图所示 显然 这些点分布在某条直线附近 因此 这两个变量具有一定的相关性 据最小二乘法思想的公式 用待定系数法求出a b 从而确定回归直线方程 某化工厂的原料中 有a和b两种有效成分 现随机抽取了10份原料样品进行抽样检测 测得a和b的含量如下表所示 其中x表示成分a的百分含量x y表示成分b的百分含量y 1 作出两个变量y与x的散点图 2 两个变量y与x是否线性相关 若是线性相关 求出线性回归方程 解 1 按照y从小到大的顺序调整表中数据 这样有利于描点 如用画图软件则不需要调整表格数据 如下表所示 散点图如图所示 2 观察散点图可知 y与x是线性相关关系 下面求线性回归方程 名师点评 用线性回归方程进行数据拟合的一般步骤是 1 把数据列成表格 2 作散点图 3 判断是否线性相关 4 若线性相关 求出系数b a的值 一般也列成表格的形式 用计算器或计算机计算 5 写出回归直线方程y a bx 利用回归直线 我们可以进行预测 若回归直线方程为y a bx 则x x0处的估计值为y a bx0 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x 吨 与相应的生产能耗y 吨标准煤 的几组对照数据 1 请画出上表数据的散点图 2 请根据上表提供的数据 用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y a bx 3 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤 试根据 2 求出的线性回归方程 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤 参考数值 3 2 5 4 3 5 4 6 4 5 66 5 解 1 由题设所给数据 可得散点图如图 因此 所求的线性回归方程为y 0 35 0 7x 3 由 2 的线性回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗 得降低的生产能耗约为 90 0 35 0 7 100 19 65 吨标准煤 名师点评 1 求线性回归方程时 应注意只有在散点图大致呈线性相关时 求出的线性回归方程才有实际意义 因此 对数据作线性回归分析时 应先看其散点图是否呈线性相关关系 2 求线性回归方程 关键在于正确地求出系数a b 由于求a b的计算量较大 计算时应仔细谨慎 分步进行 避免因计算产生失误 3 得到的实验数据不同 则a b的结果也不尽相同 自我挑战2要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响 在高一年级学生中随机抽取10名学生 分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩 如下表 1 计算入学成绩x与高一期末考试成绩y的相关关系 2 若某学生入学数学成绩为80分 试估计他高一期末数学考试成绩 3 若事实上该学生期末考试数学为94分 如何解释 解 1 从入学成绩x与高一期末考试成绩y两组变量的散点图可以看出 这两组变量具有线性相关关系 2 若某学生入学数学成绩为80分 代入上式y 0 76556x 22 41067可得 y 84 即这个学生高一期末数学考试成绩预测值为84分 3 用样本估计总体时 如果抽样的方法比较合理 那么样本可以反映总体的信息 但从样本得到的信息会有偏差 1 判断两个变量之间的关系是否是相关关系 一方面可根据日常生活的知识和经验进行判断 另一方面是画出散点图 根据散点图观察它们的分布是否存在一定的规律 直观地进行判断 2 画散点图时 平面直角坐