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1 3 1单调性与最大 小 值 函数的单调性 引入 下图为某地区24小时温度变化曲线图 y 3x 2 y x2 m n 上 函数y随x的增大而减小 在 m n 上 函数y随x的增大而增大 单调递增性 单调递减性 如何用x与f x 来描述上升的图象 如何用x与f x 来描述下降的图象 1 概念 思考 0 例1 如图是定义在闭区间 5 5 上的函数y f x 的图象 根据图象说出y f x 的单调区间 以及在每一个单调区间上 y f x 是增函数还是减函数 在区间 2 1 3 5 上是增函数 答 函数y f x 的单调区间有 5 2 2 1 1 3 3 5 其中y f x 在区间 5 2 1 3 上是减函数 例2 证明函数f x 3x 2在r上是增函数 f x1 f x2 3x1 2 3x2 2 由x1 x2 得x1 x2 0 即f x1 f x2 证明 设x1 x2是r上的任意两个实数 且x1 x2 则 3 x1 x2 于是f x1 f x2 0 所以 函数f x 3x 2在r上是增函数 取值 定号 变形 作差 判断 例3 证明函数f x 1 x在 0 上是减函数 证明 设x1 x2是 0 上任意两个实数 且x1 x2 则f x1 f x2 由于x1 x2得x1x2 0 又由x10所以f x1 f x2 0即f x1 f x2 所以f x 1 x在 0 上是减函数 小结 讨论函数的单调性必须在定义域内进行 即函数的单调区间是其定义域的子集 因此讨论函数的单调性 必须先确定函数的定义域 2 函数的单调性是针对给定区间而言的 3 根据定义证明函数单调性的一般步骤是 1 设x1 x2是给定区间内的两个值 且x1 x2 2 作差f x1 f x2 并将此差式变形 要注意变形的程度 3 判断f x1 f x2 的正负 要注意说理的充分性 4 据据f x1 f x2
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