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第六讲函数的值域与最值 回归课本2 函数y 的值域是 y 的值域为 0 y x 3的值域为 y y 0 考点陪练1 定义域为r的函数y f x 的值域为 a b 则函数y f x a 的值域是 a 2a a b b 0 b a c a b d a a b 解析 函数的图象在x轴上进行平移不改变函数的值域 答案 c 解析 当0 a 1时 f x 在 0 1 上单调递减 又值域为 0 1 f 1 0 f 0 1 此时无解 当a 1时 f x 在 0 1 上单调递增 又值域为 0 1 f 0 0 f 1 1 解得a 2 答案 a 答案 c 4 若函数f x a2 2a 3 x2 a 3 x 1的定义域和值域都为r 则a的取值范围是 a a 1或3b a 1c a 3或a 1d 1 a 3解析 若a2 2a 3 0 则函数为二次函数 不可能定义域和值域都为r 当a2 2a 3 0时 得a 1或3 但当a 3时 函数为常数函数 也不可能定义域和值域都为r 故a 1 答案 b 答案 5 类型一求函数值域的基本方法解题准备 在解题中 关键是要熟悉求函数值域的几种基本方法 遇到求值域问题 应首先考虑有哪几种基本方法 一般方法是什么 特殊方法是什么 在多种方法中选出最优方法 求函数值域没有通用方法和固定模式 要靠经验的积累 掌握规律 函数的值域问题常常化为求函数的最值问题 要注意利用基本不等式 二次函数及函数的单调性在确定函数最值中的应用 求函数值域时 不但要重视对应法则的应用 而且要特别注意定义域的制约作用 类型二复合函数值域的求法解题准备 求复合函数的值域或最值时 要考虑内函数的定义域和值域变化 同时也要考虑适合外函数解析式结构类型的求值域与最值的常用方法 两者结合才能准确地解决复合函数的值域与最值 典例2 已知函数f x 1 2ax a2x a 1 1 求函数f x 的值域 2 若x 2 1 时 函数f x 的最小值为 7 求a的值并求函数f x 的最大值 点评 在求值域时 应注意函数的类型 特别是转化到二次函数时 应注意对称轴及t g x 中t的取值范围 类型三函数值域中的综合问题解题准备 1 最大值 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 1 对于任意x i 都有f x m 2 存在x0 i 使得f x0 m 那么 我们称m是函数的最大值 2 最小值 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 1 对于任意x i 都有f x m 2 存在x0 i 使得f x0 m 那么 我们称m是函数的最小值 说明 对于单调函数 最大 小 值出现在定义域的边界处 对于非单调函数 通常借助图象求解更方便 一般地 因为恒成立的问题可以用求最值的办法来解决 而利用单调性是求最值的常用方法 有以下关系 f x a恒成立 fmin x a f x a恒成立 fmax x a 函数的单调性是研究函数的值域与最值问题的重要方法 快速解题技法函数f x x2 ax
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