利用函数性质判定方程解的存在(教学设计).doc

4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在（第1课时）教学设计赣州一中 徐美玲一、教材分析本节课选自必修一第四章第一节第一课时. 利用函数性质判定方程解的存在，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点的存在判定，是一节概念课。函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程联系在一起，本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的学习垫底基础. 因此本节课内容具有承前启下的作用，地位至关重要. 二、学情分析学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图象已经有了比较系统的认识与理解，特别是一元二次方程和二次函数在初中的学习，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入起到了很好的铺垫作用，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论的愿望，将学生置于主动参与的地位3、 教学目标(1) 知识与能力1 理解函数零点的概念；2 领会函数零点与相应方程根之间的关系；3 掌握零点存在的判断条件(2) 过程与方法由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现函数零点存在的条件；在探究中体会数形结合、特殊到一般的归纳思想. 培养学生分析问题解决问题的能力；通过运用函数值的变化判定方程解的存在性体会函数与方程思想(3) 情感、态度与价值观通过知识与生活的联系培养学生学以致用的求学情怀，培养民族自豪感(4) 数学核心素养通过生活实例与数学知识的联系，培养学生数学抽象、直观想象的素养四、重难点、易错点重点：零点的定义；零点存在定理.及其应用难点：零点存在定理及其应用易错点：零点的定义、零点存在性定理的辨析五、教学方法 启发引导 合作探究6、 教学过程v 情境导入以港珠澳大桥为背景，通过多个角度的观察而得整个大桥的细节和全貌. 揭示数学学习中的相似性，数学学习的也要求我们从多个角度看待问题，才能更全面理解问题，才能找到更好的方法解决问题；再通过大桥的海底隧道段抽象为函数图像，将大桥从海面到海底再到海面的过程类比为函数值从正连续变到负再变到正的过程，从而引出零点的概念，也为零点存在性定理作出铺垫设计意图：通过国家伟大工程，唤起学生的爱国情怀，倡导学以致用；通过大桥到图像培养数学抽象和直观想象的核心素养，培养学生类比推理的数学学习能力v 探索新知函数零点的概念对于函数，我们把使的实数x叫做函数的 零点 .问题1 零点是点吗？零点不是点，而是一个数.问题2 是不是任何函数都有零点呢？不是，函数有没有零点首先要看对应方程有没有解，方程有解则函数图像与x轴有交点，则函数有零点问题3 函数的零点与对应方程的根以及函数图像的横坐标等价吗？是等价的.设计意图：强调零点的概念，建立三者之间的等价关系，突出找零点的第一种方法：解方程.例1 函数的零点是 ( B ).A. B. C. D.变式：函数的零点是 2 .探究：函数有没有零点呢？你是怎么发现的？设计意图：1.加深对零点概念的理解；2.变式中通过将函数零点转化为和两个函数图像交点的横坐标渗透数形结合思想；3.通过将变式中9改为引出问题，“若是对应方程不会解时应该如何处理函数零点？”零点存在性的探究第一步：通过港珠澳大桥抽象出的零点附近函数值的变化得出初步条件：；第二步：通过动态课件研究二次函数零点得：验证的可行性，不能作为零点存在的条件；第三步：学生小组合作探究观察下列三个图像，并完成问题及思考题2：区间上 _（填有或无）零点； _ 0 (填).区间上 _（填有或无）零点； _ 0 (填).区间上 _（填有或无）零点； _ 0 (填).思考2 是判定函数在区间内有零点的唯一条件吗？如果不是，还需要补充什么条件就一定能判定函数在区间内有零点呢？你是怎么发现的？设计意图：从港珠澳大桥出发，先给学生一个直观印象；然后通过特殊函数到一般再到不连续的特殊形式让学生自然而然的获得存在性定理零点存在性定理如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点即：存在，使得，这个也就是方程的根口诀：判定零点并不难，函数图像不要断，一正一负两边拦，必有零点其间含思考1 若连续函数在上有，能不能说明函数在内一定无零点呢？ 不能思考2 若连续函数在上有零点，能不能确定函数在满足？不能设计意图：通过口诀帮助学生理解记忆，问题4、问题5主要是为了体现零点存在性定理中的条件是充分不必要条件，该定理的否命题、逆命题都不一定成立说明：零点存在性定理，告诉我们通过函数的角度判定方程解得存在性. 中学阶段我们所学的初等函数在定义域内都是连续的，所以在实际应用过程中我们只需要观察函数值有没有正负的变化，或者通过计算区间端点的函数值并验证乘积为负，从而判定区间内有没有零点v 小试牛刀1. 已知函数的图像是连续不断，x与的对应关系见下表，则函数在区间1,6上的零点至少有 4 个.2. 若函数在上存在零点，则a的取值范围是_a _.解析：显然是连续函数，只需，即，得a v 学以致用例2已知函数，问方程在区间内有没有实数解？为什么？解析： 又函数图像是连续不断的， 方程在区间内有实数解我们从图像上已经知道在这个方程有解，如果函数图像能够画的准确，我们也能发现函数零点的大致区间，也就是通过数形结合的方式将方程的解转化为两个函数图像的交点问题；我们也可以运用函数方程思想，把方程解得存在性问题转化为函数值的计算.例3 判定方程有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2解析：方法一：考虑函数；方法二：考虑图像（通过交点式画图） v 巩固提高1. 函数的零点是 ( B ).A. B. C. D. 2. 若函数在区间上图像为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是 C .A.若，不存在实数,使得；B.若，存在且只存在一个实数,使得；C.若，有可能存在实数,使得；D.若，可能不存在实数,使得.3. （开放题）请写出函数的零点所在的一个区间_v 回顾总结通过本节课的学习你获得了哪些基本知识？运用了哪些数学思想方法？基本知识：零点的概念; 零点存在性定理（判定零点并不难，函数图像不要断，一正一负两边拦，必有零点其间含）.数学思想：函数与方程思想，数形结