路口交通管理和隧道交通流.doc

数学建模小论文作者：赵玮泽、苏子昊、何笑添路口交通管理一、问题的提出随着工业的发展，人口和交通工具的增多，世界各国都面临交通问题，如何合理地兴建新的交通设施，如何对交通实施科学管理是两个十分重要的具体问题。运用数学方法，建立数学模型，可以提出合理的解决方案，先用十字路口交通管理方案的比较和随到交通管理为例，说明数学方法以及计算机在解决交通问题中的作用。目前，各国采用的交叉路口交通管理方法主要有两种：一种就是我们常见的红绿交通信号灯管理方法，另一种方法称为停车信号管理方法。所谓停车信号管理方法是在交叉路口设置图文停车信号和停车线。车辆遇停车信号，必须在停车线前停车，且车必须完全停稳，如无其他方向的往来车辆才能启动继续行驶。当路口有向不同方向行驶的车辆按停车信号停车时，那么按照先停先开的原则，后停的车辆必须等先停的车辆开走后方能启动行驶。现设在一定流量的情形下，考察如何控制红绿灯，使车辆在十字交叉路口滞留的时间最短，并与按停车信号管理方法的车辆的滞留时间进行比较。当然，在讨论时可以作某些简化，如在不同的场合对车流量作一些不同的简化：不考虑车辆的左转弯；不考虑路口行人与非机动车辆的影响等。还假设每个方向只有一条车道，即不能有两辆车并排向同一方向行驶。二、问题的数学描述和分析1交通信号灯管理设交通信号灯的变换是周期性的。在一个周期中，先是东西方向绿灯，东西方向的车辆可以行驶，南北方向红灯，南北方向的车辆必须等待；然后交通信号灯转换，东西向红灯，车辆等待，南北向绿灯，车辆通行。不妨将交通信号灯转换的一个周期取为单位时间，又假设两个方向的车流是均匀的。设H是单位时间从东西方向到达十字路口的车辆数，V是单位时间从南北方向到达十字路口的车辆数。假设在一个周期内东西向开红灯、南北向开绿灯的时间为R，那么在该周期内东西向开绿灯、南北向开红灯的时间为1-R。我们要确定交通灯的控制方案，即确定R，使在交通灯变换的一个周期内车辆在路口的滞留时间最短。车辆在路口的滞留时间通常包括两部分，一部分是遇红灯后的等待时间，另一部分是停车后重新发动达到正常车速所需的时间S，它是可以测定的。首先，对任意给定的R（0R1）计算车辆在路口滞留的总时间。在一个周期中从东西方向到达路口的车辆的H辆，该周期中东西向开红灯的比率为R，需停车等待的车辆共HR辆。这些车辆等待信号灯改变的时间最短为零（刚停下，信号灯就转化为绿灯），最长为R（到达路口时，信号灯刚转换为红灯），所以它们的平均等待时间是R/2。由此可知，东西向行驶的车辆在一个周期中等待的时间总和为HRR/2=HR2/2.同理可得，南北向行驶的车辆在一个周期中等待时间的总和为V（1-R）2/2.凡遇红灯的车辆都需花费S单位时间恢复正常车速，这部分时间也需计入滞留时间，因此在一个周期中，各个方向遇红灯停车的车辆总数为HR+V（1-R），对应的这一部分滞留时间为SHR+V（1-R）.所以，总滞留时间为T=SHR+V（1-R）+ HR2/2+V（1-R）2/2,或T=（H+V）R2/2-（1+S）V-SH+SV+V/2.用配方法不难求得:当R=（1+S）V-SH/（V+H）时，车辆总滞留时间最短，总滞留时间为T=-S2（H2+V2）+（2S2+4S+1）HV/2（H+V）令B=V+H，表示一个周期经过十字路口的车辆总数，上述表达式可以简化，最佳的R为R=V（1+S）-HS/B最短总滞留时间为T=-S2（H2+V2）+（2S2+4S+1）HV/2B不难发现，若忽略车辆从停车至恢复正常车速时间（S=0），最佳控制方案为R=V/B或1-R=H/B。换言之，两个方向绿灯时间之比恰好等于两个方向车流量之比。例：设路口交通灯的变换周期为2分钟，一个周期内东西向和南北向来车分别为20辆和16辆，停车后再发动到正常车速所需时间为2秒。求一个周期内东西向开红灯的最佳比率和车辆在路口滞留的总时间。解：取2分钟为时间单位，S=2/1200.0167。已知H=20，V=16。最佳东西向红灯比率为R=V（1+S）-HS/（V+H）=（161.067-200.0167）/360.426.总滞留时间为T=-S2（H2+V2）+（2S2+4S+1）HV/2（H+V） 7.407（时间单位）=14.814（分钟）。即：一周期内东西向开红灯时间为42.6%，车辆总滞留时间为14.814分钟。2停车信号管理为和信号灯管理作比较，仍取交通信号灯转换的一个周期作为时间单位。仍架设道路的东、西、南、北向都只有一个车道，在交叉路口各方向的汽车都会遇见停车信号而停车。以下建立的模型适用于有左转弯或右转弯的情形。设单位时间从各个方向到达十字路口的车辆数是B，仍用S表示一辆车停车后重新启动达到正常速度所需的时间。另外在引入一个对停车信号管理很重要的量，即在停车线上的一辆汽车启动，到下一辆汽车能够安全启动所需要的时间C，它被称为让车时间。现在我们导出单位时间内，车辆在十字路口的总滞留时间，这里假设车流是均匀的。设B辆车载单位时间内均匀地到达交叉路口，即每过1/B时间又一辆车到达路口。若C不大于1/B，那么在交叉路口不会发生堵塞，总滞留时间为T= SB，即为每辆车停车后，重新到达正常行驶速度所需时间的总和。若C大于1/B，此时一定会产生阻塞。第一辆不需等待，在第一辆车停下1/B时间后第二辆车到达，它必须等第一辆车启动并过了时间C后才能启动，因此它必须等待时间C-1/B。同理，第三辆车必须等待2（C-1/B）。一般地，第k辆车需等待（k-1）（C-1/B）。对C大于1/B，在单位时间内，车辆在路口滞留时间总和T= SB+（C-1/B）+2（C-1/B）+-+（B-1）（C-1/B）= SB+（C-1/B）B（B-1）/2。综上所述，对均匀车流而言有T= SB，若C不大于1/B；T= SB+（C-1/B）B（B-1）/2，若C大于1/B。例：某路口用停车信号管理。设考察时间为2分钟，在这段时间内有36辆车到达路口（设车辆是均匀的）。设启动时间为2秒，让车时间为3秒。求车辆在路口的总滞留时间。解：取2分钟为时间单位，S=2/1200.0167，让车时间为C0.025，来车数B=36，在本例中1/B=1/36大于C，因而T= SB=72（秒）=1分12秒。三、问题的应用我们以交通型号灯管理为例，考虑上海的道路及车辆的实际情况。市内路面上的机动车我们假设只有三种：自驾车、出租车、公交车，其中自驾车以“大众 帕萨特领驭 1.8T 手自一体 尊品型”为例大众 帕萨特领驭 1.8T 手自一体 尊品型 0-100km/h加速时间(s) 10.2出租车以“桑塔纳3000 出租专用车”为例桑塔纳3000 出租专用车 加速时间 改错13.0 秒（0-100km/h）公交车以上海申沃客车有限公司生产的“SWB6100V2型城市客车”为例SWB6100V2型城市客车 0-100Km/h加速时间(s) 90再据“2008年上海国民经济和社会发展统计公报”统计上海拥有公交运营车辆1.7万辆，运营出租车4.81万辆，私人汽车拥有量72.04万辆，假设全市车辆均匀分布我们假设在汽车正常行驶时速度为70km/h，那么自驾车加速时间为10.2*70/100=7.14（秒），出租车加速时间为13.0*70/100=9.1（秒），公交车加速时间为90*70/100=63（秒），这样我们就可以求出车辆从启动到正常行驶的平均时间S*=（7.14*72.04+9.1*4.81+63*1.7）/（1.7+4.81+72.04）=8.47（秒）。我们再根据延安高架南北高架交叉处和世纪大道杨高南路交叉处的实际情况，如下表：延安高架南北高架交叉处（南北车流、东西车流，单位mph）世纪大道杨高南路交叉处（南北车流、东西车流，单位mph）周六下午3点3025、2927、32周六下午5点3035、3435、33周六下午7点3045、3523、20周六下午9点3025、3525、25我们取2分钟为时间单位，S=8.47/120=0.0706则对于延安高架南北高架交叉处来说，H=（25+35+45+25）/4=32.5，V=（29+34+35+35）/4=33.25，最佳东西向红灯比率为R=V（1+S）-HS/（V+H）=（33.25*1.0706-32.5*0.0706）/65.75=0.5065；总滞留时间为T=-S2（H2+V2）+（2S2+4S+1）HV/2（H+V）=10.54（时间单位）=21.08（秒）。即：一周期内东西向开红灯时间为50.65%，车辆总滞留时间为21.08秒；对于世纪大道杨高南路交叉处来说，H=（27+35+23+25）/4=27.5，V=（32+33+20+25）/4=27.5，最佳东西向红灯比率为R=V（1+S）-HS/（V+H）=（27.5*1.0706-27.5*0.0706）/55=0.5；总滞留时间为T=-S2（H2+V2）+（2S2+4S+1）HV/2（H+V）=8.82（时间单位）=17.63（秒）。即：一周期内东西向开红灯时间为50%，车辆总滞留时间为17.63秒。四、问题的总结与拓展在上面的