2012-2013学年浙江省杭州市西湖高级中学高二(下)5月月.doc

高二数学试卷（理科）一、选择题1已知Z1=3i，Z2=1+i，是Z1的共轭复数，i为虚数单位，则=（）A1+iB1iC2+iD2i2观察下列等式，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102根据上述规律，13+23+33+43+53+63=（）A192B202C212D2223若a，b都是实数，则“”是“a2b20”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4设随机变量X的分布列为P（X=i）=，则P（X=2）=（）ABCD5在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第6项是（）ABCD6函数y=f（x）的图象如图所示，f（x）为f（x）的导函数，则f（1），f（2），f（2）f（1）的大小关系是（）Af（1）f（2）f（2）f（1） Bf（2）f（2）f（1）f（1）Cf（2）f（1）f（2）f（1） D f（1）f（2）f（1）f（2）7，则a3等于（）ABCD8（3分）有9 名翻译人员，其中6人只能翻译英语，2人只能翻译韩语，另外1人既可翻译英语也可翻译韩语从中选出5人分别接待5个外国旅游团，其中两个旅游团需要韩语翻译，另外三个需要英语翻译，则不同的选派方法数为（）A900B800C600D5009（3分）（1+x）n的展开式中，xk的系数可以表示从n个不同物体中选出k个的方法总数下列各式的展开式中x8的系数恰能表示从重量分别为1，2，3，4，10克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是（）A（1+x）（1+x2）（1+x3）（1+x10）B（1+x）（1+2x）（1+3x）（1+10x）C（1+x）（1+2x2）（1+3x3）（1+10x10）D（1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3）（1+x+x2+x10）10（3分）若函数f（x）=x3+a|x21|，aR，则对于不同的实数a，则函数f（x）的单调区间个数不可能是（）A1个B2个C3个D5个二、填空题11复数的虚部是_12计算=_13在4名男生3名女生中，选派3人作为“保钓活动”的志愿者，要求既有男生又有女生，且男生甲和女生乙至多只能一人参加，则不同的选派方法有_种（用数作答）14设a0，函数，若对任意的x1，x21，e，都有f（x1）g（x2）成立，则a的取值范围为_15（2012自贡三模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），定义f（x）是y=f（x）的导函数y=f（x）的导函数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”，可以发现，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一发现判断下列命题：任意三次函数都关于点（，f（）对称：存在三次函数f（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的对称中心；存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；若函数g（x）=x3x2，则，g（）+g（）+g（）+g（）=105.5其中正确命题的序号为_（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题16已知，且f5（x）展开式的各式系数和为243（）求a的值（）若g（x）=f4（x）+2f5（x），求g（x）中含x4的系数17（2012天津模拟）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1分现从盒内任取3个球（）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；（）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列18已知函数f（x）=（xk）ex（）若k=1，求f（x）在x=1处的切线方程；（）求f（x）在区间0，1上的最小值19设数列an满足（）求a2，a3，a4，并由此猜想an的一个通项公式，证明你的结论；（）若bn=an1，不等式对一切nN*都成立，求正整数m的最大值20已知函数其中a1（）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（）当1a2时，讨论函数f（x）的零点个数高二（数学试卷（理科）一、选择题1（3分）已知Z1=3i，Z2=1+i，是Z1的共轭复数，i为虚数单位，则=（）A1+iB1iC2+iD2i解答：解：Z1=3i，Z2=1+i，=2i，故选D2（3分）观察下列等式，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102根据上述规律，13+23+33+43+53+63=（）A192B202C212D222解答：解：所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里3+3=6，6+4=10），由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为10+5+6=21又左边为立方和，右边为平方的形式，故有13+23+33+43+53+63=212故选C点评：本题考查了，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理它与演绎推理的思维进程不同归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程属于基础题3（3分）若a，b都是实数，则“”是“a2b20”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解答：解：由“”可得 ab0，故有“a2b20”成立，故充分性成立由“a2b20”可得|a|b|，不能推出，故必要性不成立故“”是“a2b20”的充分而不必要条件，故选A4（3分）（文科）设随机变量X的分布列为P（X=i）=，则P（X=2）=（）ABCD分析：根据所给的随机变量的分布列，写出各个变量对应的概率，根据分布列中各个概率之和是1，把所有的概率表示出来相加等于1，得到关于a的方程，解方程求得a的值，最后求出P（X=2）解答：解：P（X=i）=，a=3，P（X=2）=故选C5（3分）在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第6项是（）ABCD分析：由展开式中只有第5项的二项式系数最大可求得n值，根据二项展开式的通项公式可求得展开式中的第6项解答：解：因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以+1=5，解得n=8，则展开式中的第6项T5+1=，故选C6（3分）函数y=f（x）的图象如图所示，f（x）为f（x）的导函数，则f（1），f（2），f（2）f（1）的大小关系是（）A f（1）f（2）f（2）f（1）B f（2）f（2）f（1）f（1）Cf（2）f（1）f（2）f（1）D f（1）f（2）f（1）f（2）分析：f（2）f（1）=，其几何意义表示两点连线斜率，作出图象，再由导数的几何意义可作出大小比较解答：解：f（2）f（1）=，其几何意义表示过两点（1，f（1），（2，f（2）割线的斜率，而f（1），f（2）的几何意义分别为：点（1，f（1），（2，f（2）处的切线斜率，作出相应切线、割线如图所示：由图象可知，f，故f（1）f（2）f（1）f（2），故选D7（3分）若，则a3等于（）ABCD分析：易知a3为展开式中x3的系数，利用二项式定理及组合数的性质可求得答案解答：解：由已知条件知a3为展开式中x3的系数，=，故选C8（3分）有9 名翻译人员，其中6人只能翻译英语，2人只能翻译韩语，另外1人既可翻译英语也可翻译韩语从中选出5人分别接待5个外国旅游团，其中两个旅游团需要韩语翻译，另外三个需要英语翻译，则不同的选派方法数为（）A900B800C600D500分析：解题时要特殊元素特殊处理，分成三类：不要那个全能的人；全能的人去做韩语翻译；全能的人做英语翻译由此能求出结果解答：解：分三类：不要那个全能的人，有种不同的选派方法；全能的人去做韩语翻译，有种不同的选派方法；全能的人做英语翻译，有种不同的选派方法由分类计数原理知，不同的选派方法数为+=900种故选A9（3分）（1+x）n的展开式中，xk的系数可以表示从n个不同物体中选出k个的方法总数下列各式的展开式中x8的系数恰能表示从重量分别为1，2，3，4，10克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是（）A（1+x）（1+x2）（1+x3）（1+x10） B（1+x）（1+2x）（1+3x）（1+10x）C（1+x）（1+2x2）（1+3x3）（1+10x10） D（1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3）（1+x+x2+x10）分析：x8是由x、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10 中的、指数和等于8 的那些项的乘积构成，有多少种这样的乘积，就有多少个 x8而各个这样的乘积，分别对应从重量1、2、3、10克的砝码（每种砝码各一个）中，选出若干个表示8克的方法，从而得出结论解答：解：x8是由x、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10 中的、指数和等于8 的那些项的乘积构成，有多少种这样的乘积，就有多少个 x8各个这样的乘积，分别对应从重量1、2、3、10克的砝码（每种砝码各一个）中，选出若干个表示8克的方法故“从重量1、2、3、10克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个使其总重量恰为8克的方法总数”，就是“（1+x）（1+x2）（1+x3）（1+x10）”的展开式中x8的系数”，故选 A10（3分）若函数f（x）=x3+a|x21|，aR，则对于不同的实数a，则函数f（x）的单调区间个数不可能是（）A1个B2个C3个D5个分析：先令a=0，即可排除A，再将函数化为分段函数，并分段求其导函数，得f（x），最后利用分类讨论，通过画导函数f（x）的图象判断函数f（x）的单调区间的个数，排除法得正确判断解答：解：依题意：（1）当a=0时，f（x）=x3，在（，+）上为增函数，有一个单调区间 当a0时，f（x）=x3+a|x21|aRf（x）=f（x）=（2）当0a时，0，0，导函数的图象如图1：（其中m为图象与x轴交点的横坐标）x（，0时，f（x）0，x（0，m）时，f（x）0，xm，+）时，f（x）0，f（x）在x（，0时，单调递增，x（0，m）时，单调递减，xm，+）时，单调递增，有3个单调区间 （3）当a3时，1，1，导函数的图象如图2：（其中n为x1时图象与x轴交点的横坐标）x（，n时，f（x）0，x（n，1时，f（x）0，x（1，0）时，f（x）0，x0，1）时，f（x）0，x1，+）时，f（x）0函数f（x）在x（，n时，单调递增，x（n，1时，单调递减，x（1，0）时，单调递增，x0，1）时，单调递减，x1，+）时，单调递增，有5个单调区间 由排除A、C、D，故选B二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11（4分）复数的虚部是1分析：由复数的运算法则化简已知复数，可求其虚部解答：解：由复数的运算法则化简可得=i（12i）=2+i，复数的虚部为：1故答案为：112（4分）计算=31分析：由题意可得 017n2n，03n13+n，结合nZ可得 n=6，从而求得 的值解答：解：由题意可得 017n2n，03n13+n，解得 n，再由nZ可得 n=6，=+=+=31，故答案为 3113（4分）在4名男生3名女生中，选派3人作为“保钓活动”的志愿者，要求既有男生又有女生，且男生甲和女生乙至多只能一人参加，则不同的选派方法有25_种（用数作答）分析：先求不考虑特殊情况的方法，再考虑只有男生，女生；男生甲和女生乙都参加的方法，即可求得结论解答：解：由题意，不考虑特殊情况，共有=35种；只有男生，共有=4种；只有女生，共有1种；男生甲和女生乙都参加，共有3+2=5种，所以满足条件的不同的选派方法有35415=25种，故答案为：2514（4分）设a0，函数，若对任意的x1，x21，e，都有f（x1）g（x2）成立，则a的取值范围为e2，+）分析：求导函数，分别求出函数f（x）的最小值，g（x）的最大值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围解答：解：求导函数，可得g（x）=1，x1，e，g（x）0，g（x）max=g（e）=e1 ，令f（x）=0，a0，x=当0a1，f（x）在1，e上单调增，f（x）min=f（1）=1+ae1，ae2；当1ae2，f（x）在1，上单调减，f（x）在，e上单调增，f（x）min=f（）=e1 恒成立；当ae2时 f（x）在1，e上单调减，f（x）min=f（e）=e+e1 恒成立综上ae2故答案为：e2，+）15（4分）（2012自贡三模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），定义f（x）是y=f（x）的导函数y=f（x）的导函数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”，可以发现，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一发现判断下列命题：任意三次函数都关于点（，f（）对称：存在三次函数f（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的对称中心；存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；若函数g（x）=x3x2，则，g（）+g（）+g（）+g（）=105.5其中正确命题的序号为（把所有正确命题的序号都填上）分析：根据函数f（x）的解析式求出f（x）和f（x），令f（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0）的对称中心；利用三次函数对称中心的定义和性质进行判断；由g（x）=x3x2的对称中心是（），得g（x）+（g（1x）=1，由此能求出g（）+g（）+g（）+g（）解答：解：f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），f（x）=3ax2+2bx+c，f（x）=6ax+2b，任意三次函数都关于点（，f（）对称，即正确；任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，存在三次函数f（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0）为y=f（x）的对称中心，即正确；任何三次函数都有且只有一个对称中心，故不正确；g（x）=x3x2，g（x）=x2x，g（x）=2x1，令g（x）=2x1=0，得x=，g（）=，函数g（x）=x3x2的对称中心是（），g（x）+（g（1x）=1，g（）+g（）+g（）+g（）=105.5，故正确故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共50分）16（10分）已知，且f5（x）展开式的各式系数和为243（）求a的值（）若g（x）=f4（x）+2f5（x），求g（x）中含x4的系数分析：（）由已知可得（1+a）5=243，由此解得a的值（）由于g（x）=（1+2x）4+2（1+2x）5，可得 g（x）中含x4的系数为 24+224，运算求得结果解答：解：（）由已知，且f5（x）展开式的各式系数和为243，可得（1+a）5=243，解得a=2（）g（x）=f4（x）+2f5（x）=（1+2x）4+2（1+2x）5，g（x）中含x4的系数为 24+224=16+160=17617（10分）（2012天津模拟）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1分现从盒内任取3个球（）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；（）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望分析：（）可以求其反面，一个红球都没有，求出其概率，然后求取出的3个球中至少有一个红球的概率，从而求解；（）可以记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，求出事件B和C的概率，从而求出3个球得分之和恰为1分的概率；（）可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，然后再根据期望的公式进行求解；解答：解：（）取出的3个球中至少有一个红球的概率： （3分）（）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则 （6分）（）可能的取值为0，1，2，3（7分），的分布列为：0123P的数学期望（13分）；18（10分）已知函数f（x）=（xk）ex（）若k=1，求f（x）在x=1处的切线方程；（）求f（x）在区间0，1上的最小值分析：（）先求在x=1处的导数得到切线的斜率，然后求出切点坐标，根据点斜式方程可求出切线方程；（）求导，令f（x）=0，得x=k1，对k1是否在区间0，1内进行讨论，从而求得f（x）在区间0，1上的最小值解答：解：（）f（x）=xex，f（1）=e，而f（1）=0，f（x）在x=1处的切线方程为：y0=e（x1）即y=exe；（）f（x）=（xk+1）ex，令f（x）=0，得x=k1，当k10，即k1时，函数f（x）在区间0，1上单调递增，f（x）在区间0，1上的最小值为f（0）=k；当0k11，即1k2时，由（I）知，f（x）在区间0，k1上单调递减，f（x）在区间（k1，1上单调递增，f（x）在区间0，1上的最小值为f（k1）=ek1；当k11，即k2时，函数f（x）在区间0，1上单调递减，f（x）在区间0，1上的最小值为f（1）=（1k）e；综上所述f（x）min=19（10分）设数列an满足（）求a2，a3，a4，并由此猜想an的一个通项公式，证明你的结论；（）若bn=an1，不等式对一切nN*都成立，求正整数m的最大值分析：（）依题意计算，得a1=2，得a2=3，a3=4，a4=5，由此猜想an=n+1再用数学归纳法证明即可；（）由bn=an1=n，可求得+=+，设f（n）=+，可求得f（n+1）=f（n）+f（n），从而可得f（n+1）f（n）f（1）=，继而可求得正整数m的最小值解答解：（）由a1=2，得a2=a1+1=3，由a2=3，得a3=2a2+1=4，由a4=3a3+1=5，由此猜想an=n+1下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，a1=1+1，猜想成立；（2）假设当n=k时，猜想成立，即ak=k+1，那么当n=k+1时，ak+1=kak+1=（k+1）2k（k+1）+1=k+2=（k+1）+