勾股定理小结.doc

第十八章 勾股定理小结 教学目标 一、知识与技能 1对直角三角形的特殊性质全面地进行总结 2让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程；体会勾股定理及其逆定理的广泛应用 3了解勾股定理的历史 二、过程与方法 1体会在结论获得和验证过程中的数形结合的思想方法 2在回顾与思考的过程中，提高学生解决问题，反思问题的能力，鼓励学生具有创新精神 三、情感态度与价值观 1在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣 2通过对勾股定理历史的了解，培养学生的爱国主义精神，体验科学给人类带来的力量 教学重点 1回顾并思考勾股定理及其逆定理获得和验证的过程；总结直角三角形边、角之间分别存在的关系 2体会勾股定理及其逆定理在生活中的广泛应用 教学难点 1勾股定理及其逆定理的广泛应用 2建立本章的知识框架图 教具准备 多媒体课件 教学过程 一、引入新课 勾股定理，我们把它称为世界第一定理它的重要性，通过这一章的学习已深有体验首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理的发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在实数一章里讲到第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整解答的最早的不定方程，由此由它引导出各式各样的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明 勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用 二、回顾与思考 问题1：直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？ 师：在上一学期我们已对直角三角形有所涉及，而这一章我们又重点研究了直角三角形的性质现在我们来回答问题1，从直角三角形的边、角的特殊性角度全面地进行总结 生：从边的关系来说，当然就是勾股定理；从角的关系来说，由于直角三角形中有一个特殊的角即直角，所以直角三角形的两个锐角互余 生：我认为直角三角形作为一个特殊的三角形，如果又有一个锐角是30，那么30的角所对的直角边是斜边的一半 师：很好我们的学习就应该是一个不断总结、概括、创新的过程随着以后的学习，你会发现，直角三角形还有它更吸引人的地方下面我们来看第2个问题 问题2：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形 生：判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断 例如：在ABC中，B=75，C=15，根据三角形的内角和定理，可得A=90根据定义可判断ABC是直角三角形 在ABC中，A=B=C，由三角形的内角和定理可知A+2A+3A=180，所以A=30，B=2A=60，C=3A=90，ABC是直角三角形 上面两个例子都是从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形 生：我来说一下从边如何去判断一个三角形是直角三角形吧其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件（即勾股定理的逆定理） 例如：ABC的三条边分别为a=7，b=25，c=24，而a2+c2=72+242=625=252=b2，即a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理可知ABC是直角三角形但这里要注意的是b所对的角B=90 ABC三条边的比为a：b：c=5：12：13，则可设a=5k，b=12k，c=13k，a2+b2=25k2+144k2=169k2，c2=（13k）2=169k2，所以，a2+b2=c2，ABC是直角三角形 师：同学们对我们所学知识能很灵活地运用在谈到应用这些知识的同时，我们不妨重温一下勾股定理的获得和验证的，体会验证过程中的数形结合的思想和方法，对于我们将来学习和研究数学会大有益处 生：勾股定理获得是从一些特例猜想得到的我们在方格纸上任意画出一个直角三角形，使它的每个顶点都在方格纸的交点上，然后以它的每个边为边长在外部长出三个正方形，我们通过讨论、计算、数格子的方法得到了三个正方形的面积，并且发现以斜边为边长的正方形的面积等于那两个以直角边为边长的正方形的面积和，我们设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，大正方形的面积是c2，两个小正方形的面积为a2、b2，由上面的关系，我们猜想，是不是所有的直角三角形都有a2+b2=c2这个结论呢？ 师：这位同学的思路很好勾股定理又是如何验证的呢？ 生：先是又找了几个特例验证，发现这个结论正确但我们不可能把所有的直角三角形都拿来验证，仅此说明它正确，又不可信接下来，我们就用先人的方法拼图，从一般意义上证明了勾股定理：取四个全等的直角三角形，将它们拼摆，得到一个以斜边为边长的正方形，通过用两种方法表示拼出的整个图形的面积，找到相等关系，从而得到勾股定理 师：在我们的数学史上，好多结论的发现都是这样一个过程，都是从几个或大量的特例中发现规律，大胆猜想出结论，然后以前面的理论作为基础，证明猜想，一个伟大的成果就诞生了掌握这种研究数学的方法，大胆创新，刻苦钻研，就不一定你就是未来的商高，第二个赵爽 问题3：请你举生活中的一个实例，并运用勾股定理解决它 （这个问题可让学生在小组内交流讨论，实例已由学生事先准备好，然后每组推荐一个最好的实例，展示给全班同学在全班进行交流）生：例如：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力如下图，据气象观测，距沿海城市A的正南方向260千米B处有一台风中心，沿BC的方向以15千米/时的速度向D移动，已知AD是城市A距台风中心的距离最短，且AD=100千米，求台风中心经过多长时间从B点移到D点？ 解：根据题意可知ADBC 在RtABD中，AB=260千米，AD=100千米，AB2=AD2+BD2，所以BD2=AB2-AD2=2602-1002=2402，BD=240千米则台风中心经过240千米15千米/时=16（小时）从B点移到D点 生：例如：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米吗？试说明理由解：根据题意，可知：下图中AB=DE=10米，AC=8米，AD=2米，所以DC=8-2=6米 在RtABC中，BC=AB-AC=10-8=36，BC=6米，在RtCDE中，CE2=DE2-CD2=102-62=82，CE=8米，则BE=CE-CB=8-6=2米 所以顶端向下滑动2米，底端也水平滑动2米 师：我们从学习这一章开始，就让同学们通过各种渠道收集勾股定理史料现在我们就来介绍一下你们收集到的有关勾股定理的史料吧 问题4：你了解勾股定理的史料吗？ 生：在上古时代，人类虽然“愚昧无知”，但是，当他们仰望苍穹时，也会引起无穷无尽的遐想，经常有人提出这样的问题：天有多高？ 要是从天地的形成来解释，也是有数的，据说，天和地原先是混沌的一团，像个大鸡蛋，后来降生一个神，叫盘古，由他来开天辟地据说“天日高一丈，地日厚一丈，盘古日长一丈，如此万八千岁”盘古的身子每天长高一丈，一万八千年后，这个顶天立地的大汉有多高，天也就是多高了 虽然人们歇力探索通往天庭的路径，但希望是渺茫的 约在公元前12世纪，周朝政治家姬旦（即周公）首先考虑到确定“天高”的问题当时，他要搞一番建设事业，需要广泛的科学技术的知识，也涉及测量问题，于是，他就把知名的学者商高找来，问道：“听说你的数学造诣很深，请你谈谈，古代伏羲是怎样确定天球的度数的？没有台阶走上庭，也没有办法用尺子量测大地，那么，怎么知道天高地广的数呢？” 这就是数学史上有名的“周公问数”这段话记载在周髀算经的首页 昔者，周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？” 骨髀算经问世至今已经两千年了它所写的周公则是距今三千年以前的古人他居然能够提这样大胆的设想测天量地，实在难能可贵不过，被问者商高也不含糊，当即胸有成竹地作出合乎科学道理的回答 商高认为：“数之法出自圆方”于是他联想到存在于矩之中的微妙内在关系：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”从此建立了直角三角形中的三边关系，即勾、股、弦构成三、四、五的关系 商高的这桩发现在数学史上形成了一个新的里程碑，是对人类处理生活和生产问题，以及加强对大自然斗争手段的重要贡献后人在他的基础上进一步探索，终于确定了“勾股定理”：a2+b2=c2式中a、b直角三角形直角边；c直角三角形的斜边 商高答问的时间约在公元前12世纪，而在西方，则在公元前6世纪才由古希腊数学家毕达哥拉斯发现“毕氏定理”（即我国的“勾股定理”） 那么，回到“天有多高”问题上来，商高用什么方法来测天量地呢？ 他的主要方法就是使用直角三角形中的勾、股、弦关系，并且确信，除非数学被应用于水工技术，否则大禹是不可能占胜洪水的 就这样，周髀算经提出一则“荣子与陈子的回答”的故事来具体说明商高方法的应用 师：这位同学讲得很好陈子测日高的方法确实是一项了不起的发明，虽然由于大地不是平的，导致所得结果的误差太大，因此用这种方法测日高是不准确的，但是，这种方法却可以用于测量高耸景物的高度和距离，陈子称自己的方法是“望远起高之术”，为后人测度“可望不可及”的景物提供极好的线索 由于时间关系，对勾股定理的历史同学们可继续收集、交流、讨论 三、课时小结 通过回顾与思考中的问题的交流由同学们自己建立本章的知识结构图 直角三角形 板书设计 本章小结 1回顾与思考 问题1：直角三角形的边、角之间分别存在什么关系？ 在RtABC中，C=90，则有A+B=90，a2+b2=c2 问题2：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形？ 在ABC中如果A+B=90，则ABC是直角三角形如果a2+b2=c2，则ABC是直角三角形 问题3：举生活实例，用勾股定理解决它 例1台风问题 例2梯子问题 问题4：勾股定理史料 2本章知识结构图 直角三角形 活动与探究如下图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长 过程：“折叠”问题是数学中常见问题之一由折叠的过程可知AFEADE，AD=AF，DE=EF，在RtABF中，AB=8cm，AF=10cm，BF2=AF2-AB2=102-82=62，BF=6，FC=BC-BF=10-6=4cm，如果设CE=xcm，DE=（8-x）cm，所以EF=（8-x）cm 在RtCEF中，EF2=CF2+CE2，用这个关系就可建立关于x的方程解出x便求得CE 结果：解：根据题意，得 （8-x）2=42+x2 所以x=3，即CE的长为3cm 习题详解 复习题18 1解：两人从同一地点同时出发10分后，一人向北直行200米，一人向东直行300米，此时，他们相距=100米 2解：根据题意AC=110mm所以两孔中心的垂直距离110mm 3解：覆盖在顶上的塑料薄膜需 1033.5m2 4解：根据题意，设三角形的三边分别为k，k，2k，（k）2+k2=（2k）2，所以这个三角形是直角三角形 5（1）逆命题：同位角相等，两条直线平行此逆命题成立； （2）逆命题：如果两个数的积是正数，那么这两个数是正数，此逆命题不成立； （3）逆命题：锐角三角形是等边三角形，此逆命题不成立； （4）逆命题：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等此逆命题成立6解：（1）四边形ABCD的面积为： 56-（24+15+21+14+15） =30-（4+1+2+6） =30-13- =14.5四边