高三数学二轮复习 第一篇 专题3 第4课时推理与证明课件 理.ppt

第4课时推理与证明 1 归纳和类比是常用的合情推理 从推理形式上看 归纳是由部分到整体 个别到一般的推理 类比是由特殊到特殊的推理 而演绎推理是由一般到特殊的推理 从推理所得的结论来看 合情推理的结论不一定正确 有待进一步证明 演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下 得到的结论一定正确 2 数学证明常用的方法主要有直接法和间接法 综合法和分析法是直接证明常用的方法 也是解决数学问题时常用的思维方式 当数学问题直接证明比较困难或直接证明无法进行时 可以采用间接证明 间接证明最主要的方法是反证法 综合法的优点是条理清晰 分析法不仅是一种证明方法 更是一种寻找思路的方法 在学习中要学会分析思路 另外 在书写格式上要规范 反证法是常见的一种间接证明方法 注意 反设 即命题的否定要准确 3 数学归纳法可以用来证明与自然数有关的等式 不等式 整除及几何等问题 证明时 较为困难的是第二步 克服这一困难的关键 一是弄清式子的构成规律 即n的变化使等式的结构引起哪些变化 即n k 1时与n k时的变化 二是充分利用题目中的条件和假设的条件 即n k时的等式 通常称为 用假设 三是适当进行恒等变形 变形的目的在于 用假设 构造成n k 1时等式的形式 数学归纳法证题过程中 一定要注意逻辑关系 切不可生搬硬套 2011 陕西卷 观察下列等式1 12 3 4 93 4 5 6 7 254 5 6 7 8 9 10 49照此规律 第n个等式应为 解析 1 12 2 3 4 9 32 3 4 5 6 7 25 52 第n个等式为n n 1 3n 2 2n 1 2 答案 n n 1 3n 2 2n 1 2 归纳推理的一般步骤是 1 通过观察个别事物发现某些相同的性质 2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题 一般情况下 归纳的个别事物越多 越具有代表性 推广的一般性结论也就越可靠 本题是一道合情推理与演绎推理的综合性问题 这类问题常常是新课标高考的热点问题 体现了高考命题的创新 由于我们在归纳推理 类比推理中所得的结论的正确性是有待证明的 因此演绎推理就为我们提供了最有效的工具 如本题 先利用类比推理得出一个结论 再利用演绎推理来证明 这就为我们的发现 猜想的正确性提供了一种判断的方法 2 在平面上 若两个正三角形的边长的比为1 2 则它们的面积比为1 4 类似地 在空间中 若两个正四面体的棱长的比为1 2 则它们的体积比为 答案 1 8 1 有关否定性结论的证明常用反证法或举反例 2 综合法和分析法是直接证明常用的两个方法 我们常用分析法寻找解决问题的突破口 然后用综合法来写出证明过程 通常是用综合法由已知的条件 定理 公理等出发 进行推导 同时用分析法由要求 证 的结论逆推 寻找出解题 通道 即分析法和综合法交替使用 3 设 an 是公比为q的等比数列 sn是它的前n项和 1 求证 数列 sn 不是等比数列 2 数列 sn 是等差数列吗 为什么 解析 本题 1 是否定性命题 可以尝试反证法 1 证明 证法一 反证法 若 sn 是等比数列 则s22 s1s3 即a12 1 q 2 a1 a1 1 q q2 a1 0 1 q 2 1 q q2 即q 0 与q 0矛盾 故 sn 不是等比数列 证法二 欲证数列 sn 不是等比数列 只需证明snsn 2 sn 12 sn 1 a1 qsn sn 2 a1 qsn 1 snsn 2 sn 12 sn a1 qsn 1 a1 qsn sn 1 a1 sn sn 1 a1an 1 0 snsn 2 sn 12成立 故 sn 不是等比数列 2 当q 1时 sn 是等差数列 当q 1时 sn 不是等差数列 否则s1 s2 s3成等差数列 即2s2 s1 s3 2a1 1 q a1 a1 1 q q2 由于a1 0 2 1 q 2 q q2 q q2 q 1 q 0与q 0矛盾 q 1时 sn 不是等差数列 证明与正整数有关的某些数学命题 数学归纳法是常常使用的一种方法 首先要熟知数学归纳法证明问题的一般步骤 即 1 验证命题对于第一个自然数n n0 k n0 时成立 2 假设n k时成立 从而证明当n k 1时命题也成立 其次要注意 1 数学归纳法是一种完全归纳法 这两步在推理中的作用是 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 二者缺一不可 2 在运用数学归纳法时 要注意起点n0 并非一定取1 也可能取0 2等值 要看清题目 3 第二步证明的关键是要运用归纳假设 特别要弄清由k到k 1时命题变化的情况 4 在数列 an bn 中 a1 2 b1 4 且an bn an 1成等差数列 bn an 1 bn 1成等比数列 n n 求a2 a3 a4及b2 b3 b4 由此猜测 an bn 的通项公式 并证明你的结论 解析 由条件得2bn an an 1 an 12 bnbn 1 由此可得a2 6 b2 9 a3 12 b3 16 a4 20 b4 25 猜测an n n 1 bn n 1 2 用数学归纳法证明 当n 1时 由上面可得结论成立 1 易错提示 1 不能通过已知归纳出fn x 的关系式 2 未注意分母中的x的系数和常数项的关系 2 正确引导本题实质是根据前