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线性代数 C 试题汇编 1 线性代数 C 试题汇编 编辑 2011 级 李雪伟 说 明 1 本试题集收录试题共 8 套 2002 年至 2007 年 2009 年至 2010 年 供训练 复习使用 2 本试题汇编答案仅供参考 个别试题在勘误时存在疑问 不排除答案存在错误的可能 1 试题部分 目 录 一 2002 2003 学年线性代数 C 期末试题 2 二 2003 2004 学年线性代数 C 期末试题 3 三 2004 2005 学年线性代数 C 期末试题 4 四 2005 2006 学年线性代数 C 期末试题 5 五 2006 2007 学年线性代数 C 期末试题 6 六 2007 2008 学年线性代数 C 期末试题 7 七 2009 2010 学年线性代数 C 期末试题 9 八 2010 2011 学年线性代数 C 期末试题 10 线性代数 C 试题汇编 2 一 2002 2003 学年线性代数 C 期末试题 一 6 分 计算行列式 11 22 11 n nn nn abOOO OabOO OOab bOOa D 二 6 分 设行列式 2315 1578 2222 6153 A 求 11121314 AAAA的值 其中 ij A是A 中元素 ij a的代数余子式 1 2 3 4i j 三 12 分 已知 123 1 4 0 2 2 7 1 3 0 1 1 3 10 4ab 问 1 a b取何值时 不能由 123 线性表示 2 a b取何值时 可由 123 线性表示 并写出表达式 四 12 分 设三维列向量 1 0 1 三阶方阵3 AE 其中E为 3 阶单位阵 1 求矩阵A 2 求逆矩阵 1 A 五 12 分 4 元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为 3 已知 123 为它的三个解向量 且 123 4 1 0 2 1 0 1 2 求此方程的通解 六 10 分 求过渡矩阵 非考试范围 略 七 12 分 设 3 阶实对称矩阵 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 求正交矩阵Q使 1 Q AQ 并写出对角矩 阵 八 15 分 设 3 元二次型 求 1 用矩阵的合同变换法 初等变换法 将其化为是属于上的规范型 并写出可逆替换矩阵 C 2 求出二次型的秩与正惯指数 3 判定 123 f x x x是否为正定二次型 九 7分 设 是n阶矩阵A的特征值 X是A对应于 的特征向量 又设m是 A的特 线性代数 C 试题汇编 3 征值 Y是 A对应于m的特征向量 若m 证明X与Y正交 十 8分 设A与B是两个n阶正定矩阵 证明A与B合同 二 2003 2004 学年线性代数 C 期末试题 一 计算行列式 每题6分 共12分 1 设A是n阶方阵 A AE且1 A 求 AE 2 计算n阶行列式 n xaa axa aax D 二 12分 已知向量组 123 1 1 1 3 1 3 5 1 3 2 1 2 p 4 2 6 10 p 问 1 p取何值时 向量组 1234 线性无关 2 试将 4 1 6 10 用 1234 线性表出 三 12分 设矩阵 111 111 111 A 矩阵X满足 1 2 A XAX 其中 A为A的 伴随矩阵 求矩阵X 四 12分 设 11 2 EC B AC其中E是4阶单位矩阵 A是4阶矩阵A的转置矩阵 其中 12321201 01230120 00120012 00010001 BC 求矩阵A 五 12分 设矩阵 220 212 020 A 求正交矩阵T 使得 1 T AT为对角矩阵 六 10分 确定 的值 使二次型 2222 1231231 2231 34 222f x x xxxxx xx xx xx 为正定二次型 七 14分 设3元二次型 22 12311 21 3233 2423f x x xxx xx xx xx 求 1 用矩阵的合同变换法 初等变换法 化二次型为规范型 线性代数 C 试题汇编 4 2 写出所做的可逆线性替换矩阵C 并指出二次型的秩与符号差 八 证明题 本题有2 小题 每小题8分 共16分 1 设 是非齐次线性方程组 Axb的一个解 12 n r 是其导出组 Ax的一个 基础解系 试证明 12 n r 线性无关 2 已知两实对称矩阵A与B相似 证明 存在正交矩阵P 使得 1 P AP B 三 2004 2005 学年线性代数 C 期末试题 一 计算 每题8分 共16分 1 求行列式 1111 1111 1111 1111 x x x x 的值 2 设矩阵 A是n阶矩阵A的伴随矩阵 求出 A A的值 二 12分 设非奇异矩阵A的一个特征值2 试求出 1 2 1 3 A的一个特征值 三 12分 设矩阵 101 020 101 A满足 2 ABE AB 求矩阵B 四 12分 已知矩阵A是4元非齐次方程组的系数矩阵 且 123 3 r A是该方程 组的三个不同解向量 其中 12313 22 4 6 8 31 3 5 7 试求出4元 非齐次方程组的全部解 五 12分 设矩阵 204 060 402 A 求正交矩阵Q 使得 1 Q AQ为对角阵 六 12分 试确定a的值 使 222 12311 2231 323 5422f x x xxx xxaxx xx x 为正定 二次型 七 12分 设3元二次型 22 12311 21 3233 2265f x x xxx xx xx xx 求 1 用矩阵的合同变换法 初等变换法 化二次型为标准型 2 写出所做的可逆线性替换矩阵C 并指出二次型的秩与正惯指数 八 证明题 本题有3小题 每小题4分 共12分 线性代数 C 试题汇编 5 1 设 是非齐次线性方程组 Axb的一个解 12 n r 是其导出组 Ax的一个 基础解系 且 12 n r 线性无关 试证明 12 n r 线性无关 2 设矩阵A可相似对角化 则其转置矩阵 A也可以相似对角化 3 已知A是n阶正定矩阵 试证明1 AE 四 2005 2006 学年线性代数 C 期末试题 一 计算 每题8分 共16分 1 求行列式 4 2222 2222 2222 2222 x x y y D的值 2 设4阶方阵 234234 A B 其中 234 为4维列向量 并且4 3 AB 求出 AB的值 二 10分 设4阶方阵 A B C满足方程 11 2 EC B AC 试求矩阵A 其中 12321201 01230120 00120012 00010001 BC 三 12分 求矩阵X 使 11 AXBAA BX 其 中 200600 010 012 001021 AB 四 12分 设A为3 4矩阵 2r A 且已知非齐次线性方程组 Axb的三个解为 123 124 115 013 2411 求 1 齐次线性方程组 Ax的通解 2 用基础解系表示出4元非齐次线性方程组 Axb的全部解 线性代数 C 试题汇编 6 五 12分 已知实对称矩阵 011 101 110 A 求 正交矩阵Q 使得 1 Q AQ为对角阵 六 10分 设二次型 222 1231231 21 323 55266f x x xxxcxx xx xx x 的秩为2 求出 常数c的值 七 16分 设3元二次型 2 12311 21 323 3224f x x xxx xx xx x 求 1 用矩阵的合同变换法 初等变换法 化二次型为标准型 2 求出二次型的规范型 3 写出所做的可逆线性替换矩阵C 并指出二次型的秩与正惯指数 八 证明题 本题有3小题 每小题4分 共12分 1 设向量组 123 线性无关 证明 向量组 1223123 32 2 线性无关 2 设A为n阶可逆矩阵 且 2 AA E 证明 AA 3 设A B 为n阶正定矩阵 证明 AB也为正定矩阵 五 2006 2007 学年线性代数 C 期末试题 一 计算题 本题32 分 每小题8分 共4 题 1 8分 计算4阶行列式4 00 00 00 00 abab abab abab abab D 2 8 分 已 知 5 阶 行 列 式5 12345 22211 31245 11122 43150 D 27 其 中4142434445 AAAAA 是 4143454244 aaaaa 的代数余子式 求 1 414243 AAA 的值 2 4445 AA 的值 3 8 分 设3阶矩阵 201 31 405 x A 可相似对角化 求x的值 线性代数 C 试题汇编 7 4 8 分 求二次型 1 1231232 3 102 232 080 x f x x xx x xx x 的秩 二 计算题 本题共3小题 共28分 5 8 分 设3元非齐次线性方程组 AXB 已知 2r A 123 为方程组的解向量 并且 1213 3 1 1 2 0 2 求 3元非齐次线性方程组 AXB的全部 解 6 10 分 已知3阶矩阵 100 020 001 A 满足关系 28 A BABAE 其中 A为矩阵 A的伴随矩阵 求矩阵B 7 10 分 设向量组 123 1 1 2 1 0 2 2 4 2 0 3 0 6 1 1 4 0 3 0 0 1 求 出 向量组的一个极大无关组 并用极大无关组表示出其余向量 二 计算题 本题共两小题 共30分 8 15分 设3阶实对称矩阵A的特征值 12 0 1 二重 若 1 1 0 0 23 0 1 1 2 3 3 都是A的属于特征值 2 1 的特征向量 求 1 矩阵A的属于特征值 1 0 的特征向量 2 矩阵 3 A 9 15 分 已知3元二次型 1231 21 323 222f x x xx xx xx x 求 1 用合同变换法求其标准形及可逆线性替换矩阵C 2 写出二次型的规范形 3 写出二次型的正惯性指数及符号差 四 证明题 本题共2小题 每小题5分 10 5 分 设A是一个n阶可逆矩阵 A是A的伴随矩阵 试证 1 1 AA 11 5 分 设n阶矩阵A与m阶矩阵B都是正定矩阵 证明分块矩阵 AO OB 也是正定矩 阵 线性代数 C 试题汇编 8 六 2007 2008 学年线性代数 C 期末试题 一 计算题 本题40分 每小题8分 共5题 1 8 分 计算行列式 103100204 199200395 301300600 的值 2 8 分 当 x y满足什么条件时 可使行列式 xxy xyx yxx 0 3 8分 设矩阵方程 XAB 其中矩阵 001120 120 102 340001 AB 求矩阵X 4 8 分 用基础解系表示出4元线性方程组 1234 1234 2345 1 xxxx xxxx 的全部解 5 8 分 求二次型 222 123122331 f x x xxxxxxx 的秩 二 计算题 本题20分 每小题10分 共2题 6 10分 设向量组 123 1 1 3 1 3 1 2 6 p 问 1 p为何值时该向量组线性无关 2 p为何值时该向量组线性相关 在向量组线性相关时 试将其中一个向量表示为其余 向量的线性组合 7 10分 设向量 1 0 1 矩阵 A 若n为正整数 计算行列式 det n a EA 的值 三 计算题 本题30 分 每题15分 共2题 8 15 分 设矩阵 001 010 100 A 1 求正交矩阵Q及对角矩阵 使 1 Q AQ 2 求矩阵 n A 9 15分 已知3元二次型 222 1231231 3 2f x x xxxxx x 求 1 用合同变换法求其标准形及可逆线性替换矩阵C 2 写出二次型的规范形 3 写出正惯性指数及二次型的秩 四 证明题 本题10分 共2小题 线性代数 C 试题汇编 9 10 4 分 设 123 是齐次线性方程组 AX的一个基础解系 证明 向量组 12 23 13 也是该齐次线性方程组的一个基础解系 11 6 分 设 ij a A为 3 n n 阶非零实矩阵 且已知 1 2 3 ij ain A 其中 ij A为该矩阵元素 ij a的代数余子式 求det A 七 2009 2010 学年线性代数 C 期末试题 一 简算题 1 计算行列式 100 1 10 011 0011 a ab bc c 2 设 A B均为3阶矩阵 且满足 2 ABEAB 其中 101 020 101 A E为3阶单位矩 阵 求矩阵B 3 设矩阵 0 020 02 xy y A的一个特征值为 3 且A的三个特征值之积为 12 确定x和y 的值 4 判断矩阵 1001 0110 0120 1003 A的正定性 并说明理由 5 设矩阵 123 132 21 211 t A B是3阶非零矩阵 且 AB 确定t的值 二 计算题 6 当 为何值时 线性方程组 123 123 123 3 2 2 xxx xxx xxx 1 有唯一解 2 无解 3 有无穷多 解 在有无穷多解时 求其导出组的一个基础解系和原方程组的全部解 线性代数 C 试题汇编 10 7 设3阶矩阵A的属于特征值 1 1 的特征向量是 1 1 1 1 属于特征值 23 2 的特征向量是 234 1 1 0 1 0 1 1 2 3 求矩阵A和 3 A 8 设3元实二次型 222 1231231 21 323 44448f x x xxxxx xx xx x 1 求正交线性替换 XQY将此二次型化为标准形 并写出其标准形 2 写出此二次型的规范形 3 确定此二次型的正惯性指数和秩 并判断其正定性 三 综合题 9 设分块矩阵 m EA C BO 其中 A B为m阶可逆矩阵 m E为m阶单位矩阵 O为m阶 零矩阵 1 求 1 C 2 当 2001 2320 AB时 计算矩阵 1 C 10 已 知 1234 是 齐 次 线 性 方 程 组 AX的 一 个 基 础 解 系 若 112 s 223334441 sss 试 确 定 当 实s数 为 何 值 时 1234 也是 AX的一个基础解系 11 设A为3阶矩阵 12 为矩阵A的分别属于特征值 1和1的特征向量 3 满足 323 A 证明 123 线性无关 八 2010 2011 学年线性代数 C 期末试题 一 简算题 1 计算n阶行列式 110000 022000 000220 000011 11111 nn nn n 2 求向量组 线性代数 C 试题汇编 11 123 1 2 3 4 1 1 2 2 2 3 5 6 4 2 2 1 1 5 1 1 3 3 的秩及其一个极大线性无关组 并将其余向量表为所求极大线性无关组的 线性组合 3 设3元二次型 222 1231231 21 323 222f x x xxxxtx xx xx x 的秩为2 求t的值 4 设 4 阶 矩 阵 1234 A 向 量 1 1 1 1 又 设 ij A是 矩 阵A中 元 1 2 3 4 ij a i 的 代 数 余 子 式 且det2 A 11213141 1 AAAA 求 行 列 式 3243 32 之值 二 计算题 5 当k为何值时 线性方程组 123 123 2 123 4 24 xxk x xxx xk xxk 1 有唯一解 2 无解 3 有无穷多 解 在有无穷多解时 求其导出组的一个基础解系和原方程组的全部解 6 设3阶矩阵 122 222 22a A的三个特征值之和是3 1 求a的值 2 求正交矩阵Q使 1 Q AQ为对角矩阵 并给出相应的对角矩阵 7 设3元实二次型 2 1231 23 4f x x xx xx 1 用初等变换法求此二次型的标准形及所做的可逆线性替换 2 写出此二次型的规范形 3 确定此二次型的正惯性指数和秩 并判断此二次型是否为正定二次型 说明理由 三 综合题 8 设矩阵X满足 AOEOBO BA XAXEEC 其中 12 34 C E是2阶单位 矩阵 O是2阶零矩阵 求矩阵X 9 设 A B为n阶矩阵 且满足 1 24 B AAE 其中E为n阶单位矩阵 1 证明 矩阵2 BE可逆 并求 1 2 BE 2 设 808 080 88 A 求 1 2 BE 线性代数 C 试题汇编 12 10 设A是2阶实对称矩阵 且满足 2 6 AAE 其中E是2阶单位矩阵 求行列式 det A的值 11 设 ij a A是3阶非零矩阵 A是A的伴随矩阵 A是A的转置矩阵且满足 AA 证明A是正交矩阵 线性代数 C 试题汇编 13 2 参考答案部分 仅供参考 目 录 一 2002 2003 学年线性代数 C 期末试题参考答案 14 二 2003 2004 学年线性代数 C 期末试题参考答案 15 三 2004 2005 学年线性代数 C 期末试题参考答案 16 四 2005 2006 学年线性代数 C 期末试题参考答案 17 五 2006 2007 学年线性代数 C 期末试题参考答案 19 六 2007 2008 学年线性代数 C 期末试题参考答案 20 七 2009 2010 学年线性代数 C 期末试题参考答案 答案缺失 21 八 2010 2011 学年线性代数 C 期末试题参考答案 答案缺失 21 线性代数 C 试题汇编 14 一 2002 2003 学年线性代数 C 期末试题参考答案 一 1 121 2 1 n nnn a aabbb D 提示 按第一行或最后一行展开 二 11121314 0 AAAA 提示 3111323334121314 0aaaa AAAA 三 1 当2b 时 不能 123 由线性表示 2 当2b 时 能由 123 线性表示 1a 时 123 20 1a 时 123 1 2 2 cccc 为任意常数 四 1 201 030 102 A 2 1 21 0 33 1 00 3 12 0 33 A 五 通解为 4 1 0 27 2 1 2 cc 为任意常数 六 非考试范围 略 七 263 263 263 263 63 0 33 Q 0 0 3 八 1 22 12 22 1 22 22 0 22 001 fyy C 2 2 1rp 线性代数 C 试题汇编 15 3 不是正定二次型 因为 1 det0 A 九 证证 明明 m 分别是A与 A的特征值 Axx m A yy m x A yx y 将 两边同乘y 得到 x A yx y 将 两边同乘 x得到 m x A yx y m m x y x与y正交 十 证证 明明 A B是n阶正定矩阵 AE BE EB 对称性 AB 传递性 二 2003 2004 学年线性代数 C 期末试题参考答案 一 1 AEAA AEAAEAA EAEAEA AE 2 1 1 n xnaxa D 二 1 2p 时 向量组线性无关 2 1234 341 2 22 pp pp 线性代数 C 试题汇编 16 三 1 11 0 44 11 0 44 11 4 4 2 0 4 XEA 四 1 1000 2100 2 1210 0121 ACBA 五 221 333 122 333 212 333 Q 1 4 2 六 2 提示 顺序主子式全大于0 七 1 22 12 fyy 2 111 011 2 20 001 rpr C 八 1 提示 用线性无关定义证明 2 AB A与B有相同的特征值 又 A B为实对称矩阵与同一个对角矩阵 相似 存在正交矩阵 12 Q Q使得 11 1122 A QQ BQQ 1 11 Q AQ 1 1111 21121212 BQ Q AQ QQ QA Q Q 令 1 12 PQ Q 则P为正交矩阵 使得 1 P APB 三 2004 2005 学年线性代数 C 期末试题参考答案 一 1 4 1111111111111 111111111100 111111111100 1111111111000 xxxxxxx xxxxxxx x xxxxxxx xxxx 线性代数 C 试题汇编 17 2 2 1nn A 提示 22 111nnnnn A AAAAAA 二 3 4 三 201 030 202 四 1 1 1 12 0 2 4 cc 为任意常数 五 1 22 0 6 22 100 6 2 22 0 22 QQ AQ 六 0a 提示 顺序主子式全大于0 七 1 222 123 8fyyy 2 131 021 010 C 3 3 2rp 八 1 提示 利用线性无关的定义证明 2 可相似对角化 存在可逆矩阵P 使 1 12 n diagP AP 1 1111T P APP A PPAP 设 1 PC P 可逆 1 P可逆 C可逆 存在可逆矩阵C使得 1 C AC 即A 也可以相似对角化 3 A为n阶正定矩阵 A的特征值 01 2 i in AE的特征值为 1 11 2 i in 12 1111 n AE 四 2005 2006 学年线性代数 C 期末试题参考答案 一 1 22 x y 2 56 234234234 2 2 28 8 A B 线性代数 C 试题汇编 18 二 1 1000 2100 1210 0121 A2C BA 三 21 300 1 01 2 1 01 2 XBAABA 四 1 通解为 12123212 ccc c 为任意常数 2 通解为 112123212 ccc c 为任意常数 五 1 263 263 1 263 1 263 2 63 0 33 QQ AQ 六 3c 七 1 222 123 1 38 3 fyyy 2 222 123 fzzz 3 323 323 5 2 03 3 2 4 2 00 4 rp C 八 1 提示 利用线性无关的定义证明 2 22 AA E 即 A AA E 左乘 1 A得 11 AAA EA A 又 1 AAA AA 3 A B为n阶正定矩阵 存在任意xR 且0 x 有00 x Ax x Bx 线性代数 C 试题汇编 19 且A A B B AB AB AB AB也是实对称矩阵 存在任意xR 且0 x 有 0 xAB x x Axx Bx AB是正定矩阵 五 2006 2007 学年线性代数 C 期末试题参考答案 1 22 16a b 提示 将后三列全部加到第一列上 2 1 9 2 18 提示 21412223242542