（试题 试卷 真题）浙江省杭州市2014届高三命题比赛 数学理（3） Word版含答案

2014届高三年级高考模拟考试数学（理）试卷注意事项：1本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答； 2本试题卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。参考公式：如果事件A，B互斥，那么如果事件A，B相互独立，那么球的表面积公式，其中R表示球的半径球的体积公式，其中R表示球的半径柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高台体的体积公式，其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高第I卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合,，则集合 A0B0,1C0,3D1,3 2函数的最小正周期为 开始结束是否输出A B C D 3右图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为 ABCD4函数的最大值是A B C2 D15若，则是的 A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知直线，平面，且，；则以上面三个条件中的两个为条件，余下一个为结论的真命题有 A0个B1个 C2个D3个7用8个数字可以组成不同的四位数个数是A168 B180 C204 D456 8已知函数，则下列不等式中正确的是A B C D9已知分别是双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，的角平分线交轴于，则双曲线的离心率为 A B C D10若函数=的图像关于直线=2对称，则的最大值是A9B14C15D16第II卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。44442（第12题）图正视图侧视图俯视图11展开式中的常数项是 _ ；12已知几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 _ ； 13设正实数满足条件，则的最大值为_；14 设ABC的三边长分别为，重心为G，则=_；xyO12P115若函数的导数，已知是函数的极大值点，则_；16如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于时，的坐标为_；17已知是定义在上且以为周期的奇函数,当时,若函数在区间上的零点个数为，则实数的取值范围是_三、解答题：本大题共5个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18（本小题满分14分）已知箱中装有2个白球3个黑球，每次任取一球（不放回），取完白球则停止取球（1）求取2次后仍不能停止的概率；（2）记为停止取球后取球的次数，求的数学期望 19（本小题满分14分）已知数列满足：，且为奇数时，为偶数时， （1）求并证明数列为等比数列（2）求数列的前项和20（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，是等腰 直角三角形，侧棱，分别为与的中点，点在平面上的射影是的重心（1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值21（本小题满分15分）已知为椭圆：任一点，为椭圆的左右焦点，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）若直线与椭圆的两交点的中点在直线上，为坐标原点，求三角形面积的最大值lCBAOyx22（本小题满分15分）已知函数，；（1）已知，求的单调区间；（2）已知，若，求证：2014届高三年级高考模拟考试试题解析一、选择题： 1（选摘）已知集合,，则集合 A0B0,1C0,3D1,3 【知识点】集合的表示，集合的运算【解法解析】，答案C【编制说明】容易题，考查集合中最基本的内容，送分题2（自编）函数的最小正周期为 AB C D 【知识点】三角“合一变形”，三角函数图像与性质【解法解析】，绝对值将轴下方部分翻折到轴上方，周期变为原来的一半，答案B【编制说明】容易题，“合一变形”辅助角为非特殊角，设置了一些困难，但中间没有太多的运算，对三角函数图像有整体把握的话，不难！但此题应该具有区分功能开始结束是否输出3（选摘）右图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为 ABCD【知识点】程序框图【解法解析】严格按程序，当时退出，答案选D【编制说明】容易题，程序框图，不综合其他知识点，考的纯粹！4（自编）函数的最大值是A B C2 D1【知识点】三角变形（两角和与差的正弦，合一变形），三角函数的最值【解法解析】变型为，答案选A【编制说明】容易题，变形两次，但都是基本方法，考查了学生的基本功5（自编）若，则是的 A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【知识点】充分、必要条件【解法解析】，即，所以可以退出，反之不行，答案选B【编制说明】中等题，此题是参照浙江省高考题改变，此题不落俗套，意会到，的大小，即可秒杀，如果解不等式，困难很大，此题有很好的选拔功能，用行动证明高考无需题海战术6（自编）已知直线，平面，且，；则以上面三个条件中的两个为条件，余下一个为结论的真命题有 A0个B1个C2个D3个【知识点】空间直线与平面，平面与平面的平行垂直关系【解法解析】，答案选C【编制说明】中等题，加条件，是防止因忽略了这种这种特殊情况，而中招，觉得这不是考查的核心，题目的编制一定要大气，不能在一些细枝末节处为难学生。7（选摘）用8个数字可以组成不同的四位数个数是A168 B180 C204 D456 【知识点】排列、组合【解法解析】根据组成四位数的不同数字的个数分类，四个不同的数字，三个不同的数字，两个不同的数字组成，答案选C【编制说明】中等题，排列、组合计数类问题中分类是一种基本解法，排数字，显得题目很亲切，容易让学生发挥能力，提高试题的效能。8（自编）已知函数，则下列不等式中正确的是CA B C D【知识点】函数的单调性、奇偶性【解法解析】函数为奇函数，又在上递增，所以为奇函数，又是递增函数，不难选C【编制说明】中等题，意会题，只要意会到，无需太多运算即能拿到答案，但此题不足是两个函数的性质对学生是有要求的。9（自编）已知分别是双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，的角平分线交轴于，则双曲线的离心率为 A B C D【知识点】双曲线的定义、几何性质，解斜三角形【解法解析】利用角平分线定理，所以，利用余弦定理，所以答案选B【编制说明】中等题，此题考查学生的基本功，有一定的综合性，如果不知角平分线定理，也可利用正弦定理得到。10（选摘）若函数=的图像关于直线=2对称，则的最大值是A9B14C15D16【知识点】函数的图像性质，函数的最值【解法解析】因为函数有两个零点，有对称性也是它的零点，所以，令，可知答案选D【编制说明】难题，先考查学生的观察能力，观察出零点，找到另两个零点，写出解析式，这个解析式，最高4次，一般会利用导数求，用导数求，问题很复杂，改变策略，利用换元法，将它化归到二次函数，有较高的要求。44442（第12题）图正视图侧视图俯视图11（自编）展开式中的常数项是 _ ；【知识点】二项式定理，通项公式【解法解析】利用通项公式可知为常数项所以【编制说明】容易题，此题考查学生的基本功，送分题12（选摘）已知几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 _ ； 【知识点】三视图，几何体体积计算【解法解析】上面圆柱，下面正方体的组合图，【编制说明】容易题，此题考查学生的基本功，送分题13（自编）设正实数满足条件，则的最大值为_；【知识点】线性规划，对数运算【解法解析】利用对数运算性质可将问题转化为，求的最大值，不难知道2【编制说明】中等题，此题考查学生分析问题，解决问题的能力，主要考查化归的思想14（自编）设ABC的三边长分别为，重心为G，则=_；【知识点】向量的运算，解斜三角形【解法解析】设中点为，则，所以，所以答案为【编制说明】中等题，此题考查学生运用向量的能力，综合了余弦定理的考查，一系列的综合对学生的综合能力的要求较高，必须有扎实的基本功。15（自编）若函数的导数，已知是函数的极大值点，则_；【知识点】导数，极大值点的概念【解法解析】因为为极大值点，所以中必定为奇数，且，则【编制说明】中等题，此题是参照浙江省2013年高考题改编，没有计算量，玩的是概念，玩的是逻辑能力。xyO12P116（选摘）如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于时，的坐标为_；【知识点】三角函数的概念【解法解析】因为点在圆上走过的弧长即圆心滑动的距离2，利用图象知点坐标为【编制说明】中等题，此题从外省的高考卷中选摘，依然考查数学中最基本、重要的东西，“概念”，但对分析问题、解决问题的能力提出了要求。17（自编）已知是定义在上且以为周期的奇函数,当时,若函数在区间上的零点个数为，则实数的取值范围是_【知识点】函数的性质，零点概念，二次函数方程根的讨论【解法解析】是定义在上且以为周期的奇函数，所以，所以，所以在有且仅有一根，即仅一根，则，或，但同时在有意义，所以或【编制说明】难题，此题切入容易，但逐步深入，考查了学生慎密的思维能力。三、解答题：本大题共5个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18（自编）已知箱中装有2个白球3个黑球，每次任取一球（不放回），取完白球则停止取球（1）求取2次后仍不能停止的概率；（2）记为停止取球后取球的次数，求的数学期望 【知识点】古典概型，随机变量的分布列，数学期望【解法解析】解（1） （2） ， 所以的分布列为2345 则 【编制说明】容易题，利用古典概型、排列组合计数原理容易得到概率，送分题。19（自编）已知数列满足：，且为奇数时，为偶数时， （1）求并证明数列为等比数列（2）求数列的前项和【知识点】等差等比、比数列概念，通项，前项和【解法解析】（1），因为，所以，所以数列是公比为的等比数列（2）由（1），所以，所以【编制说明】中等题，围绕等差、等比数列的最基本内容编制，与一般的模拟卷围绕求和，求通项不同，基本但不简单，仍能考查学生的分析问题的能力、转化化归的能力，比如（2）中求和，考基本体现公平，也能最直接选拔学生的能力。20（选摘）如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，侧棱，分别为与的中点，点在平面上的射影是的重心（1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值【知识点】空间直线与平面、平面与平面的平行、垂直的位置关系，空间直线与平面所成的角【解法解析】（1）取得中点，连接，由矩形可证得 ，所以平面 （2）法1 连接，设为的重心，则，连因，为与平面所成角， 因，在直角中，所以， ， 所以与平面所成角的正弦值为 法2 如图建立坐标系，设，则， 设为的重心，则， 又，因，所以， 则， ， 所以与平面所成角的正弦值为 【编制说明】中等题，此题要体现对学生空间想象能力的考查，也要体现出对学生运用空间向量解决空间问题的能力。而且同一题必须保证几何法与向量法都可用，并且难易性要基本一致，这是有难度的。21（自编）lCBAOyx已知为椭圆：任一点，为椭圆的焦点，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆的两交点的中点在直线上，为坐标原点，求三角形面积的最大值【知识点】椭圆的定义、方程、几何性质，直线与椭圆的位置关系【解法解析】（1），所以椭圆方程： （2）设，代入方程，得 （*） 所以，所以， 则（*）变为，则 底边的高：，所以 因，所以的最大值为 【编制说明】中等题，此题由杭州2013届一模改编，将叙述更加简洁，更平易近人。让学生的思路不走弯路，直接接触问题的核心。让学生发挥最佳水平，侧面也提高了试卷的效度。22（自编）已知函数，；（1）已知，求的单调区间；（2）已知，若，求证：【知识点】导数运算，利用导数求解函数的单调性，利用导数（构造函数）证明不等式。【解法解析】（1）， 所以 ，减，增，减，增，增，减 综上，增，减 ，增，减，增 （2） ， 可知=，所以要证，只要证 ，只要证，只要证 令，只要证，设，所以增，所以，所以递增，所以 【编制说明】难题，此题必须考查学生的创新能力，体现试卷的选拔功能，构造函数求证不等式，在中学课堂已经将这转变为一项技能，类似题未必能体现这一功能，可能还会失去公平性，但此题将不等式由一个字母增加到两个字母，又渗入对数，增加了难度，对学生提出了更高的要求，并且解法多样，可以将两个变量转化为一个变量，也可以将一个字母作常数，另一个作变量，构造函数解。2014届高三年级高考模拟考试参考答案及评分标准数学(理)试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.题号12345678910答案CBDABCCCCD二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11 12 132 14 15 1 16 17 或三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18（本题满分14分）解（1） . 4分（2） ， 所以的分布列为2345 . 12分则 . 14分19（1）， . 2分因为，所以，所以数列是公比为的等比数列 . 6分（2） 9分由（1），所以，所以 .14分20（本小题满分15分）（1）取得中点，连接，由矩形可证得 ，所以平面 5分（2）法1 连接，设为的重心，则，连因，为与平面所成角， .7分因，在直角中，所以， 10分， 13分所以与平面所成角的正弦值为 14分法2 如图建立坐标系，设，则， 6分设为的重心，则， 8分又，因，所以， . 10分则， ， . 13分所以与平面所成角的正弦值为 .14分21（本题满分15分）（1），所以椭圆方程： . 5分（2）设，代入方程，得 （*）. 7分所以，所以， . 9分则（*）变为，则 底边的高：，所以 . 12分因，所以的最大值为 . 15分22.（本题满分15分）解（1）， 所以 . 3分，减，增，减，增，增，减 . 6分综