整除的判定.doc

学科：奥数 年级：初二不分版本 期数：347本周教学内容：整除的判定【内容综述】我们知道，任意两个整数相加、相减、相乘的结果都是整数，而两个整数相除，它们的商就不一定是整数了，也就是说，整数对加、减、乘运算是封闭的，而对于除法并不是封闭的，这样就出现了整除和余数这两个概念。本期主要研究整除性和整除的判定，以及余数问题等。本期所涉及的字母如无特别说明都表示整数。 【要点讲解】 1.整除性30除以6得到的商是5，我们就叫30能被6整除，31除以6得到的商不是整数，31就不能被6整除。一般地，若整数除以整数所得的商是一个整数,即存在一个整数q，使得a=bq成立，就叫做能被b整除，或叫做能整除,记作b|a，这时称是b的倍数，b是的约数（或因数）。显然，+1和-1是任何整数的约数，0是任何非零整数的倍数，是它本身的约数，也是它本身的倍数。关于整除有下面一些明显的结论：（1）若a|b, b|c, 则a|c（2）若c|a, c|b, 则c|ma+nb, 特别地，c|a+b, c|a-b.（3）若b|a, n为整数，则b|na. 应用这些性质可以解决一些简单的约数和倍数问题。例1 N=是一个被17整除的四位数，求x。解 因, 17|所以 而x为09的整数,故只有当x=2 时,才有可能。故x=2为所求。例2 若是互不相等的整数，且整数x满足等式求证：4|(a+b+c+d) 证明：已知等式可化为由于是互不相等的整数，则也是互不相等的整数，且均为9的约数，于是只能等于9的四个互不相等的约数：+3，-3，+1，-1，即=4故 2、带余除法若不能被b整除，得到一个整数商后还会有余数。比如14被3除，得到商是4，余数是2，被除数14，除数3，商数4和余数2之间可用这样一个表示。14=实际上，这个结果可以推广到一般情况，这就是下面的定理：对于整数和b，存在唯一的整数q和r，使得=bq+r成立。其中r 是被b除的余数。对余数r的限制是q和r唯一性的保证。若取消了的限制，则q和 r就不唯一。例如用3除14可以写成14=3，等等，在这样的等式中，r=-1或r=14，都违反了的限制。有了上面的结论，我们就可以很方便地将整数划分成若干类。例如，若b=3，则任意一个整数除以3所得的余数可能是0，也可能是1或2，因此数可以写成3k,3k+1,3k+2这三种形式，除数3也称作模，一般地，整数按被b除时的余数可分成b类，这b类数可分别用bk, bk+1, bk+2, 表示，其中k为整数。这样把整数所分的类叫作以b为模的同余类。把整数分为余类是解整问题最常用的一种方法。例3 4个数2613，2243，1503，985 被同一自然数除时所得的余数相同（但不为零），求除数和余数。思路 从表面上看，这个问题似乎无从入手，但是前面的定理已经给出了被除数、除数、商和余数四者的唯一关系，我们可暂时设出除数和余数，然后利用整除性来确定它们。解 设除数为b，余数为r，依题意有2613， ， 得 得 518显然,370和518都能被b整除,即b是370和518的公约数。因为370和518的大于1的公约数有2，37，74，所以b=2, 37, 74,此时r=1，23，23。故除数为2时余数是1，除数为37时余数是23，除数是74时余数是23。例4 证明：如果和b是整数，那么，b, ,中一定有一个能被5整除。证明 若 ，b 之中有一个能被5整除，则此题得证。若，b之中任何一个都不能被5整除，则，b只能为型，型，由于于是，为5m+1型或5m+4型。若和同为5m+1型或同为5m+4型，则能被5整除。若和一个为5m+1型，另一个为5m+4型，则能被5整除。于是，b, ,中一定有一个能被5整除。3 常见数的整除特征给出一个整数A，要求判断这个数能否被某个非零整数m整除，这是在整除问题中常常需要解决的问题。因此，就要研究数能被某些非零整数整除的特征。 能被2,4,5,8 整除的数的特征显然易见,当A的个位数能被2整除时,A能被2整除;反之,若A能被2整除,则能被2整除,即（结论1）同样有 （结论2）（结论3）（结论4）前两个结论比较明显,对于结论3作如下证明。由100能被4整除，所以，于是当时，；反之，当时，结论4的正确性请同学们类似地证明。 能被3,9 整除的数的特征如果A的各位数之和能被3 (或9)整除,那么A也能被3 (或9)整除;返过来,如果A能被3 (或9)整除,那么A的各位数字之和也能被3 (或9)整除。下面以四位数为例，对于多位数只要进行类似的推理就可以了。设 ，则显然， 能被3（也能被9）整除。若能被3（或9）整除，则A能被3（或9）整除；反之，若A能被3（或9）整除，则能被3（或9）整除。 能被11整除的数的特征如果A的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,那么A也能被11整除.反之也成立.仍以四位数为例.对于多位数可类推.显然, 能被11整除，于是若 ，则 ；反之，若，则 。 能被7（11，13）整除的数的统一特征。若A的末三位与A去掉末三位尾数后数之差是7（或11，13）的倍数，则A能被7（或11，13）整除。 连续整数的乘积的整除性。对于两个连续整数 n和n+1， 其中必有一个偶数，因此乘积能被2整除。对于三个连续整数n, n+1,和n+2，其中必有一个偶数，也必有一个能被3整除，因而乘积 能被整除。一般地可以推导，k个连续整数的乘积能被整除。说明 123k，可称作k的“阶乘”，记作k！例5 已知，且能被9整除，求。解 由于能被9整除，所以5+y+9=14+y 能被9整除，又因为，所以y=4。本题的等式变为 +326=549，即=549-326=223因而 ，=6例6 若4b+2c+d=32，试问 能否被8整除？请说明理由。分析 要说明能否被8整除，根据被8整除的数的特征，只要判断能否被8整除。解 由 =100b+10c+d=96b+8c+=96b+8c+32=知 ，从而例7 用0，1，2，9 这个十个不同的数字组成能被11整除的十位数，求这类数中的最大者和最小者。解 先求能被11整除的最大十位数。设十位数中五位奇数位的数字之和为，五位偶数位的数字之和为y。由于这十位数是由 0，1，2，9 组成，所以 +y=0+1+2+9=45又由能被11整除数的特征，- y 能被11整除，于是有， 11，22因为+y是奇数，则- y也应为奇数，所以。由此得出 =28，y=17或=17, y=28。为了排出最大的十位数，在前几位尽量选用9，8，7，6若前四位为9876，则由9+7=16，8+6=14 可知，于是只有=28， y=17。此时，除9，7外，另三位奇数字之和为28-16=12；除8，6 外，另三位偶位数字之和为17-14=3，由此，偶位数字只能取2，1，0，从而奇位数字取5，4，3由此得到，能被11整除的最大的十位数是9876524130。同法可得，能被11整除的最小的十位数是1024375869。本周强化练习： A级窗体顶部1、下面4个七位数中，有且仅有一个能被8整除，这个数是（ ）(A)23372（B）53164 (C) 53416 (D) 71172 窗体底部窗体顶部2、n是任意的整数，有三个多项式：其中能够被6整除的多项式个数是( )。（A）0个 （B）1个（C）2个 （D）3个 窗体底部窗体顶部3、一个两位数，加上3可被3整除，加上4可被4整除，加上5可被5整除，则这个两位数是_。4、 能被13整除，但被2、3、4、5、6除都余1的最小的自然数是_。5、已知五位数能被72整除，求、y的值。B级6、已知五位数能被3整除，它的最末两个数字组成的两位数能被6整除，则代表的数字是（ ）。（A）2或6（B）2或8 （C）4或6 （D）4或8 窗体底部窗体顶部7、在自然数1，2，3，100中，能被2整除不能被3整除的个数是（ ）。（A）33（B）34 （C）35 （D）37 窗体底部8、用6，7，8，9四个数组成的各位数字互不相同的四位数中，能被11整除的数有_个。9、由1，2，3，4，5，6 这个6个数字组成一个没有重复数字的六位数，能使 得4个三位数 ，依次被4，5，3，11整除，求这个六位数。10、试判断的整除性。11、试求：1804353499的一个质因数。五、参考答案或提示A级1、（C），提示：根据被8整除数的特征去判断。2、（D），提示：易证，而 ，所以 。另无论n是奇数还是偶数都有 ，且当n=3m, 3m+1, 3m+2 时，都有。而2与3互质，故。3、60。提示：所求两位数既能被3整除，又能被4整除，还能被5整除，即能被3，4，5的最小公倍数60整除，而能被60整除的两位数只有60。4、481。提示：数2，3，4，5，6的最小公倍数是60，因此所求的数为60p+1(p是自然数)。又已知 ，而60p+1=,所以，即，由此得，于是5p-1=13k（k为自然数）。从而=。显然，当 k=3时，为整数。此时p=8，所以所求最小自然数为。5、因为能被72=8整除，且8和9互素，所以既能被8整除，也能被9整除，从而，由此求得 。B级6、（B）。提示：由能被6整除知，既能被2整除，又能被3整除，所以为偶数，且7+是3的倍数，从而=2或8。7、（B）。提示：能被2整除的数的个数减去既能被2整除又能被3整除的数的个数。8、8。提示