高中数学第一轮总复习 第7章第44讲导数在研究函数中的应用课件 理 新课标.ppt

第七章 导数及其应用 导数在研究函数中的应用 第44讲 函数的单调性 当b 1 1 即b 2时 x f x 的变化情况如下表 求函数的单调区间 先找出函数的极值点 再判断在极值点邻近函数的变化趋势 本题是用导数研究函数单调性的常见问题 由于参数b的大小直接影响函数的单调区间 因此要对b进行分类讨论 点评 函数的极值 解析 1 证明 依题意 得f x x3 3x2 9x c 0有三个互异的实根 设g x x3 3x2 9x c 则g x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 当x0 则g x 在 3 上为增函数 当 31时 g x 0 则g x 在 1 上为增函数 所以函数g x 在x 3时取极大值 在x 1时取极小值 当g 3 0或g 1 0时 g x 0最多只有两个不同实根 因为g x 0有三个不同实根 所以g 3 0且g 1 0 且1 3 9 c 27且c 5 故 27 c 5 又f x x3 3x2 9x c 当c 27时 f x x 3 x 3 2 当c 5时 f x x 5 x 1 2 因此 当 27 3且a 2 3 即 3 a 1 故a 5或 3 a 1 反之 当a 5或 3 a 1时 总可找到c 27 5 使函数f x 在区间 a a 2 上单调递减 综上所述 a的取值范围是 5 3 1 本题以函数的极值为背景考查分析问题的思维能力和对参数范围的识别能力 解答中有三处值得体会 一是函数有三个极值点 说明方程f x 0有三个互异实根 二是要明确f x 0的三个根的分布 三是如何确定x3的范围 点评 变式练习2 已知函数f x x3 ax2 3x 1 a 0 若f x 在其定义域内为增函数 求a的取值范围 解析 因为函数f x x3 ax2 3x 1 a 0 在r上为增函数 所以f x 3x2 2ax 3 0在r上恒成立 由 4a2 36 0 所以a2 9 所以0 a 3 又因为当a 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 只有当x 1时 f x 才等于0 因此0 a 3 函数的最值 此题重点考查利用导数研究函数的单调性 最值 熟悉函数的求导公式 理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键 点评 变式练习3 已知函数f x ax3 6ax2 b在 1 2 上的最大值为3 最小值为 29 求a b的值 2 当a0 则f x 0 所以f 0 b是极小值 又f 1 a 6a b b 7a f 2 b 16a 所以f 1 f 2 所以f 0 b是最小值 f 2 b 16a是最大值 不等式的证明与恒成立问题 3 由 1 可知f x x2ex 1 x2 故f x g x x2ex 1 x3 x2 ex 1 x 令h x ex 1 x 则h x ex 1 1 令h x 0 得x 1 因为当x 1 时 h x 0 所以h x 在 1 上单调递减 故当x 1 时 h x h 1 0 因为x 1 时 h x 0 所以h x 在 1 上单调递增 故当x 1 时 h x h 1 0 所以对任意x 恒有h x 0 又x2 0 因此 f x g x 0 故对任意x 恒有f x g x 比较两个函数的大小时 要考虑两个函数的定义域 取其公共定义域 比较两函数的大小才有意义 本题两函数的定义域都是全体实数 作差是比较大小的常用方法 作差后再构造函数 利用导数研究函数的单调性和极值 最值是解决不等式问题的重要思想方法 点评 变式练习4 已知函数f x x4 ax3 2x2 b x r 其中a b r 若对于任意的a 2 2 不等式f x 1在 1 1 上恒成立 求b的取值范围 解析 f x 4x3 3ax2 4x x 4x2 3ax 4 由条件a 2 2 可知方程4x2 3ax 4 0的 9a2 640恒成立 当x0时 f x 0 1 奇函数f x ax3 bx2 cx在x 1处有极值 则3a b c的值为 解析 由奇函数知 b 0 因为f x 3ax2 2bx c f 1 0 所以3a 2b c 0 又因为b 0 所以3a b c 0 0 2 若函数y x3 ax2 4在 0 2 内单调递减 则实数a的取值范围为 解析 因为函数y x3 ax2 4在 0 2 内单调递减 所以y 3x2 2ax 0在 0 2 内恒成立 所以 所以a 3 3 4 设函数f x x3 3ax2 3bx的图象与直线12x y 1 0相切于点 1 11 1 求a b的值 2 讨论函数f x 的单调性 2 由a 1 b 3 得f x x3 3x2 9x 则f x 3x2 6x 9 3 x2 2x 3 3 x 1 x 3 令f x 0 解得x 1或x 3 又令f x 0 解得 1 x 3 所以当x 1 时 f x 是增函数 当x 3 时 f x 也是增函数 但当x 1 3 时 f x 是减函数 5 已知函数f x x3 bx2 cx 1在区间 2 上单调递增 在区间 2 2 上单调递减 且b 0 1 求f x 的解析式 2 设0 m 2 若对任意的x1 x2 m 2 m 不等式 f x1 f x2 16m恒成立 求实数m的最小值 1 一般地 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 则f x 为增函数 如果f x 0 则f x 为减函数 单调性是导数应用的重点内容 主要有四类问题 运用导数判断单调区间 证明单调性 已知单调性求参数 先证明其单调性 再运用单调证明不等式等问题 2 函数的单调性设函数f x 是定义在 a b 上的可导函数 则f x 0 f x 0 是f x 在 a b 上单调递增 递减 的充分不必要条件 如f x x3在r上是增函数 但当x 0时 f 0 0 求单调区间的一般步骤 求导数f x 在函数f x 的定义域内解不等式f x 0 f x 0 确定单调区间 特别注意 1 考虑定义域 2 定义区间上的不连续点和不可导点 3 函数的极值是在局部对函数值的比较 它只能是函数定义域中的内点 而不能是端点 而最值是在整个定义域上对函数值的比较 它可以在端点处取得 求可导函数极值的步骤 求导数f x 求导数f x 0的根 检查f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取极小值 函数的极 最 值函数的极值刻画的是函数在其定义域内的局部性质 函数的最值刻画的是函数在其定义域内的整体性质 求函数极值的方法 如果函数f x 在点x0的邻近左侧有f x 0 右侧有f x 0 则x0为极小值点 极小值为f x0 求函数最值的方法 如果函数f x 在 a b 上可导 并在 a b 上连续 则函数f x 在 a b 上有最值 其一般步骤为 求f x 在 a b 内的极值 将所求极值与端点的函数值比较 其中最大的是最大值 最小的是最