内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习《空间图形的基本关系与公理》课件.ppt

第四十一讲空间图形的基本关系与公理 走进高考第一关考点关回归教材 1 空间图形的基本关系 1 空间点与直线的位置关系 2 空间点与平面的位置关系 3 空间两条直线的位置关系 4 空间直线与平面的位置关系 5 空间平面与平面的位置关系 2 空间图形的公理 1 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有点都在这个平面内 即直线在平面内 用符号表示 若a l b l 且a b 则l 公理1的作用是判断直线在平面内 也可以由点在直线上以及直线在平面内 判断点在平面内 2 公理2 经过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 即可以确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外一点 可以确定一个平面 推论2 经过两条相交直线 可以确定一个平面 推论3 经过两条平行直线 可以确定一个平面 公理2的作用是确定平面 3 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 用符号表示 p p 则 l且p l 公理3的作用 可以确定两个平面的交线 只要找到两个平面的两个公共点 就能找到它们的交线 还可以判断点在直线上 即若某个点是两个相交平面的公共点 则这个点在两个平面的交线上 4 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行 符号表示 a b c b a c 公理4是判断两条直线平行的依据 5 定理 等角定理 空间中 如果两个角的两条边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 3 异面直线 1 判定方法 定义法 不同时在任何一个平面内 过平面内一点与平面外一点的一条直线与该平面内不经过该点的直线异面 2 异面直线所成的角 已知a b为异面直线过空间任意一点p分别引两条异面直线a b的平行线l1 l2 a l1 b l2 这两条相交直线所成的锐角 或直角 就是异面直线a b所成的角 如果两条异面直线所成的角是直角 我们称这两条直线互相垂直 两条异面直线所成角的范围0 90 考点训练 1 如果三个平面两两相交 那么它们的交线条数有 a 3b 1c 1或3d 2或3 答案 c 解析 如图 一 有三条交线 如图 二 有一条交线 故选c 2 若直线m与平面 相交但不垂直 则下列说法中正确的是 a 在平面 内有且只有一条直线与直线m垂直b 过直线m有且只有一个平面与平面 垂直c 与直线m垂直的直线不可能与平面 平行d 与直线m平行的平面不可能与平面 垂直 解析 由直线与平面的位置关系可知选b 答案 b 3 2009 海南 宁夏 如图 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 线段b1d1上有两个动点e f 且 a ac beb ef 平面abcdc 三棱锥a bef的体积为定值d 异面直线ae bf所成的角为定值 解析 因ac 平面bb1d1d 所以ac be 选项a正确 因b1d1 平面abcd 所以ef 平面ac 选项b正确 因点a到平面bb1d1d的距离为定值 bef的面积也为定值 所以三棱锥a bef的体积也为定值 选项c正确 因点a b到直线b1d1的距离不等 所以选项d错误 答案 d 4 2009 全国 已知正四棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab e为aa1中点 则异面直线be与cd1所成角的余弦值为 答案 c 解析 连结ba1 ba1 cd1 eba1为异面直线be与cd1所成的角 解读高考第二关热点关 题型一公理的应用例1 2009 辽宁卷 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为棱aa1 cc1的中点 则在空间中与三条直线a1d1 ef cd都相交的直线 a 不存在b 有且只有两条c 有且只有三条d 有无数条 答案 d 解析 本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题 考查学生的空间想象能力 如图 在ef上任意取一点m 直线a1d1与m确定一个平面 这个平面与cd有且仅有1个交点n 当m取不同的位置就确定不同的平面 从而与cd有不同的交点n 而直线mn与这3条异面直线都有交点 题型二空间两条直线的位置关系例2 2009 安徽模拟 若两条异面直线所成的角为60 则称这对异面直线为 黄金异面直线对 在连接正方体各顶点的所有直线中 黄金异面直线对 共有 对 答案 24 解析 如图 与a1c1成黄金对的直线有d1c ab1 ad1 b1c 而a1c1这样的直线有12条 再消去顺序为 点评 空间两条直线的位置关系的考查通常以选择题或填空题出现 要求能够根据图形想象它们的位置关系 题型三异面直线所成的角例3在正方体abcd a1b1c1d1中 其棱长为a e f分别为bb1 cc1的中点 求ae与bf所成的角的余弦值 解 如图 连接df bd 易证 df ae 且df ae dfb为异面直线所成的角或它的补角 在rt abe中 点评 研究异面直线所成的角 就是通过平移把异面直线转化为相交直线 这是研究空间图形的一种基本思想 即把空间图形问题转化为平面图形问题 变式 如下图所示 正四面体p abc中 m为棱ab的中点 则pa与cm所成角的余弦值为 解析 不妨设正四面体的棱长为1 设n为pb的中点 如图所示 连结mn 则mn ap cmn为异面直线pa与cm所成的角 笑对高考第三关技巧关 异面直线的判定方法 1 根据异面直线的定义 2 利用异面直线的判定定理 3 反证法 典例 2009 辽宁 如图 已知两个正方形abcd和dcef不在同一个平面内 m n分别为ab df的中点 1 若cd 2 平面abcd 平面dcef 求mn的长 2 用反证法证明 直线me与bn是两条异面直线 解 1 如图 取cd的中点g 连结mg ng abcd dcef为正方形 且边长为2 2 假设直线me与bn共面 则ab 平面mben 且平面mben与平面dcef交于en 由已知 两正方形不共面 ab 平面dcef ab cd ab 平面dcef 而en为平面mben与平面dcef的交线 ab en 又ab cd ef en ef 这与en ef e矛盾 故假设不成立 me与bn不共面 它们是异面直线 考向精测 1 a b为异面直线 是指 a b 且a不平行于b a 平面 b 平面 且a b a 平面 b 平面 且a a 平面 b 平面 不存在平面 能使a b 成立 其中正确的序号是 解析 由异面直线的定义可得 成立 答案 2 如图所示 鼓状的几何体是由半径为5的球o经过两个水平平面切割而成 上下底面都是半径为4的圆 五点o1 o o2 a d同在平面 上 而另五点o1 o o2 b c同在平面 上 若 则直线ob与ac所成角的余弦值为 解析 本题考查了有关异面直线成角的问题 解法一 如图 将矩形o1o2bc补一个与其全等的矩形bcef 取ef的中点g 连接cg 则可证得ob cg 则 acg即为所求的角 连接ag 在 acg中 可求得ag2 89 cg 5 ac2 68 答案 a 点评 求解立体几何成角问题常用的方法有几何法和空间向量法 几何法主要就是通过图形的结构特点 实现三步 作角 证角 求角 一般最后都是将所求角放在一个易于求解的三角形内 利用三角形的知识进行求解的 利用此法求解需要学生有一定的空间想象能力和构造能力 如本题的解法一 就是通过补形的方法将所求异面直线所成角转化为平面角的 空间向量法的难度在于建立空间直角坐标系 建系的原则一般都是以对称 垂直 坐标最简为原则 而后的具体问题可通过空间向量的相应知识进行求解 其应用要简单于几何法 其过程在于算 课时作业 四十一 空间图形的基本关系与公理 一 选择题1 若p是两条异面直线l m外的任意一点 则 a 过点p有且仅有一条直线与l m都平行b 过点p有且仅有一条直线与l m都垂直c 过点p有且仅有一条直线与l m都相交d 过 鉖有且仅有一条直线与l m都异面 解析 a错 若过点p存在直线a与l m都平行 则l m 与l m异面矛盾 c错 如图 l与m异面 m p l 则过p点与m相交的直线都在 内与l不能相交 d错 过p点有无数条直线与l m都异面 故选b 答案 b 2 一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示 a b c是展开图上的三点 则在正方体盒子中 abc的大小为 a 30 b 45 c 60 d 90 解析 如图 正方体中 abc是正三角形 故 abc 60 故选c 答案 c 3 正方体ac1中 e f分别是线段c1d bc的中点 则直线a1b与直线ef的位置关系是 a 相交b 异面c 平行d 垂直 答案 a 解析 直线a1b与直线外一点e确定的平面为a1bcd1 ef 平面a1bcd1 且两直线不平行 故两直线相交 选a 4 空间中有五个点 其中有四个点在同一平面内 但没有任何三点共线 这样的五个点确定平面的个数最多可以是 a 4个b 5个c 6个d 7个 解析 以四棱锥为模型 可知五个点确定7个平面 答案 d 5 e f g h分别是空间四边形abcd的各边ab bc cd da的中点 若对角线bd 2 ac 4 则eg2 hf2的值为 a 12b 10c 5d 不能确定 答案 b 解析 e f g h分别为所在棱的中点 故efgh为 6 正三棱锥s abc的侧棱与底面边长相等 如果e f分别为sc ab的中点 那么异面直线ef与sa所成的角等于 a 90 b 60 c 45 d 30 答案 c 解析 正三棱锥的侧棱与底面边长相等 则s abc为正四面体 将它放在正方体中 如图所示 易知ef与sa所成角即为侧棱与面对角线所成角 故选c 二 填空题7 在四面体a bcd中 m n分别是面 acd bcd的重心 则四面体的四个面中与mn平行的是 答案 平面abc和平面abd 解析 连结am并延长交cd于e 连结bn并延长交cd于f 由重心的性质可知 e f重合为一点 且该点为cd的中点e 由 8 2009 安徽 对于四面体abcd 下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号 相对棱ab与cd所成的直线异面 由顶点a作四面体的高 其垂足是 bcd三条高线的交点 若分别作 abc和 abd的边ab上的高 则这两条高所在的直线异面 分别作三组相对棱中点的连线 所得的三条线段相交于一点 最长棱必有某个端点 由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱 答案 解析 本题主要考查立体几何的线面关系 对于 若ab cd共面 则abcd点共面 则其不能构成四面体 正确 错误 对于 设e f g h m n分别为ab bc cd da ac bd的中点 则eh fg 且eh bd eh bd 即eg与hf交于eg的中点o 同理eg与mn交于eg的中点o 所以eg hf mn交于点o 正确 正确 9 四边形abcd中 ab bc cd da bd 1 要使a b c d四点不共面 则ac的取值范围是 解析 如图 一 所示 abd与 bcd均为边长为1的正三角形 当 abd与 cbd重合时 ac 0 将 abd以bd为轴转动 到a b c d四点再共面时 10 下列命题正确的是 过直线外一点作这条直线的平行平面有无数多个 过一点作一直线的平行直线有无数条 过平面外一点 与该平面平行的直线有无数条 过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行 答案 三 解答题11 如图所示 在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中 m为ab的中点 n为bb1的中点 o为面bcc1b1的中点 1 过o作一直线与an交于p 与cm交于q 只写作法 不必证明 2 求pq的长 分析 1 an和cm是两条异面直线 过o点作直线要与an和cm都相交 应在平面内来作 因此 点o a n和o c m各确定一个平面 2 当点p q作出后 求pq的长只需解三角形即可 解 1 由on ad知 ad与on确定一个平面 又o c m三点确定一个平面 如图所示 平面 和平面abcd两两相交 有三条交线op cm da 其中交线da与交线cm不平行且共面 da与cm必相交 记交点为q oq是 与 的交线 连接oq与an交于p 故opq即为所求作的直线 12 如图所示 等腰 abc的底边ab 6 高cd 3 点e是线段bd上异于点b d的动点 点f在bc边上 且ef ab 现沿ef将 bef折起到 pef的位置 使pe ae 记be x v x 表示四棱锥p acfe的体积 1 求v x 的表达式 2 当x为何值时 v x 取