高考数学一轮复习 4.2数系的扩充与复数的引入精品学案 新人教A版.doc

2013版高考数学一轮复习精品学案：第二节 数系的扩充与复数的引入【高考新动向】一、考纲点击1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示形式及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算;5.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义.二、热点提示1、复数代数形式的乘除运算和复数相等的充要条件是考查重点；2、复数的基本概念如实、虚部，共轭复数，模的几何意义，i的周期性是易错点；3、题型以选择题和填空题为主。【考纲全景透析】1、复数的有关概念（1）复数的概念形如a+bi(a,br)的数叫做复数，其中a,b分别是它的实部和虚部。若b=0,则a+bi为实数，若b0,则a+bi为虚数，若a=0且b0，则a+bi为纯虚数。（2）复数相等：a+bi=c+dia=c且b=d(a,b,c,dr).（3）共轭复数：a+bi与c+di共轭 (a,b,c,dr)。（4）复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。（5）复数的模向量的模r叫做复数z=a+bi的模，记叙|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=。2、复数的几何意义（1）复数z=a+bi复平面内的点z（a,b）(a,br);（2）复数z=a+bi平面向量（a,br）。3、复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dr),则加法：z1+ z2=（a+bi）+（c+di）=(a+c)+(b+d)i;减法：z1- z2=（a+bi）-（c+di）=(a-c)+(b-d)i;乘法：z1 z2=( a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;除法：(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何、c，有+=+，（+）+=+（+）。注：任意两个复数不一定能比较大小，只有这两个复数全是实数时才能比较大小。方法提示:(1)复数相等的充要条件的应用通过设利用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化.解题时要把等号两边的复数化为标准形式.(2)复数的几何意义除了解复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外,要注意:表示复数z对应的点到原点的距离为a;复数z对应的点与复数对应的点之间的距离.(3)复数中的解题策略:一、证明复数是实数的策略：二、证明复数是纯虚数的策略：三、复数模的求解策略：利用定义求复数的模；利用几何意义求复数的模；利用复数对应的向量关系求复数的模；利用方程思想求复数的模。四、解决复数问题的基本策略：复数相等策略；分母实数化策略；利用几何意义化为点或向量策略。【热点难点全析】一、复数的有关概念及复数的几何意义相关链接1、复数的分类2、处理有关复数概念的问题，首先要找准复数的实部与虚部（若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算化为代数形式），然后根据定义解题。方法提示：1.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)组即可.2.求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数的模长公式求解.3复数的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向量、解析几何有机的结合在一起，能够更加灵活的解决问题.高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应点的位置、加减法的几何意义、模的意义等.例题解析例1当实数m为何值时，z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(1) 纯虚数；（2）为实数；（3）对应的点在复平面内的第二象限内。思路解析：根据复数分类的条件和复数的几何意义求解。解答：根据复数的有关概念，转化为实部和虚部分别满足的条件求解。（1）若z为纯虚数，则解得m=3（2）若z为实数，则解得m=-1或m=-2（3）若z的对应点在第二象限，则解得-1m1-或1+m3.即（1）m=3时，z为纯虚数；（2）m=-1或m=-2时，z为实数；（3）-1m1-或1+m3时，z的对应点在第二象限内。例2复数在复平面上对应的点位于( )()第一象限 (b)第二象限(c)第三象限 (d)第四象限 思路解析: 化简z为代数形式，确定其实部、虚部.解答: 选.因为所以所以z对应的点位于第一象限.二、复数相等相关链接1、a+bi=c+di.2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。注：对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z= a+bi(a,br)。例题解析例已知集合m=（a+3）+（b2-1）i, 8,集合n=3，（a2-1）+(b+2)同时满足mnm，mn，求整数a,b思路解析：判断两集合元素的关系列方程组分别解方程组检验结果是否符合条件。解答：或或由得a=-3,b=2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。a=-3，b=2由得a=3, b=-2.又a=-3,b=-2不合题意，a=3,b=-2;由得,此方程组无整数解。综合得a=-3，b=2或a=3,b=-2。三、复数的代数运算相关链接1、(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.(2)记住以下结论，可提高运算速度：(1i)2=2i；i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(nn).2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟透i的特点及熟练应用运算技巧。例题解析例1已知z1，z2为复数，(3i)z1为实数，且|z2|求z2.思路解析: 可不设代数形式利用整体代换的思想求解.z1z2(2i)，(3i)z1z2(2i)(3i)z2(55i)r，|z2|z2(55i)|50，z2(55i)50，例2解答： 注: 复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用.四、复数加减法的几何意义例如图，平行四边形oabc，顶点o、a、c分别表示0，3+2i，-2+4i，试求：（1）表示的复数，表示的复数；（2）对角线所表示的复数。思路解析：求某个向量对应的复数，只要求出向量的起点和终点对应的复数即可。解答：（1）=-，表示的复数为-3-2i.=,所表示的复数为-3-2i。（2）=-，所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.注：解决这类题目是利用复数a+bi(a,br)与复平面内以原点为起点的向量之间一一对应的关系，相等的向量表示同一复数，然后借助于向量运算的平行四边形法则和三角形法则进行求解。复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设z=x+yi,依据是复数相等的充要条件。【高考零距离】1.（2012山东高考理科1）若复数满足（为虚数单位），则为（） （b） （c） （d）【解题指南】用复数的运算法则进行计算.【解析】选. 因为，所以.2.（2012广东高考文科1）设i为虚数单位，则复数. b. c. d. 【解题指南】要化成复数的代数形式，本小题可以分子分母同乘以i,然后利用复数的代数运算法则求解即可。 【解析】选d. .3.（2012辽宁高考文科3）复数() (b) (c) (d) 【解题指南】复数代数形式的运算，将复数进行分母实数化【解析】选. 4. （2012新课标全国高考文科2）复数z的共轭复数是（ ） （）2+i （b）2i （c）1+i （d）1i【解题指南】先将复数z分母实数化，化简后再写出共轭复数。【解析】选d ，故的共轭复数为.5. （2012江苏高考数学科3）设，（为虚数单位），则的值为 【解题指南】利用复数的除法和乘法的法则，特别注意分母实数化的应用。【解析】因为，所以【答案】86. （2011新课标全国高考文科2）复数( ). b. c. d.【思路点拨】利用复数的除法法则直接求解，也可用间接法验证选项求解.【精讲精析】选c 解法一： 解法二：验证法 验证每个选项与1-2i的积，正好等于5i的便是答案.7. （2011陕西高考理科t7）设集合，为虚数单位，r，则为 （ ）（）（0，1） （b）， （c）， （d），【思路点拨】确定出集合的元素是关键.本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点.【精讲精析】选c ，所以；因为，所以，即，又因为，r，所以，即；所以，故选c.8. （2011江苏高考3）设复数满足（i是虚数单位），则的实部是_【思路点拨】本题考查的是复数的运算，解题的关键是设出复数的代数形式，然后运算求得复数，找出实部.【精讲精析】答案:1.设，则，所以，复数的实部是1.【考点提升训练】一、选择题(每小题6分，共36分)1.互为共轭复数的两复数之差是( )()实数 (b)纯虚数(c)0 (d)零或纯虚数2.(2011福建高考)i是虚数单位，若集合s=-1,0,1，则( )()is (b)i2s(c)i3s (d)s3.(2011大纲版全国卷)复数z=1+i,为z的共轭复数，则z-z-1=( )()-2i(b)-i(c)i(d)2i4.(2011辽宁高考)a为正实数，i为虚数单位， =2,则a=( )()2(b)(c)(d)15.(预测题)若(x-i)i=y+2i,x、yr,则复数x+yi=( )()-2+i(b)2+i(c)1-2i(d)1+2i6.（2012福州模拟）在复平面内，复数所对应的点位于（ ）()第一象限 (b)第二象限(c)第三象限 (d)第四象限二、填空题(每小题6分，共18分)7.i为虚数单位， =_.8.（2012泉州模拟）已知复数z满足（1+i）z=2,则z=_.9.定义一种运算如下：=x1y2-x2y1，则复数 (i是虚数单位)的共轭复数是_.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2011上海高考)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.11.(易错题)复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.【探究创新】(16分)已知(1，2)，b(a,1),c(2,3),d(-1,b)(a,br)是复平面上的四点，且向量对应的复数分别为z1,z2.(1)若z1+z2=1+i,求(2)若z1+z2为纯虚数，z1-z2为实数，求a、b.答案解析1.【解析】选d.设互为共轭复数的两个复数分别为z=a+bi,=a-bi(a、br)，则z-=2bi或-z=-2bi.br,当b0时，z-,-z为纯虚数；当b=0时，z-=-z=0.故选d.【误区警示】混淆了复数和虚数概念，误认为共轭复数就是共轭虚数，当得到z-=2bi时，就认为是纯虚数，错误地选b.2.【解析】选b.i2=-1,而集合s=-1,0,1,i2s.3.【解题指南】先求出z的共轭复数，然后利用复数的运算法则计算即可.【解析】选b. =1-i,z-z-1=(1+i)(1-i)-(1+i)-1=-i.4.【解析】选b.因为故可化为|1-ai|=2,又由于a为正实数，所以1+a2=4,得a=,故选b.5.【解析】选b.(x-i)i=y+2i,1+xi=y+2i,根据复数相等的条件，得x=2,y=1,x+yi=2+i.6.【解析】选b所对应点为位于第二象限.7.【解析】=-i+i-i+i=0.答案：0【变式备选】(1)已知复数是z的共轭复数，则z=_.【解析】方法一：方法二：答案：(2)已知复数z=1-i，则=_.【解析】答案：-2i8.【解析】由已知得答案：1-i9.【解析】由定义知,答案：-1-(-1)i10.【解析】设z2=a+2i(ar)，由已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i，又已知z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数，则虚部4-a=0，即a=4，则复数z2=4+2i.【变式备选】复数z1(10-a2)i，z2若是实数，求实数a的值.【解析】是实数，a22a-150，解得a-5或a3.又(a5)(a-1)0，a-5且a1，故a3.11.【解析】如图，z1、z2、z3分别对应点、b、c.所对应的复数为z2-z1=(-2+i)-(1+2i)=-3-i,在正方