第14章 稳恒电流的磁场---教材习题.doc

第14章 稳恒电流的磁场14.1 充满r = 2.1电介质的平行板电容器，由于电介质漏电，在3min内漏失一半电量，求电介质的电阻率rSq-ql解：设电容器的面积为S，两板间的距离为l，则电介质的电阻为设t时刻电容器带电量为q，则电荷面密度为 = q/S，两板间的场强为E = / =q/r0S，电势差为 U = El =ql/r0S，介质中的电流强度为，负号表示电容器上的电荷减少微分方程可变为，积分得 ，设t = 0时，q = qm，则得C = lnqm，因此电介质的电阻率的公式为 当t = 180s时，q = qm/2，电阻率为 =1.41013(m)14.2 有一导线电阻R = 6，其中通有电流，在下列两种情况下，通过总电量都是30C，求导线所产生的热量（1）在24s内有稳恒电流通过导线；（2）在24s内电流均匀地减少到零解：（1）稳恒电流为 I = q/t = 1.25(A)，导线产生的热量为Q = I2Rt = 225(J)I24ot/si/A1.252.5（2）电流变化的方程为 ，由于在相等的时间内通过的电量是相等的，在i-t图中，在024秒内，变化电流和稳恒电流直线下的面积是相等的在dt时间内导线产生的热量元为dQ = i2Rdt，在24s内导线产生的热量为=300(J)14.3 已知铜的相对原子质量A = 63.75，质量密度 = 8.9103kgm-3（1）技术上为了安全，铜线内电流密度不能超过6Amm-2，求此时铜线内电子的漂移速度为多少？（2）求T = 300K时，铜内电子热运动平均速度，它是漂移速度的多少倍？解：（1）原子质量单位为u = 1.6610-27(kg)，一个铜原子的质量为m = Au = 1.05810-25(kg)，铜的原子数密度为 n = /m = 8.411028(个m-3)，如果一个铜原子有一个自由电子，n也是自由电子数密度，因此自由电子的电荷密度为e = ne = 1.341010(Cm-3)铜线内电流密度为 = 6106(Am-2)，根据公式 = ev，得电子的漂移速度为v = e/ = 4.4610-4(ms-1)（2）将导体中的电子当气体分子，称为“电子气”，电子做热运动的平均速度为，其中k为玻尔兹曼常数k = 1.3810-23JK-1，me是电子的质量me = 9.1110-31kg，可得 = 1.076105(ms-1)，对漂移速度的倍数为/v = 2.437108，可见：电子的漂移速率远小于热运动的速度，其定向运动可认为是附加在热运动基础上的运动ICObaDA图14.414.4 通有电流I的导线形状如图所示，图中ACDO是边长为b的正方形求圆心O处的磁感应强度B = ？解：电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的根据毕-萨定律：，圆弧上的电流元与到O点的矢径垂直，在O点产生的磁场大小为，由于dl = ad，积分得 OA和OD方向的直线在O点产生的磁场为零在AC段，电流元在O点产生的磁场为lrIdlIdlCObaDA，由于l = bcot( - ) = -bcot，所以 dl = bd/sin2；又由于r = b/sin( - ) = b/sin，可得，积分得同理可得CD段在O点产生的磁场B3 = B2O点总磁感应强度为XYRIZo图14.514.5 如图所示的载流导线，图中半圆的的半径为R，直线部分伸向无限远处求圆心O处的磁感应强度B = ？解：在直线磁场公式中，令1 = 0、2 = /2，或者1 = /2、2 = ，就得半无限长导线在端点半径为R的圆周上产生的磁感应强度两无限长半直线在O点产生的磁场方向都向着-Z方向，大小为Bz = 0I/2R半圆在O处产生的磁场方向沿着-X方向，大小为Bx = 0I/4RO点的磁感应强度为场强大小为，与X轴的夹角为IODBCA图14.614.6 如图所示的正方形线圈ABCD，每边长为a，通有电流I求正方形中心O处的磁感应强度B = ？解：正方形每一边到O点的距离都是a/2，在O点产生的磁场大小相等、方向相同以AD边为例，利用直线电流的磁场公式：，令1 = /4、2 = 3/4、R = a/2，AD在O产生的场强为，xO2CIOxRBO1C2aIRB图14.7O点的磁感应强度为，方向垂直纸面向里14.7 两个共轴圆线圈，每个线圈中的电流强度都是I，半径为R，两个圆心间距离O1O2 = R，试证：O1、O2中点O处附近为均匀磁场证：方法一：用二阶导数一个半径为R的环电流在离圆心为x的轴线上产生的磁感应强度大小为：设两线圈相距为2a，以O点为原点建立坐标，两线圈在x点产生的场强分别为， 方向相同，总场强为B = B1 + B2一个线圈产生的磁场的曲线是凸状，两边各有一个拐点两个线圈的磁场叠加之后，如果它们相距太近，其曲线就是更高的凸状；如果它们相距太远，其曲线的中间部分就会下凹，与两边的峰之间各有一个拐点当它们由远而近到最适当的位置时，两个拐点就会在中间重合，这时的磁场最均匀，而拐点处的二阶导数为零设k = 0IR2/2，则 对x求一阶导数得，求二阶导数得 ，在x = 0处d2B/dx2 = 0，得R2 = 4a2，所以2a = Rx = 0处的场强为方法二：用二项式展开将B1展开得设，则 同理，当x很小时，二项式展开公式为 将B1和B2按二项式展开，保留二次项，令R2 - 4a2 = 0，即a = R/2，得，可知：O点附近为均强磁场ooRih图14.814.8 将半径为R的无限长导体圆柱面，沿轴向割去一宽为h(hR)的无限长缝后，沿轴向均匀地通有电流，面密度为i，求轴线上的磁感应强度B = ？解：方法一：补缺法导体圆柱面可看作由很多无限长直导线组成，如果补上长缝，由于对称的缘故，电流在轴线上产生的磁感应强度为零割去长缝，等效于同时加上两个大小相等，方向相反的电流，其中，与i相同的电流补上了长缝，与i相反的电流大小为I = ih在轴线上产生的磁感应强度为 xyoRdsdBdBydBx方法二：积分法在导体的截面上建立坐标，x坐标轴平分角， = h/R电流垂直纸面向外，在圆弧上取一线元ds = Rd，无限长直线电流为dI = ids = iRd，在轴线产生的磁感应强度大小为，两个分量分别为，积分得；By的方向沿着y方向By的大小和方向正是无限长直线电流ih产生的磁感应强度IR图14.914.9在半径为R = 1.0cm的无限长半圆柱形导体面中均匀地通有电流I=5.0A，如图所示求圆柱轴线上任一点的磁感应强度B = ？解：取导体面的横截面，电流方向垂直纸面向外半圆的周长为C = R，电流线密度为i = I/C = IR在半圆上取一线元dl = Rd代表无限长直导线的截面，电流元为dI = idl = Id/，在轴线上产生的磁感应强度为xdBydBxdByRo1，方向与径向垂直dB的两个分量为dBx = dBcos，dBy = dBsin积分得，由对称性也可知Bx = 0，所以磁感应强度B = By = 6.410-5(T)，方向沿着y正向PxaI图14.1014.10 宽度为a的薄长金属板中通有电流I，电流沿薄板宽度方向均匀分布求在薄板所在平面内距板的边缘为x的P点处的磁感应强度（如图所示）PxaIodlldI解：电流分布在薄板的表面上，单位长度上电流密度，即面电流的线密度为 = I/a，以板的下边缘为原点，在薄板上取一宽度为dl的通电导线，电流强度为 dI = dl，在P点产生磁感应强度为，磁场方向垂直纸面向外由于每根电流产生的磁场方向相同，总磁场为讨论当a趋于零时，薄板就变成直线，因此，这就是直线电流产生的磁场强度的公式IRO图14.1114.11 在半径为R的木球上紧密地绕有细导线，相邻线圈可视为相互平行，盖住半个球面，如图所示设导线中电流为I，总匝数为N，求球心O处的磁感应强度B = ？解：四分之一圆的弧长为C = R/2，单位弧长上线圈匝数为n = N/C = 2N/RdByxRo1在四分之一圆上取一弧元dl = Rd，线圈匝数为dN = ndl = nRd，环电流大小为 dI = IdN = nIRd环电流的半径为 y = Rsin，离O点的距离为 x = Rcos，在O点产生的磁感应强度为，方向沿着x的反方向，积分得O点的磁感应强度为R2R4R1R3图14.1214.12 两个共面的平面带电圆环，其内外半径分别为R1、R2和R3、R4(R1 R2 R3 R4)，外面圆环以每秒钟n2转的转速顺时针转动，里面圆环以每称n1转逆时针转动，若两圆环电荷面密度均为，求n1和n2的比值多大时，圆心处的磁感应强度为零解：半径为r的圆电流在圆心处产生的磁感应强度为B = 0I/2r在半径为R1和R2的环上取一半径为r、宽度为dr的薄环，其面积为dS = 2rdr，所带的电量为dq = dS = 2rdr，圆环转动的周期为T1 = 1/n1，形成的电流元为dI = dq/T1 = 2n1rdr薄环电流可以当作圆电流，在圆心产生的磁感应强度为dB1 = 0dI/2r = 0n1dr，圆环在圆心产生磁感应强度为B1 = 0n1(R2-R1)同理，半径为R3和R4的圆环在圆心处产生的磁感应强度为B2 = 0n2(R4-R3)由于两环的转动方向相反，在圆心产生的磁感应强度也相反，当它们大小相同时，圆心处的磁感应强度为零，即：0n1(R2-R1) = 0n2(R4-R3)，解得比值为I图14.13R14.13 半径为R的无限长直圆柱导体，通以电流I，电流在截面上分布不均匀，电流密度 = kr，求：导体内磁感应强度？解：在圆柱体内取一半径为r、宽度为dr的薄圆环，其面积为dS = 2rdr，电流元为dI = dS = 2kr2dr，从0到r积分得薄环包围的电流强度为Ir = 2kr3/3；从0到R积分得全部电流强度I = 2kR3/3，因此Ir/I = r3/R3根据安培环路定理可得导体内的磁感应强度：ao图14.1414.14 有一电介质圆盘，其表面均匀带有电量Q，半径为a，可绕盘心且与盘面垂直的轴转动，设角速度为求圆盘中心o的磁感应强度B = ？解：圆盘面积为S = a2，面电荷密度为 = Q/S = Q/a2在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的薄环，其面积为dS = 2rdr，所带的电量为dq = dS = 2rdr薄圆环转动的周期为 T = 2/，bdxcxaI1o1I2l图14.15形成的电流元为dI = dq/T = rdr薄环电流可以当作圆电流，在圆心产生的磁感应强度为dB = 0dI/2r = 0dr/2，从o到a积分得圆盘在圆心产生磁感应强度为B = 0a/2 = 0Q/2a如果圆盘带正电，则磁场方向向上14.15 二条长直载流导线与一长方形线圈共面，如图所示已知a = b = c = 10cm，l = 10m，I1 = I2 = 100A，求通过线圈的磁通量解：电流I1和I2在线圈中产生的磁场方向都是垂直纸面向里的，在坐标系中的x点，它们共同产生的磁感应强度大小为在矩形中取一面积元dS = ldx，通过面积元的磁通量为d = BdS = Bldx，通过线圈的磁通量为=210-7101002ln2=2.7710-4(Wb)BoRv图14.1614.16 一电子在垂直于均匀磁场的方向做半径为R = 1.2cm的圆周运动，电子速度v = 104ms-1求圆轨道内所包围的磁通量是多少？解：电子所带的电量为e = 1.610-19库仑，质量为m = 9.110-31千克电子在磁场所受的洛伦兹力成为电子做圆周运动的向心力，即：f = evB = mv2/R，所以 B = mv/eR电子轨道所包围的面积为 S = R2，磁通量为 = BS = mvR/e =2.1410-9(Wb)lR2R1IIdr图14.1714.17 同轴电缆由导体圆柱和一同轴导体薄圆筒构成，电流I从一导体流入，从另一导体流出，且导体上电流均匀分布在其横截面积上，设圆柱半径为R1，圆筒半径为R2，如图所示求：（1）磁感应强度B的分布；（2）在圆柱和圆筒之间单位长度截面的磁通量为多少？解：（1）导体圆柱的面积为 S = R12，面电流密度为 = I/S = I/R12在圆柱以半径r作一圆形环路，其面积为Sr = r2，包围的电流是Ir = Sr = Ir2/R12根据安培环路定理由于B与环路方向相同，积分得2rB = 0Ir，所以磁感应强度为B = 0Ir/2R12，(0 r R1)在两导体之间作一半径为r的圆形环中，根据安培环中定理可得B = 0I/2r，(R1 r R2)（2）在圆柱和圆筒之间离轴线r处作一径向的长为l = 1、宽为dr的矩形，其面积为dS = ldr = dr，方向与磁力线的方向一致，通过矩形的磁通量为d = BdS = Bdr，总磁通量为baRO1O1图14.18*14.18 一长直载流导体，具有半径为R的圆形横截面，在其内部有与导体相切，半径为a的圆柱形长孔，其轴与导体轴平行，相距b = R a，导体截有均匀分布的电流I（1）证明空孔内的磁场为均匀场并求出磁感应强度B的值；（2）若要获得与载流为I，单位长度匝数n的长螺线管内部磁场相等的均匀磁场，a应满足什么条件？（1）证：导体中的电流垂直纸面向外，电流密度为baRO1O1rrBrBBrP长孔中没有电流，可以当作通有相反电流的导体，两个电流密度的大小都为，这样，长孔中磁场是两个均匀分布的圆形电流产生的如果在圆形截面中过任意点P取一个半径为r的同心圆，其面积为 S = r2，包围的电流为I = S = r2，根据安培环路定理可得方程2rBr = 0I，磁感应强度为 ，方向与矢径r垂直 同理，密度为-的电流在P点产生的磁感应强度为，方向与矢径r垂直设两个磁感应强度之间的夹角为，则合场强的平方为，根据余弦定理，如图可知：，由于 = - ，所以，由于b和都是常量，可见：长孔中是均匀磁场将和b代入公式得磁感应强度大小为，可以证明磁场的方向向上（2）解：长螺线管内部的场为B =0nI，与上式联立得 ，这就是a所满足的条件dcbIaXRo1BY图14.1914.19 在XOY平面内有一载流线圈abcda，通有电流I = 20A，bc半径R = 20cm，电流方向如图所示线圈处于磁感应强度B = 8.010-2T的均强磁场中，B沿着X轴正方向求：直线段ab和cd以及圆弧段bc和da在外磁场中所受安培力的大小和方向解：根据右手螺旋法则，bc弧和cd边受力方向垂直纸面向外，da弧和ab边受力方向垂直纸面向里由于对称的关系，ab边和cd边所受安培力的大小是相同的，bc弧和da弧所受安培力的大小也是相同的ab边与磁场方向的夹角是 = 45，长度为l = R/sin，所受安培力为Fab = |IlB| = IlBsin= IRB = 0.32(N) = Fcd在圆弧上取一电流元Idl，其矢径R与X轴方向的夹角为，所受力的大小为dFbc = |IdlB| = IdlBsin，由于线元为dl = Rd，所以 dFbc = IRBsind，因此安培力为= IRB = 0.32(N) = FdaCI2ybAxao1BI1图14.2014.20 载有电流I1的无限长直导线旁有一正三角形线圈，边长为a，载有电流I2，一边与直导线平等且与直导线相距为b，直导线与线圈共面，如图所示，求I1作用在这三角形线圈上的力解：电流I1在右边产生磁场方向垂直纸面向里，在AB边处产生的磁感应强度大小为B = 0I1/2b，作用力大小为FAB = I2aB = 0I1I2a/2b，方向向左三角形的三个内角 = 60，在AC边上的电流元I2dl所受磁场力为 dF = I2dlB，两个分量分别为 dFx = dFcos，dFy = dFsin，与BC边相比，两个x分量大小相等，方向相同；两个y分量大小相等，方向相反由于 dl = dr/sin，所以 dFx = I2drBcot，积分得作用在三角形线圈上的力的大小为F = FAB 2Fx，方向向左rI1oRI2图14.2114.21 载有电流I1的无限长直导线，在它上面放置一个半径为R电流为I2的圆形电流线圈，长直导线沿其直径方向，且相互绝缘，如图所示求I2在电流I1的磁场中所受到的力解：电流I1在右边产生磁场方向垂直纸面向里，右上1/4弧受力向右上方，右下1/4弧受力向右下方；电流I1在左边产生磁场方向垂直纸面向外，左上1/4弧受力向右下方，左下1/4弧受力向右上方因此，合力方向向右，大小是右上1/4弧所受的向右的力的四倍电流元所受的力的大小为dF = I2dlB，其中dl = Rd，B = 0I1/2r，而r = Rcos，所以向右的分别为dFx = dFcos = 0I1I2d/2，积分得，电流I2所受的合力大小为F = 4Fx = 0I1I2，方向向右BoG图14.2214.22 如图所示，斜面上放有一木制圆柱，质量m = 0.5kg，半径为R，长为 l = 0.10m，圆柱上绕有10匝导线，圆柱体的轴线位导线回路平面内斜面倾角为，处于均匀磁场B = 0.5T中，B的方向竖直向上如果线圈平面与斜面平行，求通过回路的电流I至少要多大时，圆柱才不致沿斜面向下滚动？解：线圈面积为 S = 2Rl，磁矩大小为pm = NIS，方向与B成角，所以磁力矩大小为Mm = |pmB| = pmBsin = NI2RlBsin，方向垂直纸面向外重力大小为 G = mg，力臂为L = Rsin，重力矩为 Mg = GL = mgRsin，方向垂直纸面向里圆柱不滚动时，两力矩平衡，即NI2RlBsin = mgRsin，解得电流强度为I = mg/2NlB = 5(A)BAboa图15.2314.23 均匀带电细直线AB，电荷线密度为，可绕垂直于直线的轴O以角速度均速转动，设直线长为b，其A端距转轴O距离为a，求：（1）O点的磁感应强度B；（2）磁矩pm；（3）若ab，求B0与pm解：（1）直线转动的周期为T = 2/，在直线上距O为r处取一径向线元dr，所带的电量为dq = dr，形成的圆电流元为dI = dq/T = dr/2，在圆心O点产生的磁感应强度为dB = 0dI/2r = 0dr/4r，整个直线在O点产生磁感应强度为，如果 0，B的方向垂直纸面向外（2）圆电流元包含的面积为S = r2，形成的磁矩为 dpm = SdI = r2dr/2，积分得如果 0，pm的方向垂直纸面向外（3）当ab时，因为， 所以14.24 一圆线圈直径为8cm，共12匝，通有电流5A，将此线圈置于磁感应强度为0.6T的均强磁场中，求：（1）作用在线圈上的电大磁力矩为多少？（2）线圈平面在什么位置时磁力矩为最大磁力矩的一半解：（1）线圈半径为R = 0.04m，面积为S = R2，磁矩为pm = NIS = R2NI，磁力矩为M = pmBsin当 = /2时，磁力矩最大Mm = pmB = R2NIB = 0.18(Nm)（2）由于M = Mmsin，当M = Mm/2时，可得sin = 0.5， = 30或150I2ROI1图15.25*14.25 在半径为R，通