解析几何第四章习题及解答.doc

第4章 二次曲线和二次曲面习题4.11.在直角坐标系中，以直线为新坐标系的轴，取通过且垂直于的直线为轴，写出点的坐标变换公式， 并且求直线在新坐标系中的方程。解：直线的方向是，与它垂直的方向是，新坐标系的轴的坐标向量取为，轴坐标向量取为，与直线垂直且的直线方程可设为，由于过点，得到直线方程是，两直线的交点是新坐标原点，所以点的坐标变换公式：直线在新坐标系中的方程：，化简有2.作直角坐标变换，已知点的新坐标分别为，求点的坐标变换公式。解：设同定向的点的坐标变换公式是：它的向量的坐标变换公式是：由题意知向量变为，于是有得到于是点的坐标变换公式是：将点及它的像点代入得到所以点的坐标变换公式是：设反定向的点的坐标变换公式是：它的向量的坐标变换公式是：由题意知向量变为，于是有得到于是点的坐标变换公式是：将点及它的像点代入得到所以点的坐标变换公式是：3.设新旧坐标系都是右手直角坐标系，点的坐标变换公式为其中，与分别表示同一点的旧坐标与新坐标，求新坐标系的原点的旧坐标，并且求坐标轴旋转的角。解：（1）新坐标系的原点的旧坐标为代入公式中计算的结果，即。由点的坐标变换公式知道是同定向的，于是转角满足由于，所以（2）与上一问题同理，新坐标系的原点的旧坐标为。转角满足由于，所以4.在右手直角坐标系中，设两直线互相垂直，取为右手直角坐标系的轴，轴，试求到的点的坐标变换公式。解：由于两直线互相垂直，且为右手直角坐标系的轴，轴，即在右手直角坐标系下的方程为，所以当时，到的点的坐标变换公式：当时，到的点的坐标变换公式：5.设为四面体，依次是的三边的中点，取，。 （1）求到点的坐标变换公式和向量的坐标变换公式，再到求点（向量）的坐标变换公式。（2）求的坐标。解：（1）依题意有所以到点的过渡矩阵是，到点的坐标变换公式到点的向量的坐标变换公式其中分别是向量在仿射坐标系和下的坐标。由以上关系得到所以到点的过渡矩阵是，到点的坐标变换公式向量的坐标变换公式一样。（2）的坐标分别是，由到点和向量的坐标变换公式得到的坐标分别是。6. 在右手直角坐标系中，已给三个互相垂直的平面。确定新的坐标系，使得分别为坐标面，且在新坐标系的第一卦限内，求到的点的坐标变换公式。解：由于三个平面分别为坐标面，所以坐标之间的关系可设为，又在新坐标系的第一卦限内，所以在新坐标系的三个坐标都为正，于是，故到的点的坐标变换公式7. 在右手直角坐标系中，方程表示什么曲面？解：将方程进行配方，由于平面两两垂直，所以将它们分别作为新坐标系的坐标平面，于是作坐标变换：将它们代入方程得到因此该方程表示双曲抛物面。8.已知，将绕右旋角度得，试用,表示。解：如下图由于是单位向量，且所以绕右旋角度得到，三向量， ，共面且有相同的模长，于是可表示为与的线性组合，即，分别与，作内积，得到，故9.将右手直角坐标系绕方向右旋，原点不动，得坐标系，求到的点的坐标变换公式。解：先考虑一个向量绕另一个向量右旋得到的向量的表达式，过的终点作垂直于的向量，绕右旋得到的向量，的终点就是的终点，于是而，所以由此表达式绕方向右旋得到，所以坐标变换为。1. 设与是两条不垂直的异面直线，分别通过和作两个互相垂直的平面，证明交线的轨迹是单叶双曲面。解：设异面直线的距离为，夹角为，建直角坐标系使得公垂线为轴，公垂线段的中点为坐标原点，两异面直线在坐标面上的投影的两角平分线为坐标轴，则两直线的方程可表示为通过和的平面束方程分别为：要使得两平面垂直，则有即于是相交直线的轨迹满足因而所以交线的轨迹是单叶双曲面。习题4.31.利用不变量求下列曲面的简化方程：（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）二次曲面的矩阵：计算不变量特征方程是即特征根为于是，简化方程为即（2）二次曲面的矩阵：计算不变量特征方程是即特征根为于是，简化方程为（3）二次曲面的矩阵：计算不变量特征方程是即特征根为于是，简化方程为（4）二次曲面的矩阵：计算不变量特征方程是 特征根为于是，简化方程为（5）二次曲面的矩阵：计算不变量特征方程是即特征根为于是，简化方程为即2.证明：二次曲面为圆柱面的条件为。证明：用不变量表示的圆柱面的简化方程是，于是特征方程有两个相同的根，即有两个相同的根，因而3.求之值，使二次曲面表示二次锥面。解：二次锥面的不变量所以4.求出曲面方程的简化方程。解：设平面：两平面的法向量为如果两平面重合，则简化方程为，其中如果两平面平行不重合，则共线，令于是所以简化方程为如果两平面不平行，则以它们的角平分面为新坐标面建立新坐标系，单位法向量记为，因而角平分面的方程为它们的法向量分别是。前一个角平分面为面，后一个角平分面为面，因而令于是简化方程为5.证明：在直角坐标系中，顶点在原点的二次锥面有三条互相垂直的直母线的充分必要条件是。证明：必要性，因为二次锥面的顶点为原点，且有三条互相垂直的直母线，所以选取该三条直母线为新坐标系（原点不变）的坐标轴，新坐标系下的方程变为：新坐标系下的点都在曲面上，应满足上述曲面的方程，因而得到，即不变量充分性，因为曲面是二次锥面，所以可以选取适当的直角坐标系使曲面的方程是且不变量其上选点即一直母线的方向向量，则由向量确定的直母线与直母线垂直。现在以这两条直母线为新坐标系的坐标轴轴，在此坐标系下的点在曲面上，所以曲面的方程为，由此可见点也在曲面上，它决定的直母线与直母线、都垂直，故曲面上有三条互相垂直的直母线。习题4.41.求下列曲面的中心（1）（2）（3）解：（1）曲面的中心满足此方程组有唯一解，即为中心。（2）曲面的中心满足它等价于表示中心在该直线上。（3）曲面的中心满足等价于，表示中心在此平面上。2.判断下列各二次曲面何者是中心曲面，何者是非中心曲面，并进一步区分是线心曲面、面心曲面还是无心曲面。（1）（2）（3）解：（1）曲面的矩阵，不变量曲面是中心曲面。（2）曲面的矩阵，不变量所以曲面是非中心曲面。曲面的中心满足方程组等价于即中心在一个平面上，所以是面心曲面。（3）曲面的矩阵，不变量曲面是非中心曲面，曲面中心满足方程组无解，所以曲面是无心曲面。3.求下列各二次曲面的渐近锥面：（1）（2）（3）解：（1）曲面的不变量所以曲面是中心曲面，有渐近锥面，曲面的中心为原点，故渐近锥面方程为（2）曲面的中心满足原点是它的唯一解，曲面是中心曲面，故渐近锥面方程为（3）曲面的不变量所以曲面是非中心曲面，因此没有渐近锥面。习题4.51.求下列二次曲面的奇向（1）（2）解：（1）曲面的不变量所以曲面没有奇向。（2）曲面的不变量所以曲面有奇向，奇向满足方程组等价于所以平行于平面的方向都是奇向。2.已知曲面，求与方向共轭的直径面方程。解：曲面的矩阵，与方向共轭的直径面方程，即。3. 已知曲面，求过原点的直径面。解：曲面的矩阵，则与方向共轭的直径面是，因为经过原点，所以，即，代入直径面的方程中得到由此得直径面的方程4.求曲面的公共的直径面。解：因为有中心的曲面的直径面都要经过中心，所以求出曲面的中心就可以解决问题。与方向共轭的直径面方程。的中心满足方程组，即中心是，该中心应该在直径面上，所以，故公共的直径面方程是5.求下列二次曲面的主方向与主径面，并且求出直角坐标变换，写出简化方程。（1）（2）解：（1）曲面的矩阵，不变量特征方程是即特征根是简化方程是特征根的主方向满足方程组得到主方向，对应的主经面是特征根的主方向满足方程组得到主方向，对应的主经面是特征根的主方向满足方程组得到主方向，对应的主经面是曲面的中心是，直角坐标变换是（2）曲面的矩阵，不变量特征方程是即特征根是简化方程是特征根的主方向满足方程组得到主方向，对应的主经面是特征根的主方向满足方程组得到主方向，对应的主经面是特征根的主方向满足方程组得到主方向，对应的主经面是曲面的中心是，直角坐标变换是6.证明：过中心曲面的中心的任何平面都是直径面。证明：设中心曲面的中心为原点，则过曲面的中心的平面方程为：。因为中心曲面的不变量，所以与任何方向共轭的直径面均存在，可设为。由于，所以方程组有唯一解，即存在与方向共轭的直径面就是所给的平面。7.请写出二次曲线的弦、直径、奇向、共轭方向、共轭直径、对称轴、主轴与主方向的定义。解（略）8.证明定理。证明（略）9.证明定理。证明（略）10.求二次曲线的中心、主方向与主轴。解：二次曲线的中心满足方程组：有唯一解，这就是中心。二次曲线的矩阵，不变量特征方程：，所以特征根是特征根对应的主方向满足：所以主方向为相应的主轴是即特征根对应的主方向满足：所以主方向为相应的主轴是即11.已知曲线的一条直径与轴平行。求这条直径的方程，并求出它的共轭直径。解：曲线的矩阵是，不变量所以任何方向都有共轭的直径：与轴平行的直径应满足即，所以直径方程是，直径的方向是，与该直径共轭的直径是即2. 通过两点和的二次曲线，以两直线为其一对共轭直径，求的方程。解：因为曲线关于直径在其共轭方向上具有对称性，所以如果以共轭直径为仿射坐标轴，则曲线的方程为，这相当于用仿射坐标变换的结果，因而曲线的方程可设为将点和代入上述方程，则有所以，故所求曲线的方程是习题4.61.写出下列二次曲面在已知点处的切平面和法线的方程：（1），点（2），点解：（1）点在曲面上，切平面方程是，即法线方程是（2）点不在曲面上，所以过点有曲面的切锥，切锥方程是即2.在曲面上求一点，使曲面在该点的切平面平行于某一坐标面。解：设切点是则切平面方程是（1）设切平面与平行，则有解得点是。（2）设切平面与平行，则有解得点是。（3）设切平面与平行，则有解得点是。3.求与两直线及相切的诸球面的中心轨迹，其中为已知实数。解：设球面的球心是，直线与球面的切点是，直线与球面的切点是。直线的参数方程，对应于切点，将参数方程代入球面方程中有，它有重根，则。同理，得到。两式中消去，有因此，球心轨迹满足方程4.给定球面，求（）过点的切平面方程；（）以为顶点的切锥面方程。解：（1）点在球面上，因而切平面方程是即（2）所以以为顶点的切锥面方程是5.证明平面与二次曲面相切，并求出切点坐标。证明：设切点是，则切平面是假设该平面就