数列易错题分类剖析.doc

数列易错题分类剖析江苏省丹阳高级中学 史建军（212300） 数列是高中数学的重要内容之一，因此成为历年高考考查的重点与热点。但有些同学在数列解题过程中，因概念理解不透，审题不严，考虑不周或忽视隐含条件而导致的错误时有发生。为此，本文将数列中的易错题归类剖析，供同学们学习时参考。1、忽视项数n的起始值导致错误 数列可以看作是定义在自然数集或它的子集上的函数，而函数的学习中要注意它的定义域，因此，学习数列中也应注意它的定义域，即项数n的起始值问题，否则会导致解题失误。例1已知数列的前n项和为，当时，求错解：当时， 以上两式相减，得，即 数列是以为首项，以2为公比的等比数列，.剖析：由于没有注意n的起始值问题致错，事实上，中，中，从而中应当，所以数列从第二项起才是等比数列。显然，所以正确的通项公式为2、忽视等比数列中的每一项都不为零导致错误 由等比数列的定义知，等比数列中的每一项均不为零，在解题中容易忽视此条件而导致解题失误.例2若数列的前n项和为，则数列是（ ）A、等比数列 B、等差数列 C、可能是等比数列，也可能是等差数列D、可能是等比数列，但不可能是等差数列错解：由，易求得，故选A.剖析：当时，此时是等差数列，但不是等比数列，综合以上可知答案应选C.3、忽视题设条件导致错误例3四个实数成等比数列，前三项之积为1，后三项之和为，求其公比。错解：设这四个数为，由题意得：由得，把代入，并整理得：，解得或(舍去)。故所求的公比为.剖析：上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为，则公比为正数。但题设并无此条件，因此导致结果有误。正确解答为：设四个数依次为，则：由得，把代入，并整理得：，解得或(舍去)。故所求的公比为或.4、忽视项数导致错误例4等比数列的和等于 .错解：当时，； 当时，剖析：上述解法忽视求和公式中的项数而致错。事实上，的项数为n+1，故当时，；当时，5、忽视成立的条件导致错误数列的通项与前n项和的关系为，故由求时需分n=1和两种情况讨论，有的同学容易忽视而导致解题失误。例5若数列的前n项的和为，求.错解： 剖析：上述解法忽视了公式成立的条件，正确的通项公式为，故数列从第二项起为等差数列，从而数列从第二项起是等差数列，所以6、忽视特殊情况导致错误例6已知各项均不为0的等差数列，求证：错证：设数列的公差为d，则 左边= =右边.剖析：上述证明过程因用到，故只有在时成立，忽视了特殊情况，本题需分与两种情况证明（证明过程略）。7、忽视公比的三个“盲”点导致错误 等比数列中关于公比有三个“盲点”：0，1，公比是决定公比的首要条件；公比是使用等比数列求和公式的前提条件；公比是一个较为隐蔽的条件。这三个盲点始终伴随着公比，稍有不慎，就会不知不觉地犯错误.例7设等比数列的前n项和为，若成等差数列，求数列的公比若是等比数列的前n项的和，试判断是否为等比数列？错解：由已知，得，由等比数列的求和公式得： ，化简得： 或或. ，同理 所以成等比数列。剖析：显然与均不是所求的解。正确解答