数学竞赛教案讲义(6)——三角函数.doc

第六章第六章 三角函数三角函数 一 基础知识一 基础知识 定义 1 角 一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角 若旋转方向为逆时针方向 则角为正角 若旋转方向为顺时针方向 则角为负角 若不旋转则为零角 角的大小是任 意的 定义 2 角度制 把一周角 360 等分 每一等价为一度 弧度制 把等于半径长的圆弧所 对的圆心角叫做一弧度 360 度 2 弧度 若圆心角的弧长为 L 则其弧度数的绝对值 其中 r 是圆的半径 r L 定义 3 三角函数 在直角坐标平面内 把角 的顶点放在原点 始边与 x 轴的正半轴重 合 在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P 设它的坐标为 x y 到原点的距离为 r 则正弦函数 sin 余弦函数 cos 正切函数 tan 余切函数 cot 正割函 r y r x x y y x 数 sec 余割函数 csc x r y r 定理 1 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tan sin cos cot 1 csc 1 商数关系 tan 乘积关系 sec 1 sin cos cot cos sin tan cos sin cot sin cos 平方关系 sin2 cos2 1 tan2 1 sec2 cot2 1 csc2 定理 2 诱导公式 sin sin cos cos tan tan cot cot sin sin cos cos tan tan cot cot sin sin cos cos tan tan cot cot sin cos cos 2 sin tan cot 奇变偶不变 符号看象限 2 2 定理 3 正弦函数的性质 根据图象可得 y sinx x R 的性质如下 单调区间 在区间 上为增函数 在区间上为减函数 最小正周 2 2 2 2 kk 2 3 2 2 2kk 期为 2 奇偶数 有界性 当且仅当 x 2kx 时 y 取最大值 1 当且仅当 x 3k 时 2 2 y 取最小值 1 对称性 直线 x k 均为其对称轴 点 k 0 均为其对称中心 值域 2 为 1 1 这里 k Z 定理 4 余弦函数的性质 根据图象可得 y cosx x R 的性质 单调区间 在区间 2k 2k 上单调递减 在区间 2k 2k 上单调递增 最小正周期为 2 奇偶性 偶函数 对称性 直线 x k 均为其对称轴 点均为其对称中心 有界性 当且仅当 0 2 k x 2k 时 y 取最大值 1 当且仅当 x 2k 时 y 取最小值 1 值域为 1 1 这里 k Z 定理 5 正切函数的性质 由图象知奇函数 y tanx xk 在开区间 k k 上为增 2 2 2 函数 最小正周期为 值域为 点 k 0 k 0 均为其对称中心 2 定理 6 两角和与差的基本关系式 cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tantan1 tan tan 定理 7 和差化积与积化和差公式 sin sin 2sincos sin sin 2sincos 2 2 2 2 cos cos 2coscos cos cos 2sinsin 2 2 2 2 sin cos sin sin cos sin sin sin 2 1 2 1 cos cos cos cos sin sin cos cos 2 1 2 1 定理 8 倍角公式 sin2 2sin cos cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 tan2 tan1 tan2 2 定理 9 半角公式 sin cos 2 2 cos1 2 2 cos1 tan 2 cos1 cos1 sin cos1 cos1 sin 定理 10 万能公式 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 2 tan1 2 tan2 tan 2 定理 11 辅助角公式 如果 a b 是实数且 a2 b20 则取始边在 x 轴正半轴 终边经过点 a b 的一个角为 则 sin cos 对任意的角 22 ba b 22 ba a asin bcos sin 22 ba 定理 12 正弦定理 在任意 ABC 中有 其中 a b c 分别是R C c B b A a 2 sinsinsin 角 A B C 的对边 R 为 ABC 外接圆半径 定理 13 余弦定理 在任意 ABC 中有 a2 b2 c2 2bcosA 其中 a b c 分别是角 A B C 的 对边 定理 14 图象之间的关系 y sinx 的图象经上下平移得 y sinx k 的图象 经左右平移得 y sin x 的图象 相位变换 纵坐标不变 横坐标变为原来的 得到 y sin 1 x 的图象 周期变换 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 得到 y Asinx 的图象0 振幅变换 y Asin x 0 的图象 周期变换 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 得到 y Asinx 的图象 振幅变换 y Asin x 0 A 叫作振幅 的图象向 右平移个单位得到 y Asinx 的图象 w w w k s 5 u c o m 定义 4 函数 y sinx的反函数叫反正弦函数 记作 y arcsinx x 1 1 函 2 2 x 数 y cosx x 0 的反函数叫反余弦函数 记作 y arccosx x 1 1 函数 y tanx 的反函数叫反正切函数 记作 y arctanx x y cosx x 0 的反 2 2 x 函数称为反余切函数 记作 y arccotx x 定理 15 三角方程的解集 如果 a 1 1 方程 sinx a 的解集是 x x n 1 narcsina n Z 方程 cosx a 的解集是 x x 2kxarccosa k Z 如果 a R 方程 tanx a 的解集是 x x k arctana k Z 恒等式 arcsina arccosa arctana arccota 2 2 定理 16 若 则 sinx x0 求证 2 2 sin cos sin cos x x 注 以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式 值得注意的是角的讨论 3 最小正周期的确定 例 4 求函数 y sin 2cos x 的最小正周期 4 三角最值问题 例 5 已知函数 y sinx 求函数的最大值与最小值 x 2 cos1 例 6 设 0 1 1 121 n n a a 2 2 n 注 换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性 另外当 x 时 有 tanx x sinx 这是个熟知的结论 暂时不证明 学完导数后 证 2 0 明是很容易的 6 图象变换 y sinx x R 与 y Asin x A 0 由 y sinx 的图象向左平移个单位 然后保持横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 然后 再保持纵坐标不变 横坐标变为原来的 得到 y Asin x 的图象 也可以由 y sinx 1 的图象先保持横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 再保持纵坐标不变 横坐标变为原来 的 最后向左平移个单位 得到 y Asin x 的图象 1 例 10 例 10 已知 f x sin x 0 0 是 R 上的偶函数 其图象关于点 对称 且在区间上是单调函数 求和的值 0 4 3 M 2 0 7 三角公式的应用 例 11 已知 sin sin 且 求 13 5 13 5 2 2 2 3 sin2 cos2 的值 例 12 已知 ABC 的三个内角 A B C 成等差数列 且 试求 BCAcos 2 cos 1 cos 1 的值 2 cos CA 例 13 求证 tan20 4cos70 三 基础训练题三 基础训练题 1 已知锐角 x 的终边上一点 A 的坐标为 2sin3 2cos3 则 x 的弧度数为 2 适合 2cscx 的角的集合为 x x x x cos1 cos1 cos1 cos1 3 给出下列命题 1 若 则 sin sin 2 若 sin sin 则 3 若 sin 0 则 为第一或第二象限角 4 若 为第一或第二象限角 则 sin 0 上述四个 命题中 正确的命题有 个 4 已知 sinx cosx x 0 则 cotx 5 1 5 简谐振动 x1 Asin和 x2 Bsin叠加后得到的合振动是 3 t 6 t x 6 已知 3sinx 4cosx 5sin x 1 5sin x 2 5cos x 3 5cos x 4 则1 2 3 4 分别是第 象限角 7 满足 sin sinx x cos cosx x 的锐角 x 共有 个 8 已知 则 2 2 3 xxcos 2 1 2 1 2 1 2 1 9 40cos170sin 10tan31 50sin40cos 10 cot15 cos25 cot35 cot85 11 已知 0 tan sin 求 cos 的值 2 1 2 13 5 12 已知函数 f x 在区间上单调递减 试求实数 m 的取值范围 x xm cos sin2 2 0 四 高考水平训练题 1 已知一扇形中心角是 a 所在圆半径为 R 若其周长为定值 c c 0 当扇形面积最大时 a 2 函数 f x 2sinx sinx cosx 的单调递减区间是 3 函数的值域为 x x y cos2 sin2 4 方程 0 的实根个数为 xxlg 6 2sin2 5 若 sina cosa tana a 则 a 填大小关系 2 0 3 6 1 tan1 1 tan2 1 tan44 1 tan45 7 若 0 y x0 k 1 求 f x 的单调区间 3 试求最小正整数 k 使得当 x 在任意两个整数 包括整数本身 间变化时 函数 f x 至少取得一次最大值和一次最小值 五 联赛一试水平训练题 一 五 联赛一试水平训练题 一 1 若 x y R 则 z cosx2 cosy2 cosxy 的取值范围是 2 已知圆 x2 y2 k2至少盖住函数 f x 的一个最大值点与一个最小值点 则实数 k x sin3 k 的取值范围是 3 f 5 8cos 4cos2 cos3的最小值为 4 方程 sinx cosx a 0 在 0 2 内有相异两实根 则 3 5 函数 f x tanx cotx 的单调递增区间是 6 设 sina 0 cosa 且 sin cos 则的取值范围是 3 a 3 a 3 a 7 方程 tan5x tan3x 0 在 0 中有 个解 8 若 x y R 则 M cosx cosy 2cos x y 的最小值为 9 若 0 0 在一个最小正周期长的区间上的图象 与函数 g x 的图象所围成的封闭图形的面积是 1 2 a 2 若 则 y tan tan cos的最大值是 3 12 5 x 3 2 x 6 x 6 x 3 在 ABC 中 记 BC a CA b AB c 若 9a2 9b2 19c2 0 则 BA C cotcot cot 4 设 f x x2 x arcsin arctan arccos arccot 将 f f f 3 1 4 5 3 1 4 5 f 从小到大排列为 5 logsin1cos1 a logsin1tan1 b logcos1sin1 c logcos1tan1 d 将 a b c d 从小到大排列为 6 在锐角 ABC 中 cosA cos sin cosB cos sin cosC cos sin 则 tan tan tan 7 已知矩形的两边长分别为 tan和 1 cos 0 0 恒成立 则的取值范围是 10 已知 sinx siny sinz cosx cosy cosz 0 则 cos2x cos2y cos2z 11 已知 a1 a2 an是 n 个实常数 考虑关于 x 的函数 f x cos a1 x cos a2 x 2 1 cos an x 求证 若实数 x1 x2满足 f x1 f x2 0 则存在整数 m 使得 x2 x1 m 1 2 1 n 12 在 ABC 中 已知 求证 此三角形中有一个内角为 3 coscoscos sinsinsin CBA CBA 3 13 求证 对任意自然数 n 均有 sin1 sin2 sin 3n 1 sin3n 5 8n 六 联赛二试水平训练题六 联赛二试水平训练题 1 已知 x 0 y 0 且 x y0 w R 2 已知 a 为锐角 n 2 n N 求证 2n 2 1 1 cos 1 1 sin 1 aa nn 1 2 n 3 设 x1 x2 xn y1 y2 yn 满足 x1 y1 xn 1 xn yn 1 求证 3 2 1 n x 2 11 n n y y 2 xny