函数应用讲义.doc

龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校第3章 函数的应用函数与方程（1）一、预习导引1、回顾：二次方程 的根及相应二次函数 的零点的关系2、二次函数，关于直线对称，则 3、二次方程的两根、当系数满足 关系时两根均为正数，满足 关系时两根为一正一负4、已知是偶函数，且其图像与x轴有四个交点，则方程的所有实根之和为（ ）A、4 B、2 C、1 D、0二、知识点点拨设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象（）得出的结论函数零点存在性定理：一般地，如果函数在区间上图象是连续不断）的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程=0的根(注意：反之不一定成立)三、例题讲解例、求实数的范围，使关于的方程的两根情况如下：(1)两个负根；(2)两根都小于1；(3)两根都大于1 ；(4)一个根大于1，一个根小于1(5)两个根都在（0,2）内 (6)两个根有且仅有一个在（0 ,2）内(7)一个根在（-2 ,0）内，另一个根在（1 ,3）内例、方程必有一个根的区间是（ ） 例、（1）求证：函数在区间上存在零点（2）当 （给出一个实数值即可）时，函数在区间上存在零点例4、：（1）求函数的零点（2）设函数，求函数的零点例5. 若关于x的方程有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为_。四、课堂练习：1.若方程的两个根，都小于-1，求的取值范围。2.已知关于的方程有两个实根，其中一根在(0，1)之间，另一根在(-1，0)之间，求实数的取值范围。3、 A. 1个B. 2个C. 3个D. 1个或2个或3个函数与方程（2）一、自学导引：1.函数零点存在定理:如果函数在区间上的图象是_的一条曲线,并且有_,那么,函数在区间内有零点,即存在_使得,这个也就是方程的_.2.一般地,我们把_称为区间的中点3.对于在区间上_且_的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间_,使区间的两个端点_零点,进而得到零点_的方法叫做二分法.4、已知下列函数图象其中不能用二分法求交点横坐标近似值的是 （ ）oxyoxyxyoyox A B C D 二、知识点点拨1、一般地，我们把称为区间的中点2、对于在区间上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间二等分，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。（1）用二分法的条件表明二分法求函数的近似零点都是指变号零点，而非不变号零点。（2）二分法的思想为：首先确定有根区间，将区间二等分，通过判断的符号，逐步将有根区间缩小，直至有根区间足够小，便可求出满足精度要求的近似根。用二分法求函数零点近似值的基本步骤：1、确定区间 ，使 ，给定精度；2. 求区间的中点3. 计算： （1）若=0，则就是函数的零点； （2）若 ，则令，此时零点；（3）若 ，则令，此时零点.4. 判断是否达到精确度：若 ，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤 24三、例题分析：例1、已知二次函数的部分对应值如下表x-3-2-101234y6m-4-6-6-4n6不求的值，则方程的两个根所存在的区间是（ ）A、和 B、和 C、和 D、和例2、：利用计算器，用二分法求方程23x7的近似解（精确度0.1）分析思考:原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的?解:原方程即23x7 ,令f（x）23x 7,用计算器作出函数的对应值表与图象（如下):x01234567f（x）23x 7-6-2310214075142观察上图和表格,可知f(1)f(2)0,说明在区间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器可得f(1.5)0.33.因为f(1)f(1.5)0,所以x0(1,1.5),再取(1,1.5)的中点x2=1.25,用计算器求得f(1.25)-0.87,因此f(1.25)f(1.5)0,所以x0(1.25,1.5),同理可得x0(1.375,1.5),x0(1.375,1.4375),由|1.375-1.4375|=0.06250.1, 所以原方程精确度为0.1的近似解为1.4375.四、课堂练习1、函数在的零点的大致区间是 （ ）A、 B、(2,3) C、 D、2、方程的解所在区间是 （ ）A、（0，2） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4）3、下列方程在区间内一定没有实根的是 （ ）A、 B、 C、 D、4、用计算器求方程 的近似解（精确到0.1）；函数模型及其应用（1）一、知识点拨：我们知道，指数函数y=ax（a1），对数函数y=logax（a1），幂函数y=xn（n0）在区间（0，+）上都是增函数，那么这种差异的具体情况到底是怎样的呢？我们不妨先以函数y=2x，y=x2，y=log2x为例进行研究。二、例题分析：例1、 1995年我国人口总数是12亿.如果人口的自然年增长率控制在1.25%，问哪一年我国人口总数将超过14亿。分析：仔细阅读题目，认真审题，题目中问的是哪一年我国人口总数超过14亿，根据题意，找出人口总数y与年数x的函数关系，列出相应的函数模型。解：设x年后我国人口总数为y，则有y=12（1+0.0125）x，依题意，得y14，即12（1+0.0125）x14，即（1+0.0125）x两边取对数，得xlg1.0125lg14lg12.所以x12.4答：13年后，即2008年我国人口总数将超过14亿。注意：也可利用y=14，即12（1+0.0125）x=14来解题，但需注意的是根据实际情况如何来取近似值.函数模型及其应用（2）一、知识点拨：1、利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法：（1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；（2）利用待定系数法，确定具体函数模型；（3）对所确定的函数模型进行适当的评价；（4）根据实际问题对模型进行适当的修正.2、函数解决实际问题的一般方法，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法. 利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：用函数模型解决实际问题在于求函数模型选择函数模型画散点图检验收集数据 符合 实际 不符合实际3、应用题的求解方法步骤：（1）合理选取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数模型问题：（2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；（3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；（4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.三、例题分析（见课本）作业1、求下列函数的零点（1） ； （2）2、若函数只有一个零点2，那么函数的零点是（ ）、 、 、 、 3、对于函数，若(mn)，则函数在区间内 （ ）A、一定没有零点 B、可能有两个零点 C、有且只有一个零点 D、一个或两个零点4、已知二次函数有两个相异零点，且函数满足，则5、二次函数若则（ ），A、 B、 C、D、6、求下列函数的零点：（1）；（2）；（3）7、若方程在（0，1）内恰有一解，求的取值范围 8、求实数的范围，使关于的方程(1)有两个正实根；(2)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(3)有两个实根，且都比1大；9、与交点的个数为 （）：0个 ：1个 ：2个 :3个10、方程的实根的个数 （ ）A、当时，方程没有实数解。 B、当时，方程有两个实数解 C、当，方程只有一个实数解。 D、当时，方程有两个实数解。 11、方程的根的范围为 （ ） 12、已知函数(1)当时，恒成立，求的取值范围(2)当时，恒成立，求的取值范围13、函数在区间-2,4上的零点必定在( )内 ，其中f(1.75)0 A、 -2,1 B、 2.5,4 C、 1,1.75 D、 1.75,2.5 14、用二分法求方程在（-1，0）上的近似值（精确到0.1）15、利用计算器求方程的近似解（精确到0.1）yoyxoy1、某城市地区的绿化面积平均每年 上一年增长10.4%，经过x年，绿化面积与原有的绿化面积之比为y，则函数y=f（x）的图象大致形状为 ( )yxo11xox2、某人2004年7月1日到银行存入一年期款a元。若年利率为x,按复利计算,到2007年7月1日取回的款为 ( )A、元 B、元 C、元 D、元3、某工厂产品前两年每年递增20%，经过引进先进的技术设备并实施科学管理，后两年产品成本每年递减20%。那么该企业产品成本现在与原来比较 （ ）A、不增不减 B、约增8% C、约减5% D、约减8%4、某 纯 净 水 制 造 厂 在 净 化 水 的 过 程 中 ，每 增 加 一 次 过 滤 可 以 减少 水 中 杂 质 20% ，要 使水 中 杂 质 减 少 到 原 来 的 5% 以 下 ， 则 至 少 需 要 过 滤 的 次 数 为（参 考 数 据lg2=0.3 010 ，lg3 = 0.4771 ） （ ）A、5 B、10 C、14 D、155、在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况。（1