【创新课堂】高考数学总复习 专题08 第3节 圆的方程课件 文.ppt

第三节圆的方程 一 圆的方程 1 圆的定义 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹叫做圆 2 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 圆心为c a b 半径为r 若圆心在坐标原点上 这时a b 0 则圆的方程就是x2 y2 r2 3 圆的一般方程 x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 知识汇合 3 当d2 e2 4f 0时 方程 没有实数解 因而它不表示任何图形 二 点与圆的位置关系 判断点a x0 y0 与圆c x a 2 y b 2 r2的位置关系 可用下列方法 1 几何法 ac r 点a在圆内 ac r 点a在圆上 ac r 点a在圆外 2 代数法 x0 a 2 y0 b 2 r2 点a在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 点a在圆上 x0 a 2 y0 b 2 r2 点a在圆外 三 对称问题 圆 x a 2 y b 2 r2关于直线x 0的对称圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 关于直线y 0的对称圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 关于直线y x的对称圆的方程为 x b 2 y a 2 r2 关于直线y x的对称圆的方程为 x b 2 y a 2 r2 对于一般的直线方程ax by c 0 先求出圆心p a b 关于直线的对称点p1 然后以p1为圆心r为半径写出圆的方程即可 题型一求圆的方程 例1 求过两点a 1 4 b 3 2 且圆心在直线y 0上的圆的方程并判断点p 2 4 与圆的关系 解 方法一 设圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 圆心在y 0上 b 0 圆的方程为 x a 2 y2 r2 又 该圆过a 1 4 b 3 2 两点 解得故所求圆的方程为 x 1 2 y2 20 典例分析 题型二圆的对称问题 例2 已知圆c1 x 1 2 y 1 2 1 圆c2与圆c1关于直线x y 1 0对称 则圆c2的方程为 a x 2 2 y 2 2 1b x 2 2 y 2 2 1c x 2 2 y 2 2 1d x 2 2 y 2 2 1 解 设圆c2的圆心为 a b 则依题意 有解得对称圆的半径不变 仍为1 故选b 题型三与圆有关的最值问题 例3 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 1 求的最大值和最小值 2 求y x的最大值和最小值 3 求x2 y2的最大值和最小值 解 原方程可化为 x 2 2 y2 3 表示以 2 0 为圆心 为半径的圆 1 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率 所以设 k 即y kx 当直线y kx与圆相切时 斜率k取最大值或最小值 此时 解得k 如图1 所以的最大值为 最小值为 2 y x可看作是直线y x b在y轴上的截距 当直线y x b与圆相切时 纵截距b取得最大值或最小值 此时 解得b 2 如图2 所以y x的最大值为 2 最小值为 2 3 x2 y2表示圆上的一点与原点距离的平方 由平面几何知识知 在原点与圆心的连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值 如图3 又圆心到原点的距离为 2 所以 x2 y2的最大值为 2 2 7 4 x2 y2的最小值为 2 2 7 4 题型四与圆有关的轨迹问题 例4 已知线段ab的端点b的坐标是 4 3 端点a在圆 x 1 2 y2 4上运动 求线段ab的中点m的轨迹方程 解 设点m的坐标为 x y 点a x0 y0 因为m是线段ab的中点 且b 4 3 所以所以 又点a在圆 x 1 2 y2 4上运动 所以 x0 1 2 y02 4 把 代入 得 2x 4 1 2 2y 3 2 4 整理得2 2 1 所以点m的轨迹是以为圆心 半径为1的圆 解 以ab中点为原点o ab所在直线为x轴 建立平面直角坐标系 如图 则c 4 2 m 3 3 设圆弧所在圆的方程为x2 y b 2 r2 则 即所求圆的方程为x2 y 1 2 25 令x 0代入方程解得y 4或 6 舍去 所以拱顶e距路面ab至少需4m 题型五圆的方程的实际应用 例5 某工程设计一条单行隧道 其横截面如图所示 下部abcd为长8m高2m的矩形 上部是圆弧ced的一部分 欲使宽6m高3m的大型货车刚好能通过 求拱顶e距离路面ab至少需多少米 高考体验 1 点p m 5 与圆x2 y2 24的位置关系是 a 在圆外b 在圆内c 在圆上d 不确定2 以点p 3 2 为圆心 并且与y轴相切的圆的方程是 a x 3 2 y 2 2 4b x 3 2 y 2 2 4c x 3 2 y 2 2 9d x 3 2 y 2 2 9 练习巩固 3 动点p到点a 8 0 的距离是到点b 2 0 的距离的2倍 那么点的轨迹方程为 a x2 y2 32b x2 y2 16c x 1 2 y2 16d x2 y 1 2 164 2011 青岛模拟 若曲线x2 y2 a2x 1 a2 y 4 0关于直线y x 0的对称曲线仍是其本身 则实数a 答案 1 a解析 由题意可知 圆心坐标为 0 0 p点到圆心的距离为所以点在圆外 2 c解析 圆的半径为r 3 所以圆的方程为 x 3 2 y 2 2 9 3 b解析 设p x y 则4 x 2 2 y2 x 8 2 y2 化简得x2 y2 16 4 解析 曲线关于直线y x 0对称 则圆心在直线上 代入得a2 1 a2 解得a 5 圆心在直线2x y 7 0上的圆c与y轴交于两点a 0 4 b 0 2 则圆c的方程是 a x 2 2 y 3 2 5b x 2 2 y 3 2 5c x 3 2 y 2 2 5d x 3 2 y 2 2 5 答案 a解析 由题意知圆心一定在直线y 3上 又圆心在直线2x y 7 0上 故圆心坐标为 2 3 半径r 故所求圆的方程为 x 2 2 y 3 2 5 6已知圆c的圆心与点p 2 1 关于直线y x 1对称 直线3x 4y 11 0与圆c相交于a b两点 且 ab 6 则圆c的方程为 答案 x2 y 1 2 18解析 设圆心c x y 则所以故圆心的坐标为 0 1 圆心到直线3x 4y 11 0的距离d 3 所以r2 32 d2 18 故圆的方程为x2 y 1 2 18 7 已知圆c x 3 2 y 4 2 1 点a 1 0 b 1 0 点p为圆上的动点 求d pa 2 pb 2的最大值 最小值 解 设p x0 y0 则d pa 2 pb 2 x0 1 2 y02 x0 1 2 y02 2 x02 y02 2 欲求d的最值 只需求w x02 y02的最值 即求圆c上的点到原点距离平方的最值 故过原点o与圆心c的直线与圆的两个交点p1 p2即为所求 设过o c两点的直线交圆c于p1 p2两点 则wmin oc 1 2 16 op1 2 此时dmin 2 16 2 34 wmax oc 1 2 36 op2 2 此时dmax 2 36 2 74 8 由动点p向圆x2 y2 1引两条切线pa pb 切点分别为a b aob 120 o为坐标原点 求动点p的轨迹方程 解 连接op 因为pa pb为切线 切点分别为a b 所以oa ap ob bp 因为 aob 120 所以 apo bpo 30 在rt apo中 可得 op 2