【世纪金榜】高考数学总复习 课时提升作业(十三) 2.10变化率与导数、导数的计算 文 新人教A版.doc

课时提升作业(十三)变化率与导数、导数的计算一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015哈尔滨模拟)已知f(x)=x(2 013+ln x),f(x0)=2 014,则x0等于()a.e2b.1c.ln 2d.e【解析】选b.因为f(x)=2 013x+xln x,所以f(x)=2 013+ln x+1=2 014+ln x,又因为f(x0)=2 014,所以2 014+ln x0=2 014,解得x0=1.2.若f(x)=2xf(1)+x2,则f(0)等于()a.2b.0c.-2d.-4【解析】选d.f(x)=2f(1)+2x,令x=1,则f(1)=2f(1)+2,得f(1)=-2,所以f(0)=2f(1)+0=-4.【误区警示】本题在对f(x)求导时易出错,原因是不能将2f(1)看成x的系数.3.若曲线y=x2+ax+b在点p(0,b)处的切线方程为x-y+1=0,则()a.a=1,b=1b.a=-1,b=1c.a=1,b=-1d.a=-1,b=-1【解析】选a.由点p(0,b)在切线x-y+1=0知b=1,又y=2x+a,由题意知y|x=0=a=1.【加固训练】已知函数y=xln x,则其在点x=1处的切线方程是()a.y=2x-2b.y=2x+2c.y=x-1d.y=x+1【解析】选c.因为y=x ln x.所以y=1ln x+x=1+ln x,y|x=1=1.又当x=1时y=0.所以切线方程为y=x-1.4.已知曲线y=x2-3ln x的一条切线的斜率为-,则切点横坐标为()a.-2b.3c.2或-3d.2【解析】选d.设切点坐标为(x0,y0),因为y=所以即+x0-6=0,解得x0=2或x0=-3(舍),故选d.【误区警示】本题易误选c,原因是忽视了函数的定义域.5.(2015唐山模拟)曲线y=alnx(a0)在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4,则a的值为()a.4b.-4c.8d.-8【解析】选c.y=,在x=1处的切线斜率k=a,当x=1时,y=aln1=0,即切点坐标为(1,0),因此切线方程为y=a(x-1),令y=0得x=1,令x=0得y=-a,因为a0,所以所围成的三角形的面积为a1=4,解得a=8.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2013江西高考)设函数f(x)在(0,+)内可导,且f(ex)=x+ex,则f(1)=.【解题提示】利用换元法求出f(x),再求导.【解析】令ex=t,则x=ln t.f(t)=t+ln t.所以f(x)=x+ln x.所以f(x)=1+,从而f(1)=2.答案:27.(2013广东高考)若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k=.【解析】y=k+,则y|x=1=k+1=0.解得k=-1.答案:-18.(2015郑州模拟)曲线y=+x在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为.【解析】若y=+x,则y|x=1=2,即曲线y=+x在点处的切线方程是y-=2(x-1),它与坐标轴的交点是围成的三角形的面积为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知曲线y=+.(1)求曲线在点p(2,4)处的切线方程.(2)求曲线过点p(2,4)的切线方程.【解析】(1)根据已知得点p(2,4)是切点且y=x2,所以在点p(2,4)处的切线的斜率为y|x=2=4.所以曲线在点p(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设曲线y=+与过点p(2,4)的切线相切于点则切线的斜率为.所以切线方程为,即y=.因为点p(2,4)在切线上,所以4=,即-3+4=0,所以+-4+4=0,所以(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,所以(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.10.已知函数f(x)=的图象在点(-1,f(-1)处的切线方程为x+2y+5=0,求y=f(x)的解析式.【解析】由已知得,-1+2f(-1)+5=0,所以f(-1)=-2,即切点为(-1,-2).又f(x)=所以解得所以f(x)=.(20分钟40分)1.(5分)(2015淮南模拟)点p是曲线x2-y-ln x=0上的任意一点,则点p到直线y=x-2的最小距离为()a.1b.c.d.2【解析】选d.将x2-y-ln x=0变形为y=x2-ln x(x0),则y=2x-,令y=1,则x=1或x=-(舍),可知函数y=x2-ln x的斜率为1的切线的切点横坐标为x=1,纵坐标为y=1.故切线方程为x-y=0.则点p到直线y=x-2的最小距离即x-y=0与y=x-2的两平行线间的距离,d=.2.(5分)已知f1(x)=sin x+cos x,记f2(x)=f1(x),f3(x)=f2(x),fn(x)=fn-1(x)(nn*,且n2),则=.【解题提示】分别求出f1(x),f2(x),f3(x),f4(x),发现其规律再求解.【解析】f1(x)=sin x+cos x,f2(x)=cos x-sin x,f3(x)=-sin x-cos x,f4(x)=-cos x+sin x,f5(x)=sin x+cos x,因此,函数fn(x)(nn*)周期性出现且周期为4.又f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,所以答案:-13.(5分)(2015武汉模拟)已知曲线f(x)=xn+1(nn*)与直线x=1交于点p,设曲线y=f(x)在点p处的切线与x轴交点的横坐标为xn,则log2 015x1+log2 015x2+log2 015x2 014的值为.【解析】由题意知p(1,1),f(x)=(n+1)xn,k=f(1)=n+1,点p(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x=1-,即xn=,所以x1x2x2 014=,则log2 015x1+log2 015x2+.+log2 015x2 014=log2 015(x1x2x2 014)=log2 015=-1.答案:-14.(12分)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程.(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.【解析】(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.因为f(x)=(x3+x-16)=3x2+1.所以曲线在点(2,-6)处的切线的斜率为f(2)=13.所以切线的方程为y-(-6)=13(x-2),即13x-y-32=0.(2)设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f(x0)= +1,所以直线l的方程为y=(3+1)(x-x0)+ +x0-16.又因为直线l过点(0,0),所以0=(3+1)(-x0)+x0-16,整理得=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3(-2)2+1=13,所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)因为切线与直线y=- +3垂直,所以切线的斜率为4.设切点的坐标为(x0,y0),则f(x0)=3x+1=4,所以x0=1,所以或即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),所以切线方程为y-(-14)=4(x-1)或y-(-18)=4(x+1).即4x-y-18=0或4x-y-14=0.【加固训练】(2014沧州模拟)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,br).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值.(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.【解析】f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得解得b=0,a=-3或a=1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线.所以关于x的方程f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以=4(1-a)2+12a(a+2)0,即4a2+4a+10,所以a-.所以a的取值范围为.5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=x-,g(x)=a(2-ln x)(a0).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同,求a的值,并判断两条切线是否为同一条直线.【解题提示】分别对f(x),g(x)求导.求出切线斜率,然后求出a可得切线方程,再判断.【解析】根据题意有f(x)=1+,g(x)=-.曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f(1)=