历届高二“希望杯”全国数学邀请赛第一试试题.doc

第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试2000年3月19日 上午8：3010：00一、选择题（每小题6分，共60分）1、直线l1，l2分别过点P( 2， 2 )，Q( 1，3 )，它们分别绕点P和Q旋转，但保持平行，那么，它们之间的距离d的取值范围是（ ）（A）( ，) （B）( 0，+ ) （C）(，+ ) （D），+ )2、等比数列 a n 中，a 1 + a 2 + + a 5 = 27，a 6 + a 7 + + a 10 = 3，则( a 1 + a 2 + + a n ) =（ ）（A） 30 （B）30 （C） （D）3、正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BB1的中点，则A1E和C1F所成的角是（ ）（A）arcsin （B）arccos （C） （D）4、圆锥的侧面展开图是半径为1，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面面积的最大值是（ ）（A） （B） （C） （D）5、If the line x +y + a = 0 and the circle x 2 + y 2 = 1 have two different intersections（交点）in the third quadrant（象限）, then the interval（范围）of the real number a is（ ）（A）( 2， 1 ) （B）( 2，) （C）( 1，2 ) （D）(，2 )6、使不等式2 x a arccos x的解是 b c，nN，且+恒成立，则n的最大值为（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）58、过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于A、B两点，若| AF | BF | = 23，且直线与长轴的夹角为，则椭圆的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）9、设函数f ( x ) = ( x 1 ) 2 + n（x 1，3 ，nN）的最小值为a n，最大值为b n，记C n = b 2 a n，则数列 C n （ ）（A）是公差不为零的等差数列 （B）是公比不为1的等比数列（C）是常数数列 （D）不是等差数列也不是等比数列10、如图，半径为1的圆M切直线AB于O点，射线OC从OA出发，绕着O点，顺时针方向旋转到OB，旋转过程中OC交M于P，记PMO为x，弓形PNO的面积S = f ( x )，那么f ( x )的图象是（ ）二、A组填空题（每小题6分，共60分）11、已知0 a 的解集为 x | x 4 ，则整数k的最大值为 。16、现有直径为d的圆木，要把它锯成横断面为矩形的梁，从材料力学知道，横断面为矩形的梁的强度Q = k b h 2，（b为断面宽，h为断面高，k为常数），要使强度最大，则高与宽的比是 。17、设P0是抛物线y = 2 x 2 + 4 x + 3上的一点，M1，M2是抛物线上的任意两点，k1，k2，k3分别是P0M1，M1M2，M2P0的斜率，若k 1 k 2 + k 3 = 0，则点P0的坐标为 。18、过原点作互相垂直的两条直线，分别交抛物线y = x 2于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程是 。19、给出一系列化合物的分子式：C6H6，C10H8，C14H10，若该系列化合物的分子式可以无限增大，则该系列化合物分子式中含碳元素的质量分数的极限值为 %。20、扇形铁皮AOB，弧长为20 cm，现剪下一个扇形环ABCD做圆台形容器的侧面，使圆台母线长30cm并从剩下的扇形COD内剪下一个最大的圆，刚好做容器的下底（指较大的底），则扇形圆心角是 度。三、B组填空题（每小题6分，共30分）21、函数f ( x )是定义在R上的周期为2的偶函数，当x 2，3 时，f ( x ) = x，则当x 2，0 时，f ( x )的解析式写成分段函数的形式是 ，写成统一的形式是 。22、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是AA1的中点，则BC1和CD所成的角是 ，面BCD与面CDB1所成二面角等于 。23、x，yR且x 2 y 2 = 2，则当有序数对( x，y )为 时，| 2 x + 3 y |取得最小值 。24、数列 a n 的前n项和S n =n 2，( nN )，则a n = ，cos 2 a n 1 + cos 2 a n + cos 2 a n + 1 = 。25、圆锥曲线G的一个焦点是F，与之对应的准线是l，过F作直线与G交于A、B两点，以AB为直径作圆M，圆M与l的位置关系决定G是何种曲线之间的关系是：圆M与l的位置相离相切相交G是何种曲线答案：一、A、D、A、D、D、B、C、B、D、A；二、11、x y；12、2 P +；13、a 0；14、 1；15、12；16、1；17、( 1，1 )；18、y = 2 x 2 + 1；19、96；20、60；三、21、f ( x ) =，f ( x ) = | x + 1 | + 3；22、90，arccos；23、( 2，)或( 2，)，2；24、( 2 n 1 )，；25、椭圆，抛物线，双曲线.简解：6、y = 2 x arccos x为增函数；7、n += 1 + 1 += 2 +；16、Q 2 =k 2 b 2 h 2 h 2 k () 3 =k () 3 =k d 6；20、= sin。第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试2001年3月18日 上午8：3010：00一、选择题1、角和的终边分别为OA和OB，OA过点M ( sin ，cos )（0 q （B）p = q （C）p q （D）p，q的大小关系不确定（即与棱长有关）7、The matchbox is a cuboid ABCD A1B1C1D1 , its length , width and height are 5 cm , 3 cm and 1 cm respectively . Suppose an ant climbs along the surface from vertex A to vertex C1 . The shortest distance is（ ）（A） （B）3 （C） （D）（英汉小词典：matchbox火柴盒；cuboid长方体；surface 表面；vertex顶点）8、Suppose that the inequality log 2 | 2 x 2 + b x + 3 | 1 . Then f 2000 ( 2001 ) = 。17、数列 a n 满足：a n + 1 a n = 12，n = 1，2，3，且a 6 = 4，当此数列的前n项和S n 100时，n的最小值是 。18、数列 a n 满足：a 1 = 1，且对任意的m，nN，a n + m = a n + a m + n m，则通项公式a n = 。19、平面上，一个区域内两点间距离的最大值称为此区域的直径，曲线y 2 + | y | + 4 x 2 = 1围成的平面区域的直径为 。20、设F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使F1P F2 = 120，则椭圆离心率e的取值范围是 。三、B组填空题21、已知二次函数f ( x )和g ( x )的图象如图所示：用式子表示它们的大小关系，是 。22、我国在使用公元纪年的同时，也一直沿用我国古代创立的干支纪年法，如甲午战争中的甲午，辛亥革命中的辛亥就是年份的名称。干支中的干是天干的简称，是指：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；支是地支的简称，是指：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥。在纪年时，同时分别从甲、子开始，不改变各自的顺序，循环往复下去。已知公元2001年是辛巳年，那么下一个辛巳年是公元 年，距公元2001年最近的甲子年是公元 年。23、设关于x的方程x 2 2 x sin ( 2 cos 2 + 3 ) = 0，其中 0，则该方程实根的最大值为 ，实根的最小值为 。24、数列 a n 的前n项和为S n = 2 n 2（n = 1，2，3，），数列 b n 的前n项和为Tn，若a 2 a n a n + 1 b n + a= 0，则Tn = ，= 。25、函数y = sin 3 x 2 sin 2 x + sin x在区间 0，上的最大值是 ，此时x的值是 。答案：一、A、A、A、C、C、C、C、D、C、A；二、11、( 0，)；12、25 + 24 sin ( )；13、(，)；14、y = 0或5 x 12 y 5 = 0；15、7.5；16、 1；17、12；18、；19、 1；20、 (，1 )；三、21、；22、2061，1984；23、3，；24、，；25、，arcsin。简解：6、AA1 = a，AH =a，A1H =a，p = AM =a，AG =a，AI =a，GI =a，q = AN =a；第十三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试2002年3月17日 上午8：3010：00一、选择题1、已知关于x的方程x 2 4 x + a = 0和x 2 4 x + b = 0 ( a，bR，a b )的四个根组成首项为 1的等差数列，则a + b的值等于（ ）（A）2 （B） 2 （C）4 （D） 42、函数y = g ( x )的图象与y = f ( x ) = arccos ( x 1 )图象关于原点对称，则y = g ( x )解析式是（ ）（A）arccos ( x + 1 ) （B）arccos ( x + 1 ) + （C） arccos ( x + 1 ) （D） arccos ( x + 1 )3、在以下关于向量的命题中，不正确的命题是（ ）（A）若向量= ( x，y )，向量= ( y，x )，则（B）四边形ABCD是菱形的充要条件是=且| = |（C）若点G是ABC的重心，则+=（D）ABC中，和的夹角等于180 A 4、某个命题与自然数n有关。如果当n = k ( kN )时，该命题成立，则可推出n = k + 1时该命题也成立。现已知当n = 10时该命题不成立，那么可推得（ ）（A）当n = 11时，该命题不成立 （B）当n = 11时，该命题成立（C）当n = 9时，该命题不成立 （D）当n = 9时，该命题成立5、如图1，设ABC A1B1C1是直三棱柱，AB = AC，BAC = 90，M、Q分别是CC1、BC的中点，P点在A1B1上且A1P PB1 = 1 2。如果AA1 = AB，则AM与PQ所成的角等于（ ）（A）90 （B）arccos （C）60 （D）306、Let functions f ( x ) = x 2 + p x + q and g ( x ) = 2 x attain the equal minimum at the same point of the interval 1 , 2 . Then the minimum of p 2 6 q is（ ）（A） 9 （B） 8 （C）not existing （D）undetermined（英汉小词典：attain达到；undetermined不确定的；interval区间）7、函数y =的值域是（ ）（A） , （B） , （C） , （D） , 8、等差数列 a n 中，已知3 a 5 = 7 a 10，且a 1 0，则前n项和S n ( nN )中最小的是（ ）（A）S 7或S 8 （B）S 12 （C）S 13 （D）S 159、在直角坐标平面内，A点在( 4，0 )，B点在圆 ( x 2 ) 2 + y 2 = 1上，以AB为边作正ABC （A、B、C按顺时针排列），则顶点C的轨迹是（ ）（A）圆 （B）椭圆 （C）抛物线 （D）双曲线的一支10、过椭圆的一个焦点F作与椭圆长轴的夹角为arccos的直线，交椭圆于A、B两点。若| AF | | BF | = 1 3，那么椭圆的离心率等于（ ）（A） （B） （C） （D）二、A组填空题11、当0 0，且方程f ( x ) = 0有三个根0、1、2，那么c的取值范围是 。18、抛物线y = x 2 4 x a 2 + 4 a ( 0 b 0 )上两点，最大的视角为2 arctan，则的值等于 。20、There are two travel projects from Beijing to Santiago , Chile : (A) Flying westward to New York , then flying southward to Santiago ;（B）Flying southward from Beijing to Friemander , then flying westward to Santiago . The geographic positions of these four cities may be approximately considered as : Beijing ( 120 east longitude , 40 north latitude ) , New York ( 70 east longitude , 40 north latitude ) , Friemander ( 120 east longitude , 30 north latitude ) , Santiago ( 70 east longitude , 30 north latitude ) , Suppose that the air lines go along the spherical distance , then the projest of the shorter distance is （英汉小词典：geographic position地理位置；approximately近似地；spherical distance球面距离）三、B组填空题21、若方程| x 2 4 x + 3 | x = a有三个不相等的实数根，则a = 。22、已知点A ( 3，1 )，点M，N分别在直线y = x和y = 0上，当AMN的周长最小时，点M的坐标是 ，点N的坐标是 。23、数列 a n 满足递推关系a n = 2 +a n 1 ( n 1 )，且首项a 1 = 5，则通项公式a n = ，a n = 。24、若a 1，则不等式 a的解是 。25、某工厂安排甲、乙两种产品的生产。已知每生产1吨甲产品需要原材料A、B、C、D的数量分别是1吨、2吨、2吨、7吨；每生产1吨乙产品需要原材料A、B、D的数量分别是1吨、4吨、1吨。由于原材料的限制，每个生产周期只能供应A、B、C、D四种原料分别为80吨、80吨、60吨、70吨。若甲、乙产品每吨的利润分别为2百万元和3百万元。要想获得最大的利润，应该在每个生产周期安排生产甲产品 吨，期望的最大利润是 百万元。答案：一、B、A、C、C、A、B、B、C、A、D二、11、p q；12、；13、 4，5 ；14、；15、3；16、 ( 0，) (， )；17、( ，0 )；18、( 0，2 )；19、；20、(A)；三、21、 1或 ；22、 (，)，(，0 )；23、 1 + () n 1 ( n = 1，2， )，；24、( ， 1 )( 1，+ )；25、，。简解：6、g ( x ) = 2 x 在 1，2 上递增，f ( 1 ) = g ( 1 ) = 1最小，p + q = 0， 1，p 2，p 2 6 q = ( p + 3 ) 2 9；8、4 a 1 + 51 d = 0，a 1 0，4 a 13 = 3 d 0；25、设安排生产甲，乙两种产品分别为x，y吨，则有，要求z = 2 x + 3 y的最大值，及z取得最大值时x的值，作图易知，边界点(，)（边界线2 x + 4 y = 80与7 x + y = 70的交点）使z取得最大值，此时x的值为。第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试2003年3月23日上午8：3010：00一、选择题（每小题5分，共50分）1、已知函数f ( x ) = 2 x + 3，则函数f 1 ( x + 1 )的反函数是（ ）（A）y = （B）y = （C）y = 2 x + 5 （D）y = 2 x + 22、设 x 1，a = cos ( arcsin x )，b = arcsin ( cos x )，则a和b的大小关系是（ ）（A）a b （C）a b （D）不确定的3、已知x 1，y 1，且ln y，ln x成等比数列，则x y的（ ）（A）最大值是 （B）最大值是e （C）最小值是 （D）最小值是e4、如图，一个正方体的容器ABCDA1B1C1D1中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两个小孔，若恰当地将容器放置。可使流出的油量达到最小，这个最小值是正方体容器容量的（ ）（A） （B） （C） （D）5、函数y =+的最小值是（ ）（A）2 （B）2 （C） （D）6、A hyperbola with vertices ( 2 , 7 ) and ( 2 , 3 ) , has an asymptote that passes the point ( 2 , 5 ) . Then an equation of the hyperbola is（ ）（A）= 1 （B）= 1（C）= 1 （D）= 1（英汉小词典：hyperbola双曲线；vertices顶点；asymptote渐近线）7、等差数列 a n 中有两项a m和a k，满足a m =、a k =，则该数列前m k项之和是（ ）（A） 1 （B） （C） （D）+ 18、当x，y满足条件| x 1 | + | y + 1 | 1时，变量u =的取值范围是（ ）（A）( ，) （B）( ，) （C）( ，) （D）( ，)9、设P为椭圆上一点，且PF1F2 = 30，PF2F1 = 45，其中F1，F2为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（ ）（A） （B） （C） （D）10、Suppose the least distance from points of the curve y 2 + 2 x y + x + a = 0 ( aR ) to the y axis is, then the velue of a is（ ）（A） （B） （C）or （D）or （英汉小词典：curve曲线）二、组填空题（每小题5分，共50分）11、arccos ( ) arctan 7 = 。12、不等式log(+ 1 ) log( 1 ) 2或x 2）；17、( ，；18、；19、；20、4；三、21、当0 时( 0，当 时( 0，1 )；22、1， 0 1，+ )；23、；24、2 4 n，( 4 n 1 )；25、，。简解：3、ln x ln y =，= 2 ln x + ln y = ln x y；8、u表示区域P内的动点( x，y )与定点A ( 1，2 )的连线的斜率的倒数，如图；第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试2004年3月21日 上午8：30 10：00一、选择题（每题4分，共40分）1、四个数，sin，tan，arctan的大小关系是（ ）（A） tan sin arctan （B）tan sin arctan（C）sin arctan tan （D）tan arctan sin2、已知不等式| x a | + | x b | 。其中，能使f () f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 恒成立的函数的个数是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）45、The number of monotonic intervals of the function y = | | x 2 2 x 3 | 2 | is ( )（A）2 （B）4 （C）6 （D）8（英汉小词典monotonic：单调的；intervals：区间）6、设f ( x ) = x 2 + b x + c ( b，cR )，A = x | x = f ( x )，xR ，B = x | x = f ( f ( x ) )，xR ，如果A中只含一个元素，那么（ ）（A）A B （B）A B （C）A = B （D）A B =7、已知 a n 是公差不为0的等差数列，且a n 0；又定义b n =+ ( 1 n 2003 )，则 b n 的最大项是（ ）（A）b 1001 （B）b 1002 （C）b 2003 （D）不能确定的8、两个非零向量，的夹角为，则当+ t ( tR )的模取最小值时，t的值是（ ）（A）| | cos （B） | | cos （C）cos （D）cos 9、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，其中焦距为2 c，长轴长为2 a，当放在点A处的小球被击出发，经椭圆壁反弹后再回到点A时，小球经过的路程是（ ）（A）4 a （B）2 ( a c ) （C）2 ( a + c ) （D）以上答案均有可能10、通过两个定点A ( a，0 )，A 1 ( a，a )，且在y轴上截得的弦长等于2 | a |的圆的方程是（ ）（A）2 x 2 + 2 y 2 + a x 2 a y 3 a 2 = 0 （B）2 x 2 + 2 y 2 a x 2 a y 3 a 2 = 0（C）4 x 2 + 4 y 2 + a x 4 a y 3 a 2 = 0 （D）4 x 2 + 4 y 2 a x 4 a y 3 a 2 = 0二、A组填空题（每题4分，共40分）11、若sin 是方程x 2 +x 1 = 0的根，则sin 2 ( +)的值是_。12、函数f ( x ) =是奇函数的充要条件是：a满足_。13、金刚石是由碳原子组成的单质，在金刚石的晶体里，每个碳原子都被相邻的4个碳原子包围，且处于4个碳原子的中心，以共价键跟这4个碳原子结合。那么，在金刚石的晶体结构中，相邻的两个共价键之间的夹角（用反三角函数表示）是_。14、已知a 0，f ( x ) =，则f () + f () + + f () =_。15、抛物线y 2 = 2 p x ( p 0 )关于点A ( 2，1 ) 对称的曲线的方程是_。16、已知点A ( 3，1 )，点M在直线x y = 0上，点N在x轴上，则AMN周长的最小值是_。17、If the equation x 2 4 | x | + 6 = a has two distinct real roots , then the range of real number a is_ （英汉小词典distinct：不同的；roots：根；range：范围）18、x，yR时，函数f ( x，y ) = ( x + y ) 2 + ( y ) 2的最小值是_。19、设双曲线的离心率、实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，则此双曲线的方程是_。20、在空间四边形ABCD中，BC = AD，E、F、M、N分别是AB、CD、BD、AC的中点，则EF与MN的夹角等于_。三、B组填空题（每题8分，共40分）21、函数y = sin x + cos 2 x ( 0 x 2 )的值域是_，单调递减区间是_。22、数列 a n 中，a 1 = a，a 2 = a a，a 3 = a a a，依次类推，其中0 a 1 )，共发出m枚奖牌：第一天发出1枚加上余下的，第二天发出2枚加上余下的；如此持续了( n 1 )天，第n天发出n枚。该运动会开了_天，共发了_枚奖牌。24、设x 1，1 ，f ( x )是偶函数，g ( x )是奇函数，且f ( x ) g ( x ) = lg ( 2 x )，则g ( x ) =_，10 g ( x )的最大值是_。25、Let M be a point of the ellipse += 1 ( a b 0 ) , let P and Q be focuses of the ellipse . Then the maximum of the quantity | PM | 3 + | QM | 3 is _ , the minimum is _ （英汉小词典 ellipse：椭圆；focus：焦点；maximum：最大值；minimum：最小值）答案：一、B、C、B、B、D、C、B、C、D、D。二、11、 4；12、a 0；13、arccos ( )；14、；15、( y 2 ) 2 = 2 p ( x + 4 )；16、2；17、 2 ( 6，+ )；18、2；19、16 x 2 9 y 2 = 25或16 y 2 9 x 2 = 25；20、90。三、21、 2， arcsin，和 arcsin，；22、a a，a；23、6，36；24、lg，；25、8 a 3 6 a b 2，2 a 3。简解：6、( x 2 + ( b 1 ) x + c ) ( x 2 + ( b + 1 ) x + b + 1 + c ) = 0，2 = 4 0，a b 0，a b 0”是“方程x 4 + a x 2 + b = 0有四个实根”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件4、Suppose that three sides of a triangle satisfy the conditions : The length of each side is an integer ; The greatest length of sides is 18 . then , the number of such triangles is（ ）（A）90个 （B）91个 （C）92个 （D）171个（英汉词典：triangle 三角形；side 边）5、等差数列 a n 中，已知a 2 + a 7 + a 8 + a 11 = 48，a 3a 11 = 12，则a 2 + a 4 + a 6 + + a 100等于（ ）（A）2744 （B）2800 （C）585 （D）5956、已知y = f ( x )的图象如图1所示，则y = | f ( x + 2 ) | 1的图象是（ ）7、正五棱锥的侧面三角形的顶角的取值范围