实验四_Z变换.doc

实验四 Z变换【实验目的】 通过MATLAB仿真离散时间系统，研究其时频域特性，加深对离散系统的冲激响应，频率响应分析和零极点分布概念和理解。【实验原理】1.Z变换原理（1）.Z变换 在数字信号处理的分析方法中，除时域分析方法外，还有变换域分析方法。后者通常指Z变换和傅里叶变换法。变换域分析的最大优点是将离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化，也使得对系统的特性分析更为方便。对于离散时间信号，设序列为x(n)，则其Z变换定义为： ，其中z为复变量，是一个以时部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面上的变量。Z变换记作，X(z)存在的z的集合称为收敛域（ROC），一般为 由于ROC是由定义的，因此一般为环形区域。根据ROC的特点，可以判定序列是右边序列、左边序列、双边序列等。Z变换具有一些重要的特性，是傅里叶变换的推广，包括线性、时移特性、频移特性、尺度变换、共轭、翻褶、Z域微分、序列相乘、序列卷积等一系列性质。（2）.系统函数离散线性时不变（LTI）系统的系统函数H(z)定义为：H(z) = Zh(n) = (4.4)若用差分方程表示系统，则有 如果系统起始状态为零，直接对上式的两边Z变换，并利用移位特性，有 因此，系统函数H(z)的分子和分母的系数正好等于差分方程的系数。归一化，即使得y(n)前的参数为1，此时可以对上式的分子、分母进行因式分解，可得 得到系统的增益函数K、零点、极点。它们分别由差分方程的系数决定，确定了系统的因果性和稳定性。（3）.系统的频率响应系统的频率响应定义在单位圆上() 上的系统函数，即 (4.8)其中称为系统的幅度响应，称为系统的相位响应。由于具有周期性，且周期为，通常只研究区间，相对于这一区间，“低频”就是靠近0处的频率，而“高频”就是靠近的区域。（4）.结构从频率角度来看，离散LTI系统对信号的响应过程实质上是对信号滤波的过程，这时离散LTI系统被称为数字滤波器。如果系统有极点，则为无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器，否则为有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器。前者分为直接I型，直接II型、级联型、并联型等。后者分为横截型、级联型等。2.matlab实现（1）. impz（）函数如果把系数,整合，构成矢量a、b，则这两个矢量构成了数字滤波器的所有参数，可以表征这个数字滤波器。因此，根据这两个变量，可以计算相应数字滤波器的冲激响应、频率响应等一系列内容。在MATLAB中，有专门计算数字滤波器冲激响应的函数impz，并且能直接在当前图形窗口中画出离散数字系统的冲激响应图形,这在上次实验中也做过。（2）f reqz（）函数MATLAB中有专门计算数字滤波器频率响应的函数f reqz，能直接求出幅频特性和相频特性，并且直接在当前图形窗口中画出数字系统的幅频、相频特性曲线。例4-2 对一离散LTI系统，有系统函数求其幅频、相频特性曲线程序如下：b = 0.2,0.3,1;a = 1,0.4,1;f reqz(b, a,128)运行该程序后，直接得到下图，即该系统的幅频、相频特性曲线。如果将程序最后一句语句改为h,w = f reqz(b,a, 128)，则不会产生幅频、相频特性曲线，而是向量h得到该数字滤波器的128点的幅频响应，这些点均匀地分布在上半单位圆(即)，而这些频率点将记录在向量w中。当然，点数也可以不取128，而选择其他任意值，只需要是大于0的整数，但最好能选2的幂次,方便FFT进行快速算法。如果缺省，默认取512个点。（3）系统的零极点图和zplane（）函数根据公式，可以得到零点和极点，零极点通常用二维坐标图来表示，其中极点用表示，零点用表示。同时还会绘出单位圆，以示参考。在MATLAB中，有专门计算离散系统零极点的函数zplane，并且能直接在当前图形窗口中画出离散数字系统的零极点图形。例4-3 同例4-1中的离散LTI系统，差分方程为 y(n)-1.1y(n - 1) + 1.5y(n - 2) 0.7y(n - 3) + 0.3y(n - 4)= 0.2x(n) + 0.1x(n - 1) + 0.3x(n- 2) + 0.1x(n -3) + 0.2x(n -4)求其零极点，并画出相应图形。程序如下：b = 0.2, 0.1,0.3,0.1, 0.2;a = 1,-1.1, 1.5,-0.7,0.3;zplane(b, a)运行该程序后，直接得到下图，即该系统的零极点图形。程序最后一句语句zplane(b, a)自动设定坐标刻度，以便绘出所有的零极点。本例中zplane的输入变量时离散系统的参数a，b，也可以直接输入系统的零点c和极点p，即zplane(c, p)，同样可以绘出零极点图形，并且零点和极点的颜色加以区分。注意：和上面impz、f reqz等函数不同，该函数不能直接求的零极点的坐标值，求值由其他函数(下节内容)来完成。（4）模型函数转换 离散线性是不变系统的基本结构为有限长单位冲激响应FIR数字滤波器和无限长单位冲激响应IIR数字滤波器。有直接型、级联型、并联型等结构。这些结构虽然从原理上来讲，比较容易理解，但是系数很难计算。 MATLAB针对该问题，设计出了一组函数，方便系数的计算。在MATLAB中，用t f 、zp来表示传递函数模型和零极点增益模型，并同时提供一组不同线性系统模型之间的转换函数，如表所示。zp2tf零极点增益模型转换为传递函数模型tf2zp传递函数模型转换为零极点例如，t f 2zp函数的基本格式如下：z, p, k = t f 2zp(num; den)该函数用于求系统传递函数的零点向量z，极点向量p和增益系数k。但需要注意的是，用于离散系统时分子多项式和分母多项式的长度必须相同，否则需要补零。例4-4 求离散时间系统的零极点向量和增益系数。程序如下：num = 2,3;den = 1,0.4, 1;num,den = eqtflength(num,den);z,p,k = tf2zp(num,den)运行结果：z = 0 -1.5000p = -0.2000 + 0.9798i -0.2000 - 0.9798ik = 2表示系统有两个零点、两个极点，系统增益为2。本段程序中，由于要求分子分母长度相同，所以利用函数eqtflength将两者的长度向长度大的那个统一，长度短的补零。【实验内容】1.复习离散频率响应的有关内容。2.复习零极点与系统稳定性/因果性的关系。3.已知用下列差分方程描述的一个线性时不变因果系统 y(n) = y(n - 1) + y(n -2) + x(n-1)y(n)-0.4y(n-1)-0.5y(n-2)=0.2x(n)+0.1x(n-1) 分别求出两个系统的系统函数、零极点，并画出零极点图，指出收敛域；判断系统的稳定性。 求系统的单位冲激响应和频率响应。a=1,-1,-1;b=0,1;freqz(b, a,128); a=1,-1,-1;b=0,1;zplane(b,a); a=1,-1,-1;b=0,1;x=stepseq(0,0,30);impz(b,a); a=1,-0.4,-0.5;b=0.2,0.1;zplane(b,a);4. 设系统为y(n) = x(n) + ay(n 1) , 试就a = 0.7, -0.8 , 分别在二种情况下分析系统的频率特性, 并作出幅度特性曲线., 并作出高, 低通等判断。a=1,-0.7;b=1; f reqz(b,a, 128); a=1,0.8;b=1; f reqz(b,a, 128); 5. 假设系统为:系统1：y(n) =1.273y(n 1)