【高考风向标】高考数学一轮复习 第十章 第1讲 合情推理和演绎推理课件 理.ppt

第十章推理与证明 第1讲 合情推理和演绎推理 1 合情推理 归纳推理 类比推理 1 定义 根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出猜想的推理叫做合情推理 2 合情推理可分为 和 两类 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 简言之 归纳推理是由 到 由 到 的推理 部分 整体 个别 一般 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理 简言之 类比推理是由特殊到特殊的推理 2 演绎推理 定义 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论的 推理叫做演绎推理 简言之 演绎推理是由一般到特殊的推理 三段论 是演绎推理的一般模式 它包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 结论 根据一般原理 对特殊情况作出的判断 1 在 abc中 若bc ac ac b bc a 则 abc的 外接圆半径r 将此结论拓展到空间 可得出的正确结 论是 在四面体s abc中 若sa sb sc两两垂直 sa a sb b sc c 则四面体s abc的外接球半径r 2 已知正三角形内切圆的半径是高的 把这个结论推广到 空间正四面体 类似的结论是 13 3 在平面直角坐标系中 直线一般方程为ax by c 0 圆心在 x0 y0 的圆的一般方程为 x x0 2 y y0 2 r2 则类似地 在空间直角坐标系中 平面的一般方程为 球心在 x0 y0 z0 的球的一般方程为 ax by cz d 0 x x0 2 y y0 2 z z0 2 r2 bmqn m 4 类比是一个伟大的引路人 我们知道 等差数列和等比数列有许多相似的性质 请阅读下表并根据等差数列的结论 类似 的得出等比数列的两个结论 5 2010年广东广州海珠区测试 如图10 1 1 在平面上 用一条直线截正方形的一个角 则截下一个直角三角形按图10 1 1所标边长 由勾股定理得c2 a2 b2 设想正方形换成正方体 把截线换成如图的截面 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥o abc 若用s1 s2 s3表示三个侧面面积 s4表示截面面积 你类比得到的结论是 图10 1 1 例1 2011年山东 设函数f x 考点1归纳推理 xx 2 观察 f1 x f x xx 2 f2 x f f1 x x3x 4 f3 x f f2 x x7x 8 f4 x f f3 x x15x 16 根据以上事实 由归纳推理可得 当n n 且n 2时 fn x f fn 1 x 2011年陕西 观察下列等式1 1 2 3 4 9 3 4 5 6 7 25 4 5 6 7 8 9 10 49 照此规律 第五个等式应为 解析 把已知等式与行数对应起来 则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n 加数的个数是2n 1 等式右边都是完全平方数 答案 5 6 13 81 归纳推理的一般步骤 通过对某些个体的观察 分析和比较 发现它们的相同性质或变化规律 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题 如以上两题归纳总结时 看等号左边的变化规律 右边结果的特点 根据以上规律写出第五个等式 注意行数 项数及其变化规律是解答本题的关键 互动探究 1 观察以下等式 1 11 2 31 2 3 61 2 3 4 101 2 3 4 5 15 13 113 23 913 23 33 3613 23 33 43 10013 23 33 43 53 225 可以推测13 23 33 n3 用含有n的式子 表示 其中n为自然数 考点2类比推理 例2 在直角 abc中 两直角边的长分别为a b 直角顶 棱sa sb sc两两垂直 sa a sb b sc c 点s到平面abc的距离为h 类比上述结论 写出h与a b c的等式关系并证明 如图d16 过s作 abc所在平面的垂线 垂足为o 连接 co并延长交ab于d 连接sd so 平面abc so ab sc sa sc sb sc 平面abc sc ab sc sd ab 平面scd ab sd 图d16 类比推理经常用到转化与化归的思想 如空间转化为平面 三角形类比三棱锥 正方形类比正方体 实数类比到向量 椭圆类比到双曲线 等差数列类比到等比数列等 类比推理的一般步骤 找出两类事物之间的相似性或一致性 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的命题 猜想 互动探究 2 已知o是 abc内任意一点 连接ao bo co并延长 平面几何题 其证明常采用 面积法 请运用类比思想 对于空间中的四面体v bcd 存在什么类似的结论 并用体积法证明 解 在四面体v bcd中 任取一点o 连接vo do bo co并延长分别交四个面于e f g h点 考点3演绎推理 例3 2011年江西 已知两个等比数列 an bn 满足a1 a a 0 b1 a1 1 b2 a2 2 b3 a3 3 1 若a 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 an 唯一 求a的值 演绎推理是一种必然性推理 只要前提和推理形式 正确 其结论也必然正确 互动探究 3 2011年广东湛江测试 命题 若空间两条直线a b分别垂直平面 则a b 学生小夏这样证明 设a b与面 分别相交于a b 连接a b a b ab a ab b ab a b 这里的证明有两个推理 即 和 老师评改认为小夏的证明推理不正确 这两个推理中不正确的是 考点4 信息给予题 则下列结论恒成立的是 a t v中至少有一个关于乘法是封闭b t v中至多有一个关于乘法是封闭c t v中有且只有一个关于乘法是封闭d t v中每一个关于乘法是封闭 例4 2011年广东 设s是整数集z的非空子集 如果 a b s 有ab s 则称s关于数的乘法是封闭的 若t v是z的两个不相交的非空子集 t v z 且 a b c t 有abc t x y z v 有xyz v 答案 a 解析 由于t v z 故整数1一定在t v两个集合中的一个中 不妨设1 t 则 a b t 由于a b 1 t 则a b 1 t 即ab t 从而t对乘法封闭 另一方面 当t 非负整数 v 负整数 时 t关于乘法封闭 v关于乘法不封闭 故d不对 当t 奇数 v 偶数 时 t v显然关于乘法都是封闭的 故b c不对 从而本题就选a 互动探究 4 2011年四川 设s为复数集c的非空子集 若对任意x y s 都有x y x y xy s 则称s为封闭集 下列命题 集合s a bi a b为整数 i为虚数单位 为封闭集 若s为封闭集 则一定有0 s 封闭集一定是无限集 若s为封闭集 则满足s t c的任意集合t也是封闭集 其中真命题是 写出所有真命题的序号 1 合情推理主要包括类比推理和归纳推理 数学研究中 在得到一个新结论之前 合情推理能帮助猜测和发现结论 在证明一个数学结论之前 合情推理常常能为证明提供思路与方向 2 演绎推理是从一般的原理出发 推出某个特殊情况下的结论的推理方法 是由一般到特殊的推理 常用的一般模式是三段论 数学问题的证明方法主要通过演绎推理来进行 3 合情推理仅是合乎情理的推理 它得到的结论不一定正确 而演绎推理得到的结论一定正确 1 合情推理