平面向量的教学要注意什么.doc

平面向量的教学要注意什么？在高中阶段，系统地讲授向量知识，在我国教材史上还是首次，如何把大纲中的内容组织成既适合于教又适合于学，并能取得良好教学效果的教学体系，是编写教材时必须要考虑的问题，编者编写平面向量这一章时，在贯彻全套书总体指导思想的前提下，突出了以下特点。 (一)注意知识的系统性与学生的可接受性相结合 我们知道，数学是一门系统性很强的学科，知识的编排要符合逻辑顺序的要求，即后面的概念要用前面的概念来定义，后面的命题要用前面的命题来证明。不允许有循环定义，也不能有循环证明，也就是说，不能用后面的概念来定义前面的概念，前面的命题不能用后面的命题来证明，因为只有这样的逻辑严格性才能保证结论的正确性和确定性。 这一章属向量代数的基础知识，为便于说明这一章的体系，我们先来看看向量代数的编排。通常在向量代数的课程中，向量代数知识的编排及结构如下： 向量及其表示-向量的线性运算-向量的共线与共面-向量的内积、外积与混合积-双重外积公式与Lagrange(拉格朗日)恒等式等在向量及其表示中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量。 在向量南咝栽怂?quot;中，介绍向量加法的定义，向量加法的运算律；向量减法的定义，向量方程，向量长度的三角不等式；数乘向量的定义，单位向量，数乘向量的运算律。 在向量的共线与共面中，介绍平行向量，共线向量，共面向量，两个向量共线的充要条件，直线的向量方程，三个向量共面的充要条件。 在向量的内积、外积与混合积中，介绍两个向量的夹角，向量内积的定义，向量内积的几何意义，向量内积的运算律，向量内积的性质；左手系，右手系，向量外积的定义，向量外积的运算律，向量外积的性质；向量混合积的定义，向量混合积的性质。 在双重外积公式与Lagrange(拉格朗日)恒等式中，主要介绍双重外积公式与Lagrange(拉格朗日)恒等式的证明。 参照向量代数的体系，我们对大纲中平面向量部分的知识点，在高中数学第一册中，按这样的次序来编排，即向量的概念及其表示-向量的加法-向量的减法-数乘向量(大纲中称为实数与向量的积)-向量共线的充要条件和平面向量基本定理-向量的内积(大纲中称为向量的数量积)-向量的应用。 本章一开始，从帆船航行的距离和方向两个要素出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。 向量的加法与减法、实数与向量的积，实际是向量的线性运算知识。教科书先讲了向量的加法、加法运算律，然后用相反向量及向量的加法定义向量的减法，这样把向量的加法与减法统一了起来。教科书又通过向量的加法引入了实数与向量的积的定义，接着给出了实数与向量的积的运算律，最后介绍了向量共线的充要条件和平行向量基本定理，这样为后面介绍平面向量的坐标表示奠定了理论基础。 教科书通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式-坐标表示式，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，然后给出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为数的运算处理形的问题搭起了桥梁。教科书在向量坐标运算的基础上，还导出了线段的定比分点坐标公式和线段的中点公式。 向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题。把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题。平面向量数量积的概念，教科书是从学生熟知的功的概念引入的，在介绍了平面向量数量积的定义及几何意义之后，又介绍了平面向量数量积的5个重要性质、运算律及其坐标表示。特别通过两个向量数量积的坐标表示，很容易推导出平面内两点间的距离公式。 本大节的最后，介绍了平移(这里讲的平移是指图象的平移)。接着推导出了平移公式，并举例说明了平移公式的应用。 但是，对于向量坐标的引入，由于目的的不同而有不同的处理方式，例如，高等数学教材中，采取先介绍向量的概念及各种运算，并直接用向量解决有关几何问题，然后再引进坐标，并用向量和坐标方法讨论空间直线、平面、二次曲面及一般的曲面，其目的是突出向量的工具性。我们在引入向量的坐标时，为了让学生尽早知道处理几何问题的另两种方法-向量法和坐标法，突出数形结合的思想，同时考虑到课时等原因，是在平面向量基本定理之后就引进向量的坐标，并把向量的加法、减法、实数与向量的积、向量的共线等用坐标表示。 (二)注意符合学生的认识规律 我们知道，学生的学习，是在教师指导下的一种特殊的认识过程，这一认识过程也必须遵循从感性认识到理性认识又从理性认识回到实践的过程，这个过程反映在对具体知识的编排要求上，那就是要从实际事例的分析中，或者对已有知识的分析、推理中，抽象出概念、推导出原理和方法，而后举例说明这些概念、原理和方法的应用。 基于这一思想，我们在编写这一章时，特别注意知识的发生过程，对概念、法则、公式、定理等的处理，不是首先呈现数学活动的结果，而是先举出学生熟悉的实物、事例、知识，或由学生动手操作，并通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括，得出结论。 对这一章中概念的处理，我们是根据概念在教科书中的地位、作用及特点，对不同的概念采用不同的处理方式。一些概念是通过例举反映概念实质的具体的对象，并充分发挥几何图形的直观的特点，使学生在感性认识的基础上建立概念，并理解概念的实质，像向量的概念等；一些概念则不仅给出严格的定义，还要分析满足定义的充要条件，要求学生理解、记忆，并通过适当的练习，让学生会用，像向量数量积的概念等。 这一章中的一些例题，我们不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法。解题后，有的还总结出解决该题时擞玫氖枷牒褪椒械幕谷醚徊娇悸窍喙氐奈侍狻? 关于向量运算，不像高等数学教材那样，从向量公理的角度引入，而是借助于几何直观，并通过与数的对比引入，这样便于学生接受。例如，关于向量的减法，在向量代数中，常有两种定义方法，第一种是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是，如果a+x=b，则 x叫做向量b与a的差。这样，作b-a时，可先在平面内取一点O，再作 ，则 就是b-a。第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，即已知a、b，定义b-a=b+(-a)。在这种定义下，作b-a时，可先在平面内任取一点O，作 则由向量加法的平行四边形法则知， 由于b+(-a)=b-a，即 就是b-a。实验表明，对中学生来讲，用这一种定义方法，学生不易理解向量减法的定义，但很容易作b-a。而用第二种定义方法，学生根容易接受b-a=b+(-a)，但作b-a较繁。为便于学生接受，我们在定义向量的减法时，先给出相反的向量(对比初中代数中的相反数)，再把b-a定义为b+(-a)，并告诉学生，作b-a时，只要按教科书图作出即可。 (三)注意培养学生的思维能力 我们在编写这一章时，特别注意对学生思维能力的培养，对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜怀、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力，例如，平面向量基本定理的引入，先让学生思考教科书图5-17中的向量a与向理e1、e2之间的关系，联想到实数与向量的积这一概念，再通过作图得出 最后给出了平面向量基本定理。对于解斜三角形，教科书是这样引入的：在初中，我们已会解直角三角形，就是说，已会根据直角三角形中的边与角求出未知的边与角。那么，如何来解斜三角形呢?也就是如何根据斜三角形中已知的边与角求出未知的边与角呢?通过设问，引起学生思考。 (四)注意数学思想方法的渗透 在这一章中，从引言开始，就注意结合具体内容渗透数学思想方法。例如，从帆船在大海中航行时的位移，渗透数学建模的思想。通过介绍相等向量及有关作图的训练，渗透平移变换的思想。 由于向量具有两个明显特点-形的特点和数的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想。 (五)突出知识的应用 (1)加强向量在数学知识中的应用 我们在编写这一章时，注意突出向量的工具性，很多公式都用向量来推导，如线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等。 (2)加强向量在物理中的应用 为培养学生用向量知识解决有关物理问题的能力，在这一章的最后，安排了一个研究性课题，即向量在物理中的应用。通过力的问题（例1）和速度的问题（例2），说明如何用数学知识解决物理问题。对于一个物理问题，首先要把它转化成数学问题，即用数学知识建立物理量之间的关系，也就是抽象成数学模型，然后再用建立起的数学模型解释相关物理现象。 (3)注意联系实际 我们在这一章中，把联系实际分成三个层次： 第一层次，在知识的引入上联系实际。例如，向量的概念从帆船航行的位移引