1极限与连续.doc

高等数学竞赛辅导一、极限与连续1：“”型函数的极限1分子或分母先因式分解，然后约分求值（分子和分母均为有理式）例1求 2有理化分子或分母，然后约分求值公式：例2求极限(1) (2)3利用等价无穷小替换求极限：常见的等价无穷小：变量在变化的过程中，下列各式左边均为无穷小，则 tan arcsin arctanln(1+) -1 1-cos (1+)-1等价无穷小替换的原则：只对函数的因式可作等价无穷小替换该因子首先必须是无穷小量例3求极限(1) （2） (3) （4）(5) ，求、的值。提示：(2)方括号内提取;(4) ;(5)由于，所以由，且，知。2：“” 型 （分子和分母同时除以变量x的次数最高项）1分子和分母均为有理式例4求极限(1) (2)2分子和分母均为根式例5求极限.3：“”型1通分后，利用因式分解约分等方式求值例6求极限 2有理化分子，利用“”型的方法求值例7求极限 4：“”型 （公式的利用）分析：判断是否是“”型则（1+）例8求极限（1） (2) (3),求（4）设，求（5）设，且，求5：无穷小量和有界函数的乘积为无穷小量例9求极限 6：用罗必达法则求极限注意: 零因式最好先用等价无穷小替换非零因式的极限可以先求出来1“”型和“”型 （）例10求极限 (1) （2） （3） （4）（5） （6）（7）（8）在的邻域内可导，且，求（9）若，试确定常数的值（10）设在连续，为常数，求 2 “” 型= 其中f(x)0 , g(x)注：如f(x)或g(x)是ln(x)的形式，则该函数一般在分子 分母一般较分子简单例12求极限(1) （2）（讨论）3 “” 型“” 型“” 型例13求极限(1) (2) （3） (4) （5），求例3求极限（型）解令，则 因为 4 “” 型分析：一般采用通分的方式转化为“”型和“”型，然后利用罗必达法则及等价无穷小替换求极限例14求极限(1) （2）(令)7:不能用罗必达法则求解的“”型和“”型分析：一般采用等价无穷小替换和无穷小量和有界函数的乘积为无穷小量例13求极限 8:利用麦克劳林公式求函数的极限注意:下列公式中,(1) (2)(3) (4)(5)例14求极限（1） （2）（3） （4）9:利用定积分的定义求极限方法：如果存在，则例15求极限（1） 解：（2）解：（3） 解：因为由于故10:利用级数收敛的必要条件求极限方法：如果级数收敛，则例16求极限（1）解：令则故级数收敛，则 （2）（同上）11:利用夹逼准则求极限例17（1）求极限(2) 12:求如果，且，则例18求极限解：当时，则13:已知数列的递推式，证明数列极限存在，并求极限方法：利用“单调有界函数必有极限”处理（1）由先判断数列单调，即判断的正、负或判断比1大还是小（2）假设的极限存在，并估算极限，计算判断数列有界（3）求数列的极限例19（1）求极限，.解：因为由于和同号，依次类推可知和同号，故，即，数列单调增加又因为 依次类推知和同号，即且，故数列单调有界必有极限设，则由知得，即注意：这里为什么用和3比较大小判断数列有界呢？因为我们首先假设数列有极限时，算出它的极限为3，然后用和3比较。（2）设，（），求分析：可用均值定理确定上、下界解：因为所以数列有下界，又因为故数列单调减少，有极限为(3)设,证明数列、收敛，并且有相同的极限解：因为，所以 即又因为即数列有上界因为而即数列有下界，故，故两个数列极限都存在设和有， 求得14:利用幂级数的和函数求极限例20求极限15：利用积分中值定理求极限例21求16：利用施笃兹定理（stolz）求极限已知，并且从某一项起严格单调上升（即存在，当时，有）又 为有限或为，则 例22求极限（1） 已知，求（2） （3）17：利用左右极限的定义求函数的极限例23（1）（2）18：利用导数定义、罗必达法则、麦克劳林公式求含有抽象函数的极限常用方法：（1）如果，且，则（2）利用等价无穷小替换（3）函数在处可导函数在处连续，即（4）利用导数的定义，即，其中例24（1）设连续，求解：因为且，所以而连续，故即（2）设f(x)在x=a可导，f(a)0，求 解： （3）设在连续，且，求 解：因为且，所以即 又因为 在连续，所以，故=4（4）已知，则 分析：，则所以（5）设在点二阶可导，且，求和的值分析：因为在点二阶可导，故连续，由于且，故，即用罗比达法则，所以（6）为常数，可导 分析： （7）设在的某个邻域内有连续导数，且，求，（8）设在上可导上可导且恒正，又，求（9）设存在，则（1） （2）（10）连续，求分析：由知，由知而故19：求满足泰勒公式的的极限具体函数方法：用表示，求极限例25（1）已知()，求（2）由拉格郎日定理，对任意（），存在（），使，求抽象函数方法：如已知 ，则利用泰勒公式有 ，两式相减得即 则当时，有例26已知在上连续，对有（），求20：讨论极限或是否存在方法：（1）存在（2）存在例27讨论下列极限是否存在 21：分段函数在分段点处的极值、连续的问题 (1)(2) (注意罗必达法则的应用)例28(1)如,讨论在处的极限是否存在(2) 如果存在,求b22：已知极限，求待定系数的值1已知且，则(注意罗必达法则)例29(1)已知求a,b (2)已知 求a,c的关系(3) 已知 求a,b 2例30已知求a,b3(注意罗必达法则的应用)例31已知,求a,b 4在等类型中,求待定系数的值例32(1)已知,则b应满足什么条件.(2) 已知,求23：用极限表示的函数例7（1）讨论函数的连续性 (2) 设，如在处可导，求24：求函数的间断点并判断间断点的类型例33（1） （2）25：线性主部如果，则称是的主部例34 1当，选出形如的主部，并求其对的阶（1） （2）2当，选出形如的主部，并求其对的阶（1） （2）3当，选出形如的主部，并求其对的阶（1） （2）4设当时，是比高阶的无穷小，求5设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，求正整数6设当时，和是等价无穷小，求7设当时，和是等价无穷小，求12设，问取何值时，在时是的三阶无穷小13设、，在时，求26：求分断函数的复合函数例35（1）设，求（2）设，求27：已知函数的定义域，求函数的定义域方法：假设的定义域为，则由求出的范围就是的定义域例36当是函数的定义域，求的定义域28：已知函数的定义域，求函数的定义域方法：假设的定义域为，则由，其中，求出的范围就是的定义域例37当是函数的定义域，求的定义域29：已知函数的表达式和函数的表达式，求的表达式及其定义域例38（1）已知，且，求和定义域（2）已知，求和定义域30：已知， （1）当是奇函数，则在上的函数为（2）当是偶函数，则在上的函数为例39（1）设函数是奇函数，当时，求在时的表达式（2）设函数是偶函数，当时，求在时的表达式31已知， ，如果是周期为的周期函数，求在区间上的表达式方法：设，其中，而，由于即例40设是以为周期的周期函数，且当时，求时，函数的表达式注意：1、欧拉公式，其中，为欧拉常数求极限2、利用公式（1），则 （2），则求极限3、利用求极限求极限4、几种常见的极限（1）（2）（）（3）（4）（5）（6）（7）（8）练习1求极限(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)(9) (10) (11) (12)(13) (14)(15) (16) (17) （18）（19） (20)(21) (22)(23) (24) (25) （26）（27） （28） （29） （30）（31） （32）（33）若()，试确定常数的值。（34） （35） （36），求 （37）（38） (39)(40) （41） （） (42) (43) (44) (45)(45) (46) (47) (47) (48) （49） 注意:在第(48)题中最好做代换，然后把在处按麦克劳林公式展开（50）（51） （52）（53） （54）（55）（56） (57) 2（1）设，（），求（2）设，试证明数列收敛，并求极限(3)设,证明数列、收敛，并且有相同的极限（4），求（5），求（6）设，（），求（7），求（8），且，证明存在（9），求（10），证明（11），求3求极限（1） （2）（3）4讨论极限(1) （2）5（1）设为奇函数（偶函数），且，求（2）设连续，且，是曲线在点处的切线在轴上的截距。(1)求，并证明当时，等价；(2)。（3）设为连续函数，且，其中，则（4）设，在处连续，求（5）设具有二阶连续导数，且，是曲线上点处的切线在轴的截距，求.（6）设在的邻域具有二阶导数，且，试求，及及（7）已知，求（8）在可导，求（9）设在的某个邻域内二阶可导，且，求，（10）如，求（11）设存在，则（12）设在某邻域内可导，且，求 6已知，证明（1），（2）求，7（1）设在的附近有定义，且，在处连续，且，求（2）设在点某邻域内二阶可导，存在且不为零，由泰勒公式有（）求8讨论极限是否存在（1） （2）9（1） 在x=0处连续,求a,b（2），其中具有连续导数，且，确定常数，使在处