高中数学第一轮总复习 第15章第78讲圆中的有关定理及其应用课件 理 新课标.ppt

第十五章 选考内容 圆中的有关定理及其应用 第78讲 2 如图 设 abc的外接圆的切线ae与bc的延长线交于点e bac的平分线与bc交于点d 已知bc 5 ec 4 求ed的长 解析 由切割线定理得ae2 ec eb 4 4 5 36 所以ae 6 因为ae为切线 所以 eac b 又 ead eac cad eda b bad 且 cad bad 所以 ead eda 所以de ae 6 3 2011 江苏省扬州中学模拟 如图 设ab为 o的任一条不与直线l垂直的直径 p是 o与l的公共点 ac l bd l 垂足分别为c d 且pc pd 求证 1 l是 o的切线 2 pb平分 abd 解析 1 连接op 因为ac l bd l 所以ac bd 又oa ob pc pd 所以op bd 从而op l 因为p在 o上 所以l是 o的切线 2 连接ap 因为l是 o的切线 所以 bpd bap 又 bpd pbd 90 bap pba 90 所以 pba pbd 即pb平分 abd 4 已知圆o的直径ab 13 c为圆上一点 过c作cd ab于d ad bd 若cd 6 求ad的长 5 如图 pa切 o于点a d为pa的中点 过点d引 o的割线交 o于b c两点 求证 dpb dcp 圆的切线的判定 解析 1 连结oc 因为ac op 所以 aco cop cao pob 由oa oc 得 oac oca 所以 cop pob 在 cop和 bop中 所以 cop bop 所以 pbo pco 90 所以pc是 的切线 2 由 cop bop 得 dpo opb 所以 因为da oa ob 所以又因为ad等于 o的半径 ac op 所以 所以 点评 本题主要考查圆的切线的判定及比例线段的证明 考查平面几何的推理论证能力 要证直线pc是 o的切线 只要证oc pc即可 要求比例线段 可通过中间比来过渡 结合图形 利用条件即可获证 变式练习1 如图 ab是 o的直径 c f为 o上的点 ca是 baf的角平分线 过点c作cd af交af的延长线于d点 作cm ab 垂足为点m 求证 1 dc是 o的切线 2 am mb df da 解析 连结oc 则 oac oca 又因为ca是 baf的角平分线 所以 oac fac 所以 fac oca 所以oc ad 因为cd ad 所以cd oc 即cd是 o的切线 2 连结bc 在rt acb中 cm2 am mb 因为cd是 o的切线 所以cd2 df da 又rt amc rt adc 所以cm cd 所以am mb df da 切割线定理及其应用 解析 连结ae af 因为ab是圆o的直径 所以 aeb afb 90 又 cdb 90 abc dbf 所以 dbc fba 所以 即ab bd bc bf 因为 aeb 90 cd ab 所以be2 bd ab 直角三角形射影定理 因为ct是切线 cb是割线 所以ct2 cf cb 所以bc2 ct2 bc2 cf cb bc bc cf bc bf 所以be2 bc2 ct2 即be2 ct2 bc2 点评 有切线有割线 考虑利用切割线定理 有直径 莫忘直角 有平方形式 考虑直角三角形射影定理 变式练习2 如图 ab是 o的直径 c f是 o上的两点 oc ab 过点f作 o的切线fd交ab的延长线于点d 连结cf交ab于点e 求证 de2 db da 解析 连结of 因为df切 o于f 所以 ofd 90 所以 ofc cfd 90 因为oc of 所以 ocf ofc 解析 因为co ab于o 所以 ocf ceo 90 所以 cfd ceo def 所以df de 因为df是 o的切线 所以df2 db da 所以de2 db da 四点共圆及其应用 例3 如图 已知 abc的两条角平分线ad和ce相交于h b 60 f在ac上 且ae af 证明 1 b d h e四点共圆 2 ce平分 def 解析 1 在 abc中 因为 b 60 所以 bac bca 120 因为ad ce是角平分线 所以 hac hca 60 所以 ahc 120 所以 ehd ahc 120 因为 ebd ehd 180 所以b d h e四点共圆 2 连结bh 则bh为 abc的平分线 由 1 知 b d h e四点共圆 ced hbd 30 又 ebd ahe 60 由已知可得ef ad cef 30 所以ce平分 def 点评 本题是对考生几何推理论证能力的综合考查 所用到的知识较多 证明的关键是根据四点共圆的条件进行证明 在解题时要根据已知条件 通过等量代换将角集中到一个四边形中 达到使用条件的目的 2 2011 南通三模卷 如图 o的直径ab的延长线与弦cd的延长线相交于点p e为 o上一点 ae ac 求证 pde poc 解析 因为ae ac ab为直径 故 oac oae 所以 poc oac oca oac oac eac 又 eac pde 所以 pde poc 解析 根据相交弦定理 得pd pc pa pb 所以pd 6 4 3 所以pd 2 cm 因为ea是 o的切线 所以ea2 ed ec 所以20 ed ed 8 所以ed 2 cm 则pe 4 cm 4 已知 o1和 o2都经过a b两点 经过点a的直线cd与 o1交于点c 与 o2交于点d 经过点b的直线ef与 o1交于点e 与 o2交于点f 求证 ce df 解析 如图 连结ab 因为四边形abec是 o1的内接四边形 所以 bad e 因为四边形adfb是 o2的内接四边形 所以 bad f 180 所以 e f 180 所以ce df 3 与圆有关的比例线段问题的一般思考方法 1 直接应用相交弦定理 切割线定理及其推论 2 找相似三角形 当证明有关线段的比例式或等积式不能直接运用基本定理推导时 通常是由